Veamos que el peso es una fuerza conservativa :

1. Veamos que el peso es una fuerza conservativa: A dr = dx i + dy j + dz k dr camino C P = -mg k B T =∫Pdr B A, camino C

2. Veamos que la fuerza gravitatoria es una fuerza conservativa: m2 A dr camino C r B m1 T =∫Fgdr B A, camino C

3. Veamos que la fuerza electrostática es una fuerza conservativa: q2 A dr camino C r B q1 T =∫Fedr B A, camino C

4. Veamos que la fuerza electrostática es una fuerza conservativa: q2 A dr camino C r B q1 T =∫Fedr B A, camino C

5. Veamos que la fuerza elástica es una fuerza conservativa: T =∫Fe dx B A, camino C

6. Definición de energía potencial

7. Origen de energías potenciales

8. Definición de energía potencial en un punto

9. Revisión del signo de energías potenciales

10. Mapa con cotas de altitud Mapa de isobaras Concepto de campo y tipos Def.: Llamamos campo a la perturbación real o ficticia del espacio determinada por la asignación a cada punto del valor de una magnitud (temperatura, velocidad, altitud, presión, ...).

11. Decimos que existe un campo de fuerzas en un lugar del espacio si, al colocar en él un cuerpo de prueba, éste queda sometido a una fuerza.

12. En los campos centrales, todos los vectores fuerza convergen en un mismo punto, llamado centro del campo. El módulo del vector fuerza depende únicamente de la distancia del punto considerado al centro del campo. Ej.: campo gravitatorio de la Tierra.

13. Campo de cargas positivas y negativas

14. Campo uniforme En los campos uniformes la fuerza tiene el mismo módulo, dirección y sentido en todos los puntos.

15. Campo conservativo, el trabajo no depende del recorrido elegido Un campo de fuerzas es conservativo si el trabajo que realizan las fuerzas del campo para trasladar una partícula de un punto A a otro B es independiente del camino escogido, dependiendo únicamente de los puntos inicial y final.

17. Dos masas puntuales de valores m1 = 2·108 kg y m2 = 8·108 kg están separadas una distancia de 100m. Calcular la fuerza gravitatoria con la que se atraen. ¿Es posible situar una masa en algún punto del segmento que las une sin que actúe ninguna fuerza sobre ella? ¿Dónde? m2 m1 100m

18. Dos masas puntuales de valores m1 = 2·108 kg y m2 = 8·108 kg están separadas una distancia de 100m. Calcular la fuerza gravitatoria con la que se atraen. ¿Es posible situar una masa en algún punto del segmento que las une sin que actúe ninguna fuerza sobre ella? ¿Dónde? m2 m1 m3 100m

19. Dos masas puntuales de valores m1 = 2·108 kg y m2 = 8·108 kg están separadas una distancia de 100m. Calcular la fuerza gravitatoria con la que atraen una masa m3 =100kg colocada en el punto medio, A . Determina la energía potencial que tiene m3 en este punto. A m2 m1 m3 100m

20. Dos masas puntuales de valores m1 = 2·108 kg y m2 = 8·108 kg están separadas una distancia de 100m. Calcular la fuerza gravitatoria con la que atraen una masa m3 =100kg colocada en el punto B que está a 30m a la izquierda de m1 . Determina la energía potencial que tiene m3 en este punto. m2 m1 m3 B 30m

21. Hallar el trabajo que se debe efectuar para llevar m3 desde el punto A al punto B. A m2 m3 m1 m3 B 30m 100m

22. Hallar el trabajo que se debe efectuar para llevar m3 desde el punto A hasta el ∞. A m2 m3 m1 100m

23. Dos masas puntuales de valores m1 = 2·108 kg y m2 = 8·108 kg están separadas una distancia de 100m. Calcular la fuerza gravitatoria con la que atraen una masa m3 =100kg colocada en el punto C que está a 20m sobre la perpendicular que pasa por el punto medio. Determina la energía potencial que tiene m3 en este punto. 100m m2 m1 20m m3 C

24. Dos masas puntuales de valores m1 = 2·108 kg y m2 = 8·108 kg están separadas una distancia de 100m. Calcular la fuerza gravitatoria con la que atraen una masa m3 =100kg colocada en el punto D que está a 20m sobre la perpendicular que pasa por m1. Determina la energía potencial que tiene m3 en este punto. 100m m2 m1 20m m3 D

25. Hallar el trabajo que se debe efectuar para llevar m3 desde el punto D al punto C. 100m m2 m1 20m m3

26. La fuerza gravitatoria es una fuerza que depende tanto de la masa que crea el campo, m1, como de la masa que experimenta dicha perturbación, m2: m2 r m1

27. La fuerza gravitatoria es una fuerza que depende tanto de la masa que crea el campo, m1, como de la masa que experimenta dicha perturbación, m2: m2 r m1

28. La fuerza gravitatoria es una fuerza que depende tanto de la masa que crea el campo, m1, como de la masa que experimenta dicha perturbación, m2: m2 r m1

29. Para evitar este problema se define la intensidad de campo gravitatoria que es “la fuerza que actúa sobre una masa testigo de 1kg” o también como F/m2: m2= 1kg r m1

30. Dada una masa puntual de valor m1 = 2·1012 kg. Calcular la intensidad de campo gravitatoria en un punto que está a 10m de distancia. m1 m2= 1kg 10m Calcular la fuerza gravitatoria con la que atraería una masa m3 =8kg colocada en ese punto m1 m3 10m

31. La energía potencial gravitatoria es tipo de energía que depende que depende tanto de la masa que crea el campo, m1, como de la masa que experimenta dicha perturbación, m2, y que va a ser trasladada: m2 r m1

32. Para evitar este problema se define el potencial gravitatorio como “el trabajo que se debe hacer sobre una masa testigo de 1kg para llevarla desde A hasta el ∞” o también como U/m2: m2= 1kg r m1

33. Dada una masa puntual de valor m1 = 2·1012 kg. Calcular el potencial gravitatorio en un punto que está a 10m de distancia. m1 m2= 1kg 10m Calcular el trabajo que se debe efectuar para llevar una masa m3 =8kg colocada en ese punto hasta el infinito m1 m3 10m

34. (Sep 2000) Sean dos masas puntuales de 100 kg y 150 kg, situadas en los puntos A(-2, 0) y B (3, 0) m respectivamente. Se pide: • Campo gravitatorio en el punto C(0, 4) m. • Potencial gravitatorio en el punto C(0, 4) m. • Trabajo necesario para desplazar una partícula de 10 kg de masa desde el punto C(0, 4) hasta el infinito. • Trabajo necesario para desplazar una partícula de 10 kg de masa desde el punto C(0, 4) hasta el punto O(0, 0) m. m3= 1kg C m2 m1 B A

35. Potencial gravitatorio en el punto C(0, 4) m. • Trabajo necesario para desplazar una partícula de 10 kg de masa desde el punto C(0, 4) hasta el infinito. m3= 1kg C m2 m1 B A

36. Trabajo necesario para desplazar una partícula de 10 kg de masa desde el punto C(0, 4) hasta el punto O(0, 0) m. m4= 10kg C m2 m1 B D A

37. Sean dos masas puntuales de 100 kg y 150 kg, situadas en los puntos A(-2, 0) y B (3, 0) m respectivamente. Se pide: • Campo gravitatorio en el punto C(0, 0) m. • Potencial gravitatorio en el punto C(0, 0) m. • Trabajo necesario para desplazar una partícula de 10 kg de masa desde el punto C(0, 0) hasta el infinito. • Punto dónde el campo gravitatorio es nulo. ¿En qué punto es nulo el potencial gravitatorio? m3= 1kg m2 m1 C B A

38. Potencial gravitatorio en el punto C(0, 0) m. • Trabajo necesario para desplazar una partícula de 10 kg de masa desde el punto C(0, 0) hasta el infinito. m2 m3= 1kg m1 B C A

39. Sean dos masas puntuales de 100 kg y 150 kg, situadas en los puntos A(-2, 0) y B (3, 0) m respectivamente. Se pide: • Punto dónde el campo gravitatorio es nulo. ¿En qué punto es nulo el potencial gravitatorio? m2 m1 G m3= 1kg B A

40. Ejercicio nº1 En los vértices de un cuadrado de lado 10m se colocan cuatro masas iguales a 1012kg. Determina: a) La intensidad de campo en el centro del cuadrado, b) El potencial en ese punto, c) La intensidad de campo en el punto medio de uno cualquiera de los lados, d) El potencial en ese punto, e) La fuerza que actúa sobre una partícula de masa 100kg colocada en el punto medio de uno de los lados, f) El trabajo que se realiza para llevar la partícula desde este punto al centro del cuadrado, g) La fuerza sobre una cualquiera de las masas, h) El trabajo que se debe realizar para colocar estas cuatro masas en los vértices del cuadrado suponiendo que inicialmente están infinitamente alejadas. m5= 1kg C

41. Ejercicio nº1 b) El potencial en ese punto, c) La intensidad de campo en el punto medio de uno cualquiera de los lados, d) El potencial en ese punto, e) La fuerza que actúa sobre una partícula de masa 100kg colocada en el punto medio de uno de los lados, f) El trabajo que se realiza para llevar la partícula desde este punto al centro del cuadrado, g) La fuerza sobre una cualquiera de las masas, h) El trabajo que se debe realizar para colocar estas cuatro masas en los vértices del cuadrado suponiendo que inicialmente están infinitamente alejadas. m5= 1kg C

42. Ejercicio nº1 c) La intensidad de campo en el punto medio de uno cualquiera de los lados, d) El potencial en ese punto, e) La fuerza que actúa sobre una partícula de masa 100kg colocada en el punto medio de uno de los lados, f) El trabajo que se realiza para llevar la partícula desde este punto al centro del cuadrado, g) La fuerza sobre una cualquiera de las masas, h) El trabajo que se debe realizar para colocar estas cuatro masas en los vértices del cuadrado suponiendo que inicialmente están infinitamente alejadas. D m5= 1kg

43. Ejercicio nº1 c) La intensidad de campo en el punto medio de uno cualquiera de los lados, d) El potencial en ese punto, e) La fuerza que actúa sobre una partícula de masa 100kg colocada en el punto medio de uno de los lados, f) El trabajo que se realiza para llevar la partícula desde este punto al centro del cuadrado, g) La fuerza sobre una cualquiera de las masas, h) El trabajo que se debe realizar para colocar estas cuatro masas en los vértices del cuadrado suponiendo que inicialmente están infinitamente alejadas. m5= 1kg D

44. Ejercicio nº1 e) La fuerza que actúa sobre una partícula de masa 100kg colocada en el punto medio de uno de los lados, f) El trabajo que se realiza para llevar la partícula desde este punto al centro del cuadrado, g) La fuerza sobre una cualquiera de las masas, h) El trabajo que se debe realizar para colocar estas cuatro masas en los vértices del cuadrado suponiendo que inicialmente están infinitamente alejadas. D m5= 100kg

45. Ejercicio nº1 f) El trabajo que se realiza para llevar la partícula desde este punto al centro del cuadrado, g) La fuerza sobre una cualquiera de las masas, h) El trabajo que se debe realizar para colocar estas cuatro masas en los vértices del cuadrado suponiendo que inicialmente están infinitamente alejadas. D m5= 100kg C

46. g) La fuerza sobre una cualquiera de las masas, h) El trabajo que se debe realizar para colocar estas cuatro masas en los vértices del cuadrado suponiendo que inicialmente están infinitamente alejadas.

47. h) El trabajo que se debe realizar para colocar estas cuatro masas en los vértices del cuadrado suponiendo que inicialmente están infinitamente alejadas.

48. h) El trabajo que se debe realizar para colocar estas cuatro masas en los vértices del cuadrado suponiendo que inicialmente están infinitamente alejadas.

49. h) El trabajo que se debe realizar para colocar estas cuatro masas en los vértices del cuadrado suponiendo que inicialmente están infinitamente alejadas.

50. h) El trabajo que se debe realizar para colocar estas cuatro masas en los vértices del cuadrado suponiendo que inicialmente están infinitamente alejadas.