第四章晶格振动和晶体的热学性质

第四章 晶格振动和晶体的热学性质

在第一章和第三章中讨论晶体结构时，我们把晶体内的原子看作是处于自己的平衡位置上固定不动的。在第一章和第三章中讨论晶体结构时，我们把晶体内的原子看作是处于自己的平衡位置上固定不动的。 • 但实际上，物质是在不断运动的，量子力学告诉我们，即使达到绝对零度，仍具有零点能的振动。

它强烈地影响着物质的比热、热导、热膨胀、 光反射等物理性质。本章将介绍晶格振动是如何影响这些物理性质的。

本章重点 • 一维单原子/双原子链模型 • 及其色散关系的推导 • 晶格比热（爱因斯坦模型/德拜模型） • 运用非简谐振动解释热膨胀/热传导

整个晶体势能最低：原子处在自己的平衡位置上，原子围绕其平衡位置作振动。整个晶体势能最低：原子处在自己的平衡位置上，原子围绕其平衡位置作振动。 • 原子振动也不是孤立的，而是相互联系着的，所以晶体内形成各种模式波。 • 简谐近似：这些模式是相互独立的。 • 谐振子模型：独立而又分立的振动模式的描述。

4.1 一维原子链 4.1.1 一维简单晶格运动方程 • 每个原子的质量M，平衡时原子间距a。原子间相对位移：

表示平衡位置两个原子间的相互作用 势。在平衡位置附近用泰勒级数展开如下：(原子间的相对位移 )。相对位移后，相互作用势：在平衡位置，势能最小为零。所以：

对微分： 两边加负号：为恢复力常数：

系统总势能 只考虑临近原子相互作用，第n个原子所受的总作用力：第n个原子的运动方程返回

向右拉 向左拉第n个原子与第n+1个原子的互作用力与位移为x、弹簧的弹性系数为k的弹簧振子受的力f=- kx相似，所以称为弹性恢复力系数，称忽略掉互作用中非线性项的近似为简谐近似。

设的试解具有波动形式波矢是波的矢量，它的数量表示波数（k=2π/λ）, 它的方向表示波传播的方向为波矢，格波频率运动方程利用上式可改写为 4.1.2 格波频率-波矢关系

定性讨论和 的两种极限情况：q=0波长无穷大，整个晶格象刚体一样作整体运动，因而恢复力为0，。相反，时, ，邻近原子反向运动(位相相反)，所以，恢复力和频率取极大值。代表一维晶格的色散关系代表一维简单晶格的振动频谱

与 q 的关系为色散关系，所以通常称也称振动频谱或振动谱格波传播速度是波长λ的函数，波长不同的格波传播速度不同，这与可见光通过三角棱镜的情况相似，不同波长的光，在棱镜中的传播速度不同，折射角就不同，从而导致色散。

晶格中原子振动存在固定位相关系的平面波称为格波。晶格中原子振动存在固定位相关系的平面波称为格波。格波：在晶格中存在着角频率为的平面波简谐平面波格波 • 格波的波矢： • 格波的传播方向： • 波速：色散关系：频率与波矢之间的关系

是一维晶格的倒格矢，ｈ为任意整数，则 可限制在简约布里渊区

对于简谐波而言，波速是指相位的传播速度，也同于能量和波形的传播速度，而 大多数的媒质是具有色散的，及波在这种媒质中的速度与其频率有关，各个简谐波分量具有不同的相速，所以对于非简谐波，例如限长波列来说，“波速”的意义就含糊不清了，此时我们应以群速来描述局限在有限范围的波列----波包的传播速度。

4.1.3 格波的波速与群速

或的情况

B 虚线 q`= π/a-π/7aλ=7a/3 A 实线 q= π/a+π/7aλ=7a/4

Ex    z 0

4.1.4 周期性边界条件 边界上原子受力情况有别于体内原子设想这样N个原子连成一个环消除差别

晶格振动波矢的数目=晶格原胞数 布里渊区的尺度为两个波矢间隔布里渊区内的波矢数目玻恩-冯卡门边界条件

第四章 晶格振动和晶体的热学性质