חישוב מעגלים חשמליים בשימוש חוקי קירכהוף – ניסוח וייצוג מערכת משוואות האופייניות

1. חישוב מעגלים חשמליים בשימוש חוקי קירכהוף – ניסוח וייצוג מערכת משוואות האופייניות חישוב מעגלים חשמליים בעל מטרה: מציאת זרמים הזורמים בענפי המעגל החשמלי. שלבי ביצוע חישוב: • בחירת באופן שרירותי כיוון חיובי של זרמים בכל ענפי המעגל • הרכבת משוואות לזרמים לכל צומת המעגל לפי KCL • הרכבת משוואות למתחים לכל חוג המעגל לפי KVL • העברת כל משוואה לצורה קנונית (סטנדרטית) • פתרון מערכת משוואות האופייניות • מציאת זרמים ענפי המעגל כולל כיוונים אמיתיים (חיוביים) של הזרמים הנדסת חשמל 1 ד"ר פיוטר טורובסקי

2. לכל מעגל חשמלי שמכיל N- צמתים ( Nodes) ו- M- חוגים (Mesh’s) ניתן להרכיב M + N - 1)) משוואות על-פי חוקי קירכהוף המספיקות למציאת זרמים בכל ענפי המעגל. לדוגמא ניקח מעגל חשמלי הבא ונמצא זרמים בכל ענף: הנדסת חשמל 1 ד"ר פיוטר טורובסקי

3. נקבע באופן שרירותי את הכיווני הזרמים בענפי המעגל. הנדסת חשמל 1 ד"ר פיוטר טורובסקי

4. מעגל מכיל ארבע צמתים. אזי לפי חוק קירכהוף לזרמים (KCL) נקבל משוואות לזרמים באשר זרמים שנכנסים לצומת בעלים כיוון חיובי ( + ) וזרמים שיוצאים מהצומת בעלים כיוון שלילי (- ): • לצומת 1:- I1 + I2 - I3 = 0 ( 1 ) • לצומת 2:I1 + I4 - I6 = 0( 2 ) • לצומת 3:I3 + I6 - I5 = 0( 3 ) • לצומת 4:I5 - I2 - I4 = 0( 4 ) קיבלנו ארבעת המשוואות לפי KCL. מספר משוואות לא תלויות צריך להיות פחות באחת ממספר הצמתים. לפיכך אחת מהמשוואות מיותרת והיא תלויה בשלוש משוואות אחרות. מכאן נובע שלפי KCL יש לקחת רק שלוש משוואות לא תלויות, למשל, משוואות ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ). הנדסת חשמל 1 ד"ר פיוטר טורובסקי

5. לקבלת משוואות המתארות את המעגל על-פי חוק קירכהוף למתחים ( KVL) יש לשים לב שהמשוואות תהיינה בלתי תלויות זו בזו. לכך יש לבחור חוגים כך שיכללו בתוכם את כל ענפיי המעגל ובמינימום ענפים. • חוגים לא תלויים זה בזה כאשר כל חוג כולל לפחות ענף אחד חדש והוא לא מתקבל מאחד החוגים הקודמים באמצעות חיסור ענפים משותפים. • משוואות לפי חוק קירכהוף למתחים המתארות מעגל הנתון הן: • לחוג 1 ( בין הצמתים: 1-2-4-1 ): ) I1R1 + E2 + I2R2 +E4 – I4R4 – E1 = 0 5) • לחוג 2 ( בין הצמתים: 1-4-3-1 ): -I3R3 + E3 – I5R5 – I2R2 – E2 = 0(6) • לחוג 3 ( בין הצמתים: 2-3-4-2 ): I4R4 - E4 + I5R5 - E5 + I6R6 = 0 (7) הנדסת חשמל 1 ד"ר פיוטר טורובסקי

6. נפריד נעלמים ( משתנים ) במשוואות מתחים ונרשום אותן בצורה: -I1 + I2 - I3 = 0 I1 + I4 - I6 = 0 I3 – I5 + I6 = 0 I1R1 + I2R2– I4R4 = E1 – E2 – E4 – I2R2 -I3R3 – I5R5 = E2 - E3 I4R4 + I5R5 + I6R6 = E4 + E5 הנדסת חשמל 1 ד"ר פיוטר טורובסקי

7. תיאור קנוני של מערכת המשוואות. • צורה קנונית של מערכת משוואות ליניאריות עם n- נעלמים: הנדסת חשמל 1 ד"ר פיוטר טורובסקי

8. כל רשת (מערכת, מעגל) חשמלית המכילה b - ענפים (Branches) כאשר זורמים בהםb -זרמים ניתן לתאר בכל רגע זמן על-ידי מערכת משוואות אופייניות קנוניות כתובות על-סמך שני חוקי קירכהוף: הנדסת חשמל 1 ד"ר פיוטר טורובסקי

9. כאשר כל מקדם יכול להיות עכבה j·x )± (Z = Rאו התנגדות (R). • במשוואות כתובות לפי חוק קירכהוף לזרמים (KCL), מקדמים מקבלים ערכים 1 ± או 0 ואינם יחידות מדידה. • Fi – סכום אלגברי מתחי כל מקורות המתח בחוג i, המתואר על-ידי משוואה המתאימה (משוואה כתובה על-פי KVL): או סכום זרמים של כל המקורות המחוברות לצומת –i, המתואר על-ידי משוואה המתאימה (משוואה כתובה על-פי KCL). הנדסת חשמל 1 ד"ר פיוטר טורובסקי

10. ייצוג מערכת משוואות אופייניות בצורה מטריצית הנדסת חשמל 1 ד"ר פיוטר טורובסקי

11. נסמן מטריצות: • אזי נקבל ייצוג מטריצי כללי של מערכת משוואות קנוניות: A·I = F הנדסת חשמל 1 ד"ר פיוטר טורובסקי

12. להעברת מערכת משוואות המתארות מעגל הנתון לצורה קנונית נוסיף למשוואות איברים המתאימים: -I1 1 + I2 1 - I3 1 + 0 + 0 + 0 = 0 I1 1 + 0 + 0 + I4 1 + 0 - I6 1 = 0 0 + 0 + I3 1 + 0 – I5 1 + I6 1 = 0 I1R1 + I2R2 + 0 – I4R4 + 0 + 0 = E1 – E2 – E4 0 – I2R2 - I3R3 + 0 – I5R5 + 0 = E2 - E3 0 + 0 + 0 + I4R4 + I5R5 + I6R6 = E4 + E5 הנדסת חשמל 1 ד"ר פיוטר טורובסקי

13. מערכת המשוואות אופייניות של המעגל ברישום מטריצי: פתרון מערכת המשוואות באמצעות תוכנה "MATLAB": R=[-1 1 -1 0 0 0,1 0 0 1 0 -1,0 0 1 0 -1 1, R1 R2 0 -R4 0 0,0 -R2 -R3 0 -R5 0,0 0 0 R4 R5 R6] E=[0,0,0,E1-E2-E4,E2-E3,E4+E5] I=R\E הנדסת חשמל 1 ד"ר פיוטר טורובסקי

14. פתרון מערכת המשוואות באמצעות תוכנה "MATCAD": הנדסת חשמל 1 ד"ר פיוטר טורובסקי

15. נוסחאות קרמר D  0 הנדסת חשמל 1 ד"ר פיוטר טורובסקי

16. כלל סאריוס לחישוב דטרמיננטת הנדסת חשמל 1 ד"ר פיוטר טורובסקי