Лектор Янущик О.В.

1. Математический анализ Раздел: Теория функций комплексного переменного Тема:Дифференцирование функций комплексного переменного Лектор Янущик О.В. 2013 г.

2. §5. Дифференцирование функции комплексного переменного 1. Производная функции комплексного переменного Пусть w=f(z) – однозначная функция, f(z) определена в точке z0 и некоторой ее окрестности. Придадим z0 приращение z такое, что z0+zD(f) . ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Производной функции w=f(z) в точке z0 называется (если он существует и конечен). Обозначают: Зависимость z→ f(z)является функцией. Ее называют произ-водной функции f(z) и обозначают:

3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функцияw=f(z) называется дифференци-руемой в точкеz0 , если ее приращение в этой точке может быть записано как сумма линейной относительноzчасти и бесконечно малой более высокого порядка чемz, т.е. f(z0) = Az +  α · Δz , (1) где A – комплексноечисло, α=α(z0, Δz) – бесконечно малаяприΔz →0. Замечание.(1) можно записать в виде f(z0) = Az +  (z)  , где (z) – б.м. более высокого порядка чем z. СлагаемоеAzв выражении (1) называют дифференциалом функцииw=f(z) в точкеz0 и обозначают: dw(z0), df(z0).

4. ТЕОРЕМА 1 (о связи дифференцируемости с существованием производной). Функция w=f(z) дифференцируема в точкеz0∃f(z0). При этом для ее дифференциала в точкеz0справедливо равенствоdw(z0) = f (z0) z . (2) ДОКАЗАТЕЛЬСТВО сам-но ТЕОРЕМА 2. (необходимое и достаточное условие дифферен-цируемости функции) Функцияf(z) = u(x,y) + iv(x,y) дифференцируема в точкеz0=x0+iy0 1) u(x,y) и v(x,y)дифференцируемы вM0(x0,y0) 2)в точкеM0(x0,y0)выполняются условия Коши – Римана: Замечание. Если fʹ(z0) существует, то

5. Имеем: w = f(z) ТЕОРЕМА 3. (об условии, эквивалентном условиям Коши – Римана) Условия Коши – Римана эквивалентны условию СЛЕДСТВИЕ. Если функция элементарная, то для нее условия Коши – Римана выполняются и производная находится по обычным правилам.

6. 2. Аналитические функции Областью на комплексной плоскости называют открытое и связное множество. (т.е. множество, каждая точка которого – внутренняя и любые две точки которого можно соединить линией, целиком лежащей в этом множестве). ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функцияf(z) называется аналитической в точкеz0если она дифференцируема в этой точке и во всех точках некоторой окрестности точкиz0.

7. СВОЙСТВА АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 1) Если функцияf(z)аналитическая в окрестности точкиz0, тоf(z)непрерывна в этой окрестности. 2) Если функцииf(z)иφ(z) аналитичны в областиD , тоf(z)±φ(z) иf(z) · φ(z)тоже аналитичны в этой области. Кроме того, их частное аналитично всюду в областиD , гдеφ(z)≠ 0. 3) Если функцияf(z):D→E – аналитична в областиD, φ(z):E→G – аналитична в областиE, то функцияφ(f(z)) – аналитична вD .

8. 4) Если в окрестности точкиz0определена аналитическаяфункцияf(z) такая, чтоf(z0)≠0, то в некоторой окрест-ности точкиw0= f(z0) определена единственная обратная функцияz=φ(w), которая будет аналитической в этой окрестности и для которой справедливо равенство 5) Еслиf(z):ℂ→ℂ иf(z) – ограниченная и аналитическая на всей комплексной плоскости, тоf(z)=const . (теорема Лиувилля)

9. 6) Еслиf(z)=u(x,y)+iv(x,y) – аналитическая в областиD, тофункцииu(x,y)иv(x,y)являются гармоническими. Доказательство. Функция φ(x,y) называется гармонической, если она удовлетворяет уравнению Лапласса Две гармонические функции u(x,y) и v(x,y) , удовлет-воряющие условиям Коши – Римана называются сопря-женной парой гармонических функций (порядок функций в паре существенен!) 7) Еслиf(z) – аналитическая в областиD, то действительная (мнимая) часть определяет ее с точностью до константы.

10. 8) Пустьf(z) – аналитическая в областиD ,z0∈Dи f(z0)0. Тогда все бесконечно малые дуги, выходящие из точкиz0при отображенииf(z)поворачиваются на один и тот жеугол, равныйargf(z0), и получают одно и то жерастяжение, равное | f(z0)|. (геометрический смысл производной аналитической функции)

11. 4) Если в окрестности точкиz0определена аналитическаяфункцияf(z) такая, чтоf(z0)≠0, то в некоторой окрест-ности точкиw0= f(z0) определена единственная обратная функцияz=φ(w), которая будет аналитической в этой окрестности и для которой справедливо равенство 5) Пустьf(z) – аналитическая в областиD. Тогда: а)еслиf(z)≠const вD , то| f(z)| не достигает вD своегонаименьшего значения; б)еслиf(z)≠ 0вD , то| f(z)| не достигает вD своего наибольшего значения; в)еслиf(z)≠ 0вDиf(z)непрерывна на границе областиD, то| f(z)| достигает своего наибольшего и наимень- шего значения на границе областиD . (принцип максимума модуля)