Prognozowanie i symulacje
Download
1 / 115

Prognozowanie i symulacje - PowerPoint PPT Presentation


  • 466 Views
  • Uploaded on

Prognozowanie i symulacje. Ramowy plan wykładu. Wprowadzenie w przedmiot Trafność, dopuszczalność i błąd prognozy Prognozowanie na podstawie szeregów czasowych Prognozowanie na podstawie modelu ekonometrycznego Heurystyczne modele prognostyczne Symulacje. Wybrana literatura.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about ' Prognozowanie i symulacje' - jarrod-morrow


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript

Ramowy plan wykładu

  • Wprowadzenie w przedmiot

  • Trafność, dopuszczalność i błąd prognozy

  • Prognozowanie na podstawie szeregów czasowych

  • Prognozowanie na podstawie modelu ekonometrycznego

  • Heurystyczne modele prognostyczne

  • Symulacje


Wybrana literatura

  • Prognozowanie gospodarcze. Metody i zastosowanie, red. M. Cieślak, PWN, Warszawa 2001

  • Zeliaś A., Pawełek B., Wanat S., Prognozowanie ekonomiczne. Teoria, przykłady, zadania, PWN, Warszawa 2003

  • Gajda J., Prognozowanie i symulacja a decyzje gospodarcze, Wyd. C.H. Beck, Warszawa 2001

  • Prognozowanie gospodarcze, red. E. Nowak, AW Placet, Warszawa 1998

  • Prognozowanie i symulacja, red. W. Milo, Wyd. UŁ, Łódź 2002


Przewidywanie przyszłości

Racjonalne

Nieracjonalne

Naukowe

Zdroworozsądkowe

Przewidywanie przyszłości

PROGNOZOWANIE to przewidywanie przyszłości w sposób racjonalny z wykorzystaniem metod naukowych

PREDYKCJA to prognozowanie na podstawie modelu ekonometrycznego


Prognoza jako wynik prognozowania

PROGNOZA to sąd sformułowany z wykorzystaniem dorobku nauki odnoszący się do określonej przyszłości, weryfikowalny empirycznie, niepewny (ale akceptowalny)

  • Etapy prognozowania:

  • Sformułowanie zadania prognostycznego

  • Podanie przesłanek prognostycznych

  • Wybór metody prognozowania

  • Ocena dokładności lub dopuszczalności prognozy

  • Weryfikacja prognozy


Funkcje prognoz

  • Wyróżnia się trzy podstawowe funkcje prognoz:

  • PREPARACYJNA (do podejmowania decyzji, stwarza dodatkowe przesłanki do podejmowania racjonalnych decyzji)

  • AKTYWIZUJĄCA (pobudzenie do działań sprzyjających realizacji korzystnej prognozy, przeciwdziałających prognozie niekorzystnej)

  • INFORMACYJNA (dostarcza informacji o badanym zjawisku)


Metoda prognozowania

  • METODA PROGNOZOWANIA to sposób przetworzenia danych z przeszłości wraz ze sposobem przejścia od przetworzonych danych do prognozy.

  • Istnieją więc dwie fazy:

  • faza diagnozowania przeszłości - odbywa się przez budowę modelu formalnego (model ekonometryczny) lub myślowego (w umyśle eksperta)

  • faza określania przyszłości – polega na zastosowaniu odpowiedniej reguły prognozy


Reguły prognozy

  • reguła podstawowa – prognoza postawiona na podstawie modelu, przy założeniu, że będzie on aktualny w prognozowanym okresie

  • reguła podstawowe z poprawką – prognoza postawiona na podstawie modelu z poprawką uwzględniającą, że ostatnio zaobserwowane odchylenia od modelu utrzymają się w przyszłości

  • reguła największego prawdopodobieństwa (dla zmiennych losowych, których rozkład prawdopodobieństwa jest znany) – prognozą jest wartość zmiennej, której odpowiada największe prawdopodobieństwo dla zmiennych skokowych lub maksymalna wartość funkcji gęstości prawdopodobieństwa dla zmiennych ciągłych

  • reguła minimalnej straty – przyjmuje się, że wielkość straty jest funkcją błędu prognozy i poszukuje się minimum tej funkcji. Prognozą jest wartość dla której ta funkcja przyjmuje minimum.


Metody prognozowania

Metody matematyczno-statystyczne

Metody niematematyczne

Metody oparte na modelach deterministycznych

Metody oparte na modelach ekonometrycznych

  • Metody ankietowe

  • Metody intuicyjne

  • Metody kolejnych przybliżeń

  • Metoda ekspertyz

  • Metoda delficka

  • Metoda refleksji

  • Metody analogowe

  • Inne

  • Modele wielorównaniowe:

  • prosty

  • rekurencyjny

  • o równaniach współzależnych

Modele jednorównaniowe

  • Klasyczne modele trendu

  • Adaptacyjne modele trendu

  • Modele przyczynowo-opisowe

  • Modele autoregresyjne

Metody prognozowania


Metody prognozowania

Prognozowanie na podstawie modelu matematyczno-statystycznego to prognozowanie ilościowe

Prognozowanie na podstawie modeli niematematycznych, to zwykle prognozowanie jakościowe

  • Prognozy ilościowe dzielimy na:

  • punktowe, gdzie dla zmiennej prognozowanej wyznacza się jedną wartość dla T>n,

  • przedziałowe, w których wyznacza się przedział, w którym znajdzie się rzeczywista wartość zmiennej prognozowanej w prognozowanym okresie T>n.


Prognozowanie

Bazą danych do modelu zmiennej prognozowanej (1) yt=F(t,et)lub (2) yt=F(x1t, x2t,...,xkt,et) jest szereg czasowy w postaci:

Prognozy zmiennej prognozowanej yt wyznaczamy na okres T > n Prognozę na okres T będziemy oznaczać YT*


Horyzont czasowy prognoz

Prognoza krótkookresowa to prognoza na taki przedział czasowy, w którym zakłada się istnienie tylko zmian ilościowych. Prognozy takie wyznacza się przez ekstrapolację dotychczasowych związków (na podstawie modeli ekonometrycznych lub trendów)

Prognoza średniookresowa dotyczy okresów czasu, w których oczekuje się zmian ilościowych oraz ewentualnie niewielkich zmian jakościowych. Prognoza musi uwzględniać oba typy zmian, musi przynajmniej umiarkowanie odchodzić od ekstrapolacji

Prognoza długookresowa dotyczy przedziału czasu, w którym mogą występować zmiany ilościowe oraz znaczące zmiany jakościowe


Modele ilościowe

  • Prognozę na okres T > n można postawić wykorzystując model F (1) lub(2) jeśli spełnione są następujące założenia:

  • funkcja F wyraża pewną prawidłowość ekonomiczną, która jest stabilna w czasie (nie spodziewamy się żadnych zmian jakościowych),

  • składnik losowy et jest stabilny,

  • w przypadku modelu ekonometrycznego znane są wartości zmiennych objaśniających w okresie T > n, czyli znane są wartości prognoz X1T*,X2T*,...,XkT*,

  • dopuszczalna jest ekstrapolacja modelu poza próbę, czyli poza obszar zmienności zmiennych objaśniających, jak i zmiennej (zmiennych) objaśnianej.


Y

A

t

Analiza danych w szeregu czasowym

  • Analiza danych polega na:

  • Wyodrębnieniu obserwacji odstających

  • Stwierdzeniu braku lub istnienia trendu


Obserwacje odstające

  • Po wyodrębnieniu obserwacji odstających należy ustalić:

  • Czy dana obserwacja pojawiła się w skutek błędu rejestracji danych,

  • Czy obserwacja pojawiła się w skutek jednokrotnego zjawiska zewnętrznego wpływu (np. realizacja pewnego dużego jednokrotnego zamówienia, o którym wiemy, że nie nastąpi już w przyszłości),

  • Czy obserwacja pojawiła się jako normalne wahanie losowe (przypadkowe) w próbie.

W przypadku 1. oraz 2. obserwację A można pominąć, a brakującą wartość uzupełnić średnią arytmetyczną z obserwacji poprzedniej i następnej. W przypadku 3. obserwacja powinna pozostać w bazie danych statystycznych.


Błąd prognozy

  • Po wyborze modelu prognostycznego F można wyznaczyć prognozy dla T>n:

  • YT*=F(T)lub (2) YT*=F(x1T*, x2T*,...,xkT*)

  • wraz z prognozą YT* należy wyznaczyć miernik dokładności prognozy

Przy wyborze modelu prognostycznego należy dążyć do osiągnięcia zadowalającego poziomu miernika dokładności

  • Wyróżniamy dwa typy mierników:

  • błąd ex post

  • błąd ex ante

Błąd prognozy można zapisać jako

Bt = yt – Yt* gdzie Yt* to wartość prognozy zmiennej Y na okres t, wyznaczona na podstawie modelu F, a yt to rzeczywista wartość zmiennej prognozowanej w okresie t.


Błąd ex ante wyznacza się dla modeli liniowych, których parametry oszacowano Metodą Najmniejszych Kwadratów (MNK). Niech model ma postać:

dla t = 1, 2, …n.

to po oszacowaniu MNK jego parametrów model teoretyczny przyjmuje postać:

dla t = 1, 2, …n.

w zapisie macierzowym:

Dopuszczalność prognozy: błąd ex ante


Gdzie w zapisie macierzowym:

oraz

Dopuszczalność prognozy (2)


Prognozę na okres T > n można wyznaczyć ze wzoru:

gdzie: X*1T, X*2T,…X*kTto prognozyzmiennych objaśniającychX1, X2,…Xkw okresie T>n cow zapisie macierzowym:

gdzie:

Dopuszczalność prognozy (3)


Błąd ex ante to odchylenie standardowe błędu BT prognozy Y*T na okres T. Błąd ex ante oznacza się przez V*T:

gdzie Se to odchylenie standardowe reszt modelu liniowego.

Względny błąd ex ante prognozy Y*T:

który informuje jaką część prognozy stanowi błąd ex ante

Błąd ex ante


  • Błąd ex post może być wyznaczony dla wszystkich modeli ilościowych. Jeśli t będzie okresem, na który postawiono prognozę Y*t i okres ten już minął, to znana jest wartość rzeczywista Yt zmiennej prognozowanej. Taką prognozę Y*t nazywać będziemy prognozą wygasłą. Dla prognoz wygasłych można wyznaczyć błąd ex post.

  • Rozróżniamy:

  • względny błąd prognozy (procentowy):

  • absolutny błąd prognozy:

  • względny absolutny błąd prognozy (procentowy):

  • kwadratowy błąd prognozy:

  • względny kwadratowy błąd prognozy:

Trafność prognozy – błąd ex post (1)


Trafność prognozy – błąd ex post (2)

  • Do oceny trafności prognoz wygasłych (a a więc dopasowania modelu prognostycznego F do danych o zmiennej prognozowanej Y można wykorzystać następujące błędy:

  • średni absolutny błąd ex post prognoz wygasłych

  • średni względny absolutny błąd ex post prognoz wygasłych

  • średni błąd ex post prognoz wygasłych

  • średni względny błąd ex post prognoz wygasłych

  • średni kwadratowy błąd ex post prognoz wygasłych

  • pierwiastek średniego kwadratowego błędu ex post prognoz wygasłych

  • współczynnik Theila

Do badania aktualności modelu prognostycznego – możemy użyć współczynnika Janusowego


Oznaczmy przez

  • M zbiór numerów okresów/momentów, w których weryfikujemy trafność prognoz wygasłych wyznaczonych za pomocą modelu

  • card M – liczebność zbioru M.


Średni absolutny błąd ex post prognoz wygasłych MAE


Średni względny absolutny błąd ex post prognoz wygasłych MAPE(procentowy)


Średni błąd ex post prognoz wygasłych ME


Średni względny błąd ex post prognoz wygasłych MPE


Średni kwadratowy błąd ex post prognoz wygasłych MSE


Pierwiastek redniego kwadratowego b du ex post prognoz wygas ych rmse
Pierwiastek średniego kwadratowego błędu ex post prognoz wygasłych RMSE



Współczynnik Theila (2)

Wyraża wielkość błędu z powodu nieodgadnięcia średniej wartości zmiennej prognozowanej (nieobciążoności prognozy).

Wartości średnie wyznaczane są dla wartości yt takich, że ,


Współczynnik Theila (3)

Wyraża wielkość błędu z powodu nieodgadnięcia wahań zmiennej prognozowanej (niedostatecznej elastyczności)


Współczynnik Theila (4)

Wyraża wielkość błędu z powodu nieodgadnięcia kierunku tendencji rozwojowej zmiennej prognozowanej (niedostatecznej zgodności prognoz z rzeczywistym kierunkiem zmian zmiennej prognozowanej)

to współczynnik korelacji pomiędzy wartościami yt i Yt* dla


Współczynnik Janusowy

P – zbiór numerów okresów/momentów, dla których postawiono prognozy za pomocą modelu i stały się one prognozami wygasłymi,

card P – liczebność zbioru P,

K to zbiór numerów okresów/momentów dla których zbudowano model i wyznaczono prognozy wygasłe,

Card K – liczebność zbioru K

Jeżeli J2≤ 1, to model jest nadal aktualny i może być użyty do prognozowania na następne okresy.


Prognozowanie na podstawie szeregów czasowych

  • Składowe szeregu czasowego:

  • Składowa systematyczna

  • Składowa przypadkowa

  • Składowa systematyczna:

  • Trend (tendencja rozwojowa) – długookresowa skłonność do jednokierunkowych zmian wartości badanej zmiennej,

  • Stały przeciętny poziom prognozowanej zmiennej – wartości oscylują wokół stałego poziomu,

  • Wahania cykliczne – długookresowe, powtarzające się rytmicznie w przedziałach czasu dłuższych niż rok, wahania wartości zmiennej wokół trendu lub stałego poziomu,

  • Wahania sezonowe – wahania wartości zmiennej wokół trendu lub stałego poziomu w przedziałach czasu nie przekraczających roku.


Dekompozycja szeregu czasowego

Proces wyodrębniania poszczególnych składowych szeregu czasowego

Ocena wzrokowa sporządzonego wykresu

Identyfikacja poszczególnych składowych szeregu czasowego na podstawie wykresów szeregu czasowego

Analiza autokorelacji

Oblicza się wartości współczynników korelacji między yt oraz yt-i (dla i=1,2,...,k), czyli współczynniki autokorelacji różnych rzędów. Bada się statystyczną istotność tych współczynników. Jeśli współczynniki dla kilku pierwszych rzędów są duże i statystycznie istotne, to wskazuje to na występowanie trendu. Jeśli występuje statystycznie istotny współczynnik autokorelacji rzędu równego liczbie faz cyklu sezonowego, to wskazuje to na występowanie wahań sezonowych.






Modele szeregów czasowych ze stałym poziomem zmiennej prognozowanej bez wahań okresowych (1)

Metoda naiwna

metodę można stosować w przypadku niskiej zmienności zmiennej prognozowanej – zazwyczaj, w sytuacjach, gdy współczynnik zmienności nie przekracza 10%

Metoda średniej ruchomej ważonej k-elementowej

Stałą wygładzania k ustala się na podstawie najmniejszego błędu prognoz wygasłych, wagi wi ustala prognosta na podstawie wiedzy o zmiennej

prognozowanej Y. Jeśli przyjmie się to metodę nazywamy metodą średniej ruchomej k-elementowej.


Modele szeregów czasowych ze stałym poziomem zmiennej prognozowanej (2)

Prosty model wygładzania wykładniczego

dla t =2, 3,…n.

model można stosować jeśli szereg nie cechuje zbyt silna zmienność (wahania przypadkowe nie są zbyt duże). Stałą wygładzania a wyznacza się eksperymentalnie na podstawie wybranego kryterium, jakie powinny spełniać prognozy wygasłe.

Do wyboru modelu prognostycznego (prognozy) można wykorzystać analizę błędów ex post prognoz wygasłych


Modele szeregów czasowych z tendencją rozwojową zmiennej prognozowanej bez wahań okresowych(1)

Modele analityczne

stosuje się do prognozowana zjawisk, które charakteryzowały się w przeszłości regularnymi zmianami, które można opisać za pomocą funkcji czasu i wobec których zakłada się niezmienność kierunku trendu.

  • Wybór postaci analitycznej modelu dokonuje się na podstawie:

  • przesłanek teoretycznych dotyczących mechanizmu rozwojowego prognozowanego zjawiska,

  • oceny wzrokowej wykresu przeszłych wartości zmiennej,

  • dopasowania modelu do wartości rzeczywistych zmiennej prognozowanej.


Modele szeregów czasowych z tendencją rozwojową zmiennej prognozowanej (2)

Do oceny dopasowania modelu liniowego, którego parametry oszacowano MNK, do wartości empirycznych można się posłużyć:

a) współczynnikiem determinacji:

b) standardowym błędem szacunku modelu (odchyleniem standardowym reszt):

gdzie: k– oznacza liczbę zmiennych objaśniających w modelu


Modele szeregów czasowych z tendencją rozwojową zmiennej prognozowanej (3)

Model trendu liniowego (lub zlinearyzowanego) przedstawia się w następujący sposób:

Parametry strukturalne modelu można oszacować metodą najmniejszych kwadratów :

Prognozę na okres T>nwyznacza się z wzoru:


Modele szeregów czasowych z tendencją rozwojową zmiennej prognozowanej (4)

Do oceny dopuszczalności zbudowanych prognoz używa się błędów ex ante:

a) dla modelu liniowego:

b) dla modeli nieliniowych sprowadzalnych do liniowych poprzez transformację g:

– zmienna określona transformacją liniową = g(y), to błąd ex ante prognozy zmiennej na okres T, a pochodna jest liczona w punkcie y*T


Modele szeregów czasowych z tendencją rozwojową zmiennej prognozowanej (5)

Model trendu wielomianowego:

Przekształcenie do postaci liniowej: podstawienie:

Prognoza:


Modele szeregów czasowych z tendencją rozwojową zmiennej prognozowanej (6)

Model trendu wykładniczego:

Przekształcenie do postaci liniowej:


Modele szeregów czasowych z tendencją rozwojową zmiennej prognozowanej (7)

Model trendu potęgowego:

Przekształcenie do postaci liniowej:


Modele szeregów czasowych z tendencją rozwojową zmiennej prognozowanej (8)

Model trendu logarytmicznego:

Przekształcenie do postaci liniowej:


Modele szeregów czasowych z tendencją rozwojową zmiennej prognozowanej (9)

Model trendu hiperbolicznego:

Przekształcenie do postaci liniowej:


Przykład obliczeniowy (1) prognozowanej (9)

  • Wielkość sprzedaży rowerów stacjonarnych firmy Wettler u przedstawiciela na Górny Śląsk w ostatnich kwartałach przedstawiała się następująco [w szt.]:

  • Przyjmując, że czynniki kształtujące sprzedaż nie ulegną zmianie:

  • postawić prognozę sprzedaży na kolejny kwartał (T=13)




Przykład obliczeniowy (4) prognozowanej (9)

W kolejnym kwartale prognozowana sprzedaż wynosi 129 sztuk rowerów.


Przykład obliczeniowy (błąd ex ante) (5) prognozowanej (9)

b) przyjmując, że błąd prognozy nie może stanowić więcej niż 1% jej wartości zbadaj dopuszczalność prognozy



Przykład obliczeniowy (błąd ex ante) (7) prognozowanej (9)

Prognozę na kolejny kwartał (T=13) można uznać za dopuszczalną.


Przykład obliczeniowy (8) prognozowanej (9)

c) postaw prognozy na następne dwa kwartały (14 i 15) oraz oceń ich dopuszczalność


Przykład obliczeniowy (9) prognozowanej (9)

Obie prognozy (na kwartał 14 oraz 15) można uznać za dopuszczalne.


Modele szeregów czasowych z tendencją rozwojową zmiennej prognozowanej (10)

Jeżeli zaobserwuje się odchodzenie wartości zmiennej prognozowanej od dotychczasowej tendencji rozwojowej (spowodowane zmianą jakościową), to można wykorzystać prognozę w formie reguły podstawowej z poprawką:


Modele szeregów czasowych z tendencją rozwojową zmiennej prognozowanej (11)

Prognozę przedziałową dla z góry zadanej wiarygodności p (dla z góry zadanego prawdopodobieństwa, że wartość rzeczywista zmiennej prognozowanej w okresie T>n znajdzie się w danym przedziale) konstruuje się w następujący sposób:

u – współczynnik związany z wiarygodnością prognozy p, rozkładem reszt modelu oraz długością szeregu czasowego.

Jeśli rozkład reszt modelu nie jest zgodny z rozkładem normalnym lub hipoteza o normalności nie była weryfikowana, to u zależy wyłącznie od wiarygodności prognozy, a obliczając u korzysta się z nierówności Czebyszewa:

Jeśli rozkład reszt modelu jest zgodny z rozkładem normalnym, to u odczytuje się z tablic rozkładu normalnego dla dużej próby dla prawdopodobieństwa lub z tablic rozkładu t-Studenta dla małej próby (n<30) dla prawdopodobieństwa

(1-p) oraz n-k-1 stopni swobody.


Przykład obliczeniowy (1)

Wielkość sprzedaży rowerów stacjonarnych firmy Wettler u przedstawiciela na Górny Śląsk w ostatnich kwartałach przedstawiała się następująco [w szt.]:

Przyjmując, że czynniki kształtujące sprzedaż nie ulegną zmianie, postawić prognozę przedziałową na kolejny kwartał na poziomie wiarygodności 0,95.


Przykład obliczeniowy (2)


Modele szeregów czasowych z tendencją rozwojową zmiennej prognozowanej (12)

Model liniowy Holta

gdzie

dla t=2, 3,…,n.

Parametry wygładzania a i b dobiera się eksperymentalnie na podstawie wybranego kryterium, które powinny spełniać prognozy wygasłe. Ponadto a i b należą do przedziału [0;1].

Model wymaga wartości początkowych F1 oraz S1 .Można przyjąć:


Przykład obliczeniowy (1) prognozowanej (12)

Wielkość sprzedaży pralek automatycznych firmy „Kolar” u jednego z przedstawicieli w ostatnich miesiącach przedstawiała się następująco [w szt.]:

Przyjmując, że czynniki kształtujące sprzedaż nie ulegną zmianie:

a) postaw prognozę na następny miesiąc


Przykład obliczeniowy (2) prognozowanej (12)

Początkowe rozwiązanie dla a=0,5 oraz b=0,5


Przykład obliczeniowy (3) prognozowanej (12)

a=0,981598763552985 oraz b=0,702640116555618


Przykład obliczeniowy (4) prognozowanej (12)

a=1 oraz b=0,701813393637758


Przykład obliczeniowy (5) prognozowanej (12)

a=0,820035105981983 oraz b=0F1=a0 oraz S1=a1 na podstawie wszystkich obserwacji


Przykład obliczeniowy (6) prognozowanej (12)

a=1 oraz b=0,596147803853797 F1=a0 oraz S1=a1 na podstawie 3 pierwszych obserwacji


Przykład obliczeniowy (7) prognozowanej (12)

a=1 oraz b=0,951541620905999 F1 oraz S1 na podstawie najmniejszego błędu prognoz wygasłych


  • Model trendu pełzającego z wagami harmonicznymi prognozowanej (12)

  • Procedura metody jest następująca:

  • Ustalenie stałej wygładzania k < n;

  • Oszacowanie na podstawie kolejnych fragmentów szeregu o długości k liniowych funkcji trendu

  • Obliczenie wartości teoretycznych wynikających z poszczególnych funkcji trendu;

  • Obliczenie wartości trendu pełzającego dla każdego okresu t (średnia arytmetyczna z wartości teoretycznych adekwatnych funkcji trendu dla danego okresu);

  • Obliczenie przyrostów funkcji trendu:

  • Nadanie wag poszczególnym przyrostom:

  • Określenie średniego przyrostu trendu jako średniej ważonej wszystkich obliczonych przyrostów

  • Wyznaczenie prognozy punktowej na okres T:


Przykład obliczeniowy (1) prognozowanej (12)

Na podstawie danych z poprzedniego przykładu (sprzedaż pralek firmy „Wolar”) postaw prognozę na następny miesiąc przy zastosowaniu modelu trendu pełzającego z wagami harmonicznymi.

  • Niech k=3, im wyższa wartość stałej k, tym większe wygładzenie szeregu i tym słabsze reagowanie na zmiany zachodzące w szeregu czasowym


Przykład obliczeniowy (2) prognozowanej (12)Wartości teoretyczne


Przykład obliczeniowy (3) prognozowanej (12)Wartości wygładzone- trend pełzający


Przykład obliczeniowy (4) prognozowanej (12)Przyrosty funkcji trendu pełzającego


Przykład obliczeniowy (5) prognozowanej (12)Nadanie wag przyrostom

Wagi realizują postulat postarzania informacji – najnowsze przyrosty mają największe znaczenia. Suma wag wynosi 1.


Przykład obliczeniowy (6) prognozowanej (12)


Modele szeregów czasowych z wahaniami okresowymi zmiennej prognozowanej (1)

  • Metoda wskaźników

  • gdy występują wahania sezonowe wraz z tendencją rozwojową lub stałym przeciętnym poziomem

  • prognozę wyznacza się na podstawie wartości funkcji trendu skorygowanej o wskaźnik sezonowości

  • przy wahaniach bezwzględnie stałych (gdy amplitudy wahań, w analogicznych okresach są stałe) może być model addytywny:

  • przy wahaniach względnie stałych (wielkości amplitud zmieniają się mniej więcej w tym samym stosunku) może być model multiplikatywny:

  • gdzie to wielkość prognozy wyznaczona z funkcji trendu lub stałego przeciętnego poziomu


Modele szeregów czasowych z wahaniami okresowymi zmiennej prognozowanej (2)

  • Oblicza się następujące wartości (eliminacja trendu):

  • Oblicza się „surowe wskaźniki sezonowości” (eliminacja oddziaływania składnika losowego):

  • k – liczba jednoimiennych faz w szeregu; r – liczba faz w cyklu

  • Wyznacza się „czyste wskaźniki sezonowości” (informują o natężeniu wahań sezonowych):

  • Wyznacza się wartość prognozy:


Przykład obliczeniowy (1) prognozowanej (2)

Firma „Czarny diament” prowadzi sprzedaż paliwa opałowego klientom indywidualnym. Dochody firmy zależą praktycznie od wielkości sprzedaży miału opałowego. Dane dotyczące kwartalnej wielkości sprzedaży miału [t] z ostatnich lat przedstawiono w poniższej tabeli. Należy wyznaczyć prognozę na kolejne kwartały.


Przykład obliczeniowy (2) prognozowanej (2)

Analiza amplitud wahań dopuszcza stosowanie modelu addytywnego, jak i multiplikatywnego.


Przykład obliczeniowy (3) prognozowanej (2)Model addytywny


Przykład obliczeniowy (4) prognozowanej (2)Model multiplikatywny


Modele szeregów czasowych z wahaniami okresowymi zmiennej prognozowanej (3)

  • Metoda trendów jednoimiennych okresów

  • gdy występują wahania sezonowe wraz z tendencją rozwojową lub stałym przeciętnym poziomem

  • polega na szacowaniu parametrów analitycznej funkcji trendu oddzielnie dla poszczególnych faz cyklu

  • prognozę stawia się przez ekstrapolację odpowiedniej funkcji trendu


Przykład obliczeniowy prognozowanej (3)

Należy wyznaczyć prognozę sprzedaży miału przez firmę „Czarny diament” na kolejne kwartały metodą trendów jednoimiennych okresów.


Modele szeregów czasowych z wahaniami okresowymi zmiennej prognozowanej (4)

  • Model Wintersa

  • gdy występują wahania sezonowe wraz z tendencją rozwojową lub stałym przeciętnym poziomem

  • jest modelem z trzema równaniami

  • może być multiplikatywny, wtedy prognoza wynosi:

  • może być addytywny, wtedy prognoza wynosi:


Modele szeregów czasowych z wahaniami okresowymi zmiennej prognozowanej (5)

Model Wintersa multiplikatywny


Modele szeregów czasowych z wahaniami okresowymi zmiennej prognozowanej (6)

Model Wintersa addytywny


Modele szeregów czasowych z wahaniami okresowymi zmiennej prognozowanej (7)

Propozycje wartości początkowych


Przykład obliczeniowy (1) prognozowanej (7)

Firma „Save Lock” prowadzi sprzedaż wkładek bębenkowych wysokiej klasy bezpieczeństwa. Dane dotyczące miesięcznej wielkości sprzedaży [j.p.] z ostatnich lat przedstawiono w poniższej tabeli. Należy wyznaczyć prognozę na kolejne kwartały.


Przykład obliczeniowy (2) prognozowanej (7)


  • szereg cechuje sezonowość prognozowanej (7)

  • ostatnie obserwacje wskazują na zmianę tendencji

  • najlepiej wykorzystać model adaptacyjny

  • można wykorzystać model Wintersa

Przykład obliczeniowy (3)

Zostanie wykorzystany multiplikatywny model Wintersa


Przykład obliczeniowy (4) prognozowanej (7)Rozwiązanie początkowe dla a=b=g=0,5


Przykład obliczeniowy (5) prognozowanej (7)


Przykład obliczeniowy (6) prognozowanej (7)a=0,82; b=0,53; g=1,00


Przykład obliczeniowy (7) prognozowanej (7)


Modele szeregów czasowych z wahaniami okresowymi zmiennej prognozowanej (8)

  • Analiza harmoniczna

  • gdy występują wahania sezonowe wraz z tendencją rozwojową lub stałym przeciętnym poziomem

  • model buduje się w postaci sumy tzw. harmonik – funkcji sinusoidalnych lub cosinusoidalnych o danym okresie

  • pierwsza harmonika ma okres równy n, druga n/2, trzecia n/3, itd..

  • liczba wszystkich harmonik wynosi n/2

  • prognozę stawia się na podstawie modelu:


Modele szeregów czasowych z wahaniami okresowymi zmiennej prognozowanej (9)

  • Jeśli występuje trend, to oblicza się następujące wartości (eliminacja trendu):

  • Szacuje się parametry a0, ai, bi modelu:

  • korzystając z zależności:


Modele szeregów czasowych z wahaniami okresowymi zmiennej prognozowanej (10)

  • Z modelu można wyeliminować harmoniki, których udział w wyjaśnianiu wariancji rozpatrywanej zmiennej jest najmniejszy. Udział w wariancji zmiennej prognozowanej dla wszystkich oprócz ostatniej harmoniki wynosi:

  • natomiast dla ostatniej:

  • gdzie:

  • s2jest szacunkiem wariancji zmiennej prognozowanej


Przykład obliczeniowy (1) prognozowanej (10)

Firma „Save Lock” prowadzi sprzedaż wkładek bębenkowych wysokiej klasy bezpieczeństwa. Dane dotyczące miesięcznej wielkości sprzedaży [j.p.] z ostatnich lat przedstawiono w poniższej tabeli. Należy wyznaczyć prognozę na kolejne kwartały za pomocą analizy harmonicznej.


Przykład obliczeniowy (2) prognozowanej (10)

Występuje trend wielomianowy


Przykład obliczeniowy (3) prognozowanej (10)eliminacja trendu


Przykład obliczeniowy (4) prognozowanej (10)Szacowanie wartości parametrów a0, a1, b1


Przykład obliczeniowy (5) prognozowanej (10)Szacowanie wartości parametrów a2, b2


Przykład obliczeniowy (6) prognozowanej (10)Szacowanie wartości parametrów a3, b3


Przykład obliczeniowy (7) prognozowanej (10)Szacowanie wartości parametrów a4, b4


Przykład obliczeniowy (8) prognozowanej (10)Szacowanie wartości parametrów a5, b5


Przykład obliczeniowy (9) prognozowanej (10)Szacowanie wartości parametrów a6, b6


Przykład obliczeniowy (10) prognozowanej (10)Szacowanie wartości parametrów a7, b7


Przykład obliczeniowy (11) prognozowanej (10)Szacowanie wartości parametrów a8, b8


Przykład obliczeniowy (12) prognozowanej (10)Udział harmonik w wariancji

Ponieważ harmonika 4 wyjaśnia prawie 94% zmienności zmiennej prognozowanej, to do prognozowania wykorzystany będzie model tylko z tą harmoniką


Przykład obliczeniowy (13) prognozowanej (10)Model prognostyczny

Postać analityczna funkcji trendu

Postać modelu


Przykład obliczeniowy (14) prognozowanej (10)Prognoza


ad