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" 开放探索题 ". 引例. [ 引例 1]: 某一次函数的图象经过点 (-1,2), 且函数 y 的值随自变量 x 的增大而减小,请你写一个符合上述条件的函数关系式。(只写一个函数关系式,不必考虑所有的情形). [ 引例 2]: 如图 1 ,∠ ABC=∠DCB, 请补充一个条件 ,使△ ABC≌△DCB.

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" 开放探索题 "

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Presentation Transcript


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"开放探索题"


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引例

[引例1]:某一次函数的图象经过点(-1,2),且函数y的值随自变量x的增大而减小,请你写一个符合上述条件的函数关系式。(只写一个函数关系式,不必考虑所有的情形)

[引例2]:如图1,∠ABC=∠DCB,请补充一个条件,使△ABC≌△DCB.

[引例3]:已知:四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,给出下列5个条件:①AB//CD ②OA=OC③AB=CD ④∠BAD=∠DCB ⑤AD//BC. 从以上5个条件中任意选取2个条件,能推出四边形ABCD是平行四边形的有(用序号表示):


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一、“开放探索题”的分类

开放探索题是近年来中考命题中的一个新方向,其解法灵活且具有一定的探索性,

这类题按解题目标的操作模式分为规律探索型、数学建模型、操作设计型、问题探索型等;

按未知的是解题假设、解题目标、解题推理来分,有条件开放题、结论开放题、策略开放题、组合开放题。


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二、“开放探索题”作用

开放探索题本身具有多种开放性:包括条件的开放、问题的开放、解题策略的开放、以及答案的开放,因而在思维训练中有其独特的作用:

1、激励作用:唤起兴趣,产生激励思维的内驱力。

2、磨砺作用:要求我们对结论作出大胆的合理猜想,在解题方法上能出奇制胜,别出心裁。


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三、什么是"课堂有效性"?

从专业角度说,课堂教学的有效性是指通过课堂教学使学生获得发展。

发展就其内涵而言,指的是知识、技能,过程、方法与情感、态度、价值观三者(三维目标)的协调发展。

通俗地说,课堂教学的有效性是指通过课堂教学活动,学生在学业上有收获,有提高,有进步。

“课堂教学的有效性特征(或表现)最核心的一点是看学生是否愿意学、主动学以及怎么学、会不会学”。


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四、“开放探索题”的课堂有效教学策略

(一)、改造课本的例题习题,使之具有开放性

将一些条件、结论完整的例题改造成给出条件,先猜结论,再进行证明的形式;也可以改造给出多个条件,需要整理、筛选以后才能求解或证明的题目;还可以改造成要求运用多种解法或得出多个结论的题目,以加强发散式思维的训练。此外,将题目的条件、结论拓广,使其演变为一个发展性问题,或给出结论,再让学生探求条件等,都是使常规性题目变为开放题的有效方法。


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【例1】 《华东师大版》八年级(下)P62问题2的研究解答

在科学与艺术知识竞赛的预选赛中共有20道题,对于每一道题,答对得10分,答错或不答扣5分,总得分不少于80分者通过预选赛,育才中学25名学生通过了预选赛,他们分别可能答对了多少道题?

解:设通过预选赛的学生可能答对了x道题,则答错或不答的题有(20-x)道,由题意,

解得:

所以,这些学生可能答对的题目数是12,13,14,

15,16,17,18,19,20

除了上述解法外,你还有没有其他方法?


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设至少答错或不答道x题,由题意

方法1

即得

即至少答对12道题,所以答对的题目是 12,13,14,

15,16,17,18,19,20道

方法2

因此可设至少答对x道题,由题意,得

解得

所以,可能答对的题目为12,13,14,15,16,17,18,19,20道。


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【例2】如图,在平行四边形ABCD中,点E、F在对角线AC上,且AE=CF,请你以F为一个端点,和图中已标明字母的某一点连成一条新线段,猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等(只需证明一组线段相等即可)

1、连结

2、猜想:

3、证明:

此题改编于《华东师大版课本》八年级上P37例5


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【例3】如图,AB是⊙O的直径,BD=OB, ∠CAB=30°,请根据已知条件和所给图形,写出三个正确结论(除AO=BO=BD外)

此题改编于《华东师大版课本》九年级上P58练习3


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(二)、利用一题多变,一题多解,多题同法

拓宽学生的思维空间

解开放性问题的关键是牢固掌握基础知识,加强“一题多解”,“一题多变”,“一题多用”,“多题同法”,“多题同果”等的训练,经过归纳、类比、模拟、联想等推理的手段,得出正确的结论。开放性问题有利于激发创新意识,启迪创新思维,培养创新精神,也是中考命题的一个热点。


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一题多变

【例4】

变形1:

变形5:

变形2:

变形6:

变形3:

变形7:

变形4:

此题改编于《华东师大版课本》九年级上P24复习题17


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【例5】已知点E, F, G, H分别是平行四边形ABCD各边的中点,请判断四边形EFGH的形状?并做进一步的思考。

变化:

1.当满足什么条件时,四边形EFGH是菱形?矩形?正方形?

2.已知点D, E, F分别是三角形ABC各边的中点,那么,

①当满足什么条件时,三角形DEF是等腰三角形?

②当满足什么条件时,三角形DEF是等边三角形?

③当满足什么条件时,三角形DEF是直角三角形?

④当满足什么条件时,三角形DEF是等腰直角三角形?

此题改编于《华东师大版课本》九年级下P62

《课题学习:中点四边形》


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【例6】如图,点E在正方形ABCD的边CD上运动,AC与BE交于点F,

(1)如图1,当点E运动到DC的中点时,求△ABF与四边形ADEF的面积之比;

变化:

(2)如图2,当点E运动到CE:ED=2:1时,求△ABF与四边形ADEF的面积之比;

(3)如图3,当点E运动到CE:ED=3:1时,求△ABF与四边形ADEF的面积之比;

(4)当点E运动到CE:ED=n:1时(n为正整数时),猜想△ABF与四边形ADEF的面积之比;(不用计算,只写结果)

(5)请你利用上述图形,提出一个类似的问题。


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一题多解

【例7】当

时,求

的值。

解法一:直接代入计算,这是笨拙的解法;

解法二:先进行分母有理化,得 然后再代入;

解法三:条件变为

解法四:

两边平方得


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【例8】有一块长16米,宽12米的矩形荒地,要建造一个花园,并使花园所占面积为荒地面积的一半,你能设计方案吗?

解法1:设小路的宽为x米则

整理得

检验:因为小路的宽度为12米,符合所列方程,但荒地的宽度为12米,小路的宽不可能是12米,因此它不是实际问题的解,应舍去,取

分析2:其中花园每个角的扇形都相同。

解法2:因为4个相同的扇形的面积之和恰为一个圆的面积,且其半径为x米

由题意:

此题改编于《华东师大版课本》九年级上P38练习7

解得

所以扇形半径约为5.5米。


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【例8】有一块长16米,宽12米的矩形荒地,要建造一个花园,并使花园所占面积为荒地面积的一半,你能设计方案吗?

分析3:设计如图

解法3:由题意,

解得x=4

当然,符合条件的设计方案是多种多样的。


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多题同解

【例9】

(1)k取何值时对任意实数x,代数式

(2)k取何值时,方程

(3)k为何值时,对任意实数x,

不等式

(4)k为何值时,函数


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(三)、设计“开放型”的训练题,

拓宽学生的创新空间

1、条件开放型问题

【例10】如图,OA是△ABC的中线,要使⊙O与AB边相切于点D

(1)要使⊙O与AC边相切,应增加条件:(任写一个)

(2)增加条件后,请你证明⊙O与AC边相切


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A

E

B

H

C

G

图2

F

A

E

F

B

H

C

G

图1

C

E

P

H

B

A

G

F

E

A

B

H

G

C

图3

F

2、结论开放型问题

的边 AB 所在的直线上,且

【例11】己知点E、F在

FH//EG//AC,FH、EG分别交边BC所在的直线于点H、G.

⑴如图l,如果点E、F在边AB上,那么

⑵如图2,如果点E在边AB上,点F在AB的延长线上,那么线段EG、FH、AC的长度关系是_______________ ;

⑶如图3,如果点E在AB的反向延长线上,点F在AB的延长线上,那么线段EG、FH、AC的长度关系是_________ ;

对⑴⑵⑶三种情况的结论,请任选一个给予证明.


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3、方案设计开放型问题

【例12】如图所示,把边长为2厘米的正方形剪成四个全等的直角三角形,请用这四个直角三角形拼成符合下列要求的图形(全部用上,互不重叠且不留空隙),并按实际大小画出拼后的图形来。

(1)不是正方形的菱形

(2)不是正方形的矩形

(3)梯形

(4)不是矩形和菱形的平行四边形

(5)不是梯形和平行四边形的凸四边形

(6)与以上画出的图形不全等的其他凸四边形


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4、组合开放型问题

【例13】如图,在△ABC和△DEF中,B、E、C、F在同一条直线上,下面有四个条件,请你在其中选择3个作为题设,余下的1个作为结论,写出一个真命题,并加以证明。

①AB=DE ②AC=DF ③∠ABC=∠DEF ④BE=CF


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(四)生活永远是开放型应用题永不枯竭的源泉

【例14】上海现行的出租车收费标准是:当路程不超过3千米但不超过10千米时,超过部分的单价2元/千米(不足1千米按1千米计算);当路程超过10千米时,超过部分的单价为3元/千米(不足1千米按1千米计算),夜23点至第二天凌晨5点加收30%。请讨论利用中途换乘出租车的依法以节省费用的可能性。


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五、几点温馨提示

1.在学习时,应当允许学生在学习过程中存在一定的“路径差”。

2.在学习中,要给学生充分的思考时间和活动空间。

3.应选择好联系实际的开放题,题量和难度要合适。


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五、几点温馨提示

4.在编制开放题时,要掌握适度。

5.适度开展数学开放题教学

6.在评价学生时不要过分追求完整的答案。


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“只有更好没有最好”


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谢谢指导!再见!


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