Download
1 / 27
270 likes | 513 Views
Kreikkalaiset aakkoset. Kerrattavia kaavoja. Binomikaavat pitää muistaa, että tarvittaessa osaa käyttää. potenssikaavat. Juurikaavat reaaliluvuille. jos n on parillinen, niin ( a 0) ja ( b 0). 2.1. Joukko-oppia. Jos a on joukon A alkio , niin merkitsemme a A
E N D
Kerrattavia kaavoja • Binomikaavatpitää muistaa, että tarvittaessa osaa käyttää
Juurikaavat reaaliluvuille jos n on parillinen, niin (a0) ja (b 0)
2.1. Joukko-oppia • Jos a on joukon A alkio, niin merkitsemme a A • Jos a ei ole joukon A alkio, niin merkitsemme a A • Joukon voi määritellä luettelemallaA = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 2, …, 100} • Jos alkioita on paljon, käytämme notaatiotaJoukko = {x perusjoukko | ehto} • Esimerkiksi nollan ja yhden välissä olevien reaalilukujen joukko on F = {x R | 0<x<1} • Jos kahdella joukolla A ja B on täsmälleen samat alkiot, ne ovat identtiset ja merkitsemme A = B. Muussa tapauksessa A B
Jos jokainen A:n alkio on myös B:n alkio, sanomme, että A on B:n osajoukko ja merkitsemme A B • Jos A on B:n osajoukko ja B:ssä on alkio, jota ei ole A:ssa, niin sanomme, että A on B:n aito osajoukko ja merkitsemmeA B • Tyhjä joukko={} on joukko, jossa ei ole yhtään alkiota.
Perusjoukot • N = {1,2,3,…} = luonnollisten lukujen joukko • Z = {…,-2,-1,0,1,2,…} = kokonaislukujen joukko • Q = {x | x = m/n, n 0, m,n Z} =rationaalilukujen joukko • R = reaalilukujen joukko • C= kompleksilukujen joukko
Joukkojen A ja Byhdiste (union) on joukkoA B = {x | x A tai x B } E A B
Joukkojen A ja Bleikkaus (intersection) on joukkoA B = {x | x A ja x B } E A B
Joukkojen A ja Berotus (difference) on joukkoA- B = {x | x A ja x B } E A B
Erotusta E – A sanotaan joukonA komplementiksi, ja sille käytetään merkintöjä Ā, CA, tai Ac. Ā = {x E | x A } E A
2.2. Muuttujat, yhtälöt, lausekkeet • Muuttuja viittaa mitattavissa olevan suureen arvoon eli mittalukuun ja yksikköön. Muuttujaa merkitään kirjaimella • Koulukurssissa muuttuja on melkein aina x, mutta jatkossa muuttujan nimi voi olla melkein mikä tahansa kirjain. • Aina ei tarvitse käyttää muuttujaa, mutta usein sen käyttö kannattaa:
Muuttujaa käytetään, kun halutaan sanoa jotakin hyvin yleistä • Kun käytämme muuttujaa, voidaan sen arvoon viitata jo ennen sen arvon selviämistä. (ANALYYSI) • Jos ongelmalle on useita ratkaisuja, ja se ratkaistaan ”suoraan laskemalla” tai kokeilemalla, jää osa ratkaisuista helposti havaitsematta.
Yhtälö on kahden lausekkeen välille merkitty yhtäsuuruus. • Se luku, joka muuttujan paikalle sijoitettuna tekee yhtälöstä toden on yhtälön juuri (root). • Yhtälöllä voi olla monta juurta. Kaikki yhtälön juuret muodostavat yhtälön ratkaisujoukonRj.
Esimerkki: • Vaihtoehtoisesti:” x = 0 tai x = 3 ”” juuret ovat 0 ja 3 ” ” ratkaisujoukko on Rj = {0,3} ”
Jos yhtälöllä ei ole juuria sanomme sen jollakin seuraavista tavoista:” yhtälöllä ei ole juuria ”” ratkaisujoukko on tyhjä, Rj = ”” yhtälö on identtisesti epätosi ”
Itseisarvo • Luvun a itseisarvo |a| on • (siis ) • Itseisarvo voidaan tulkita luvun a ja 0:n välisenä etäisyytenä lukusuoralla
|x | b -b x b |x | =b x = -b tai x = b Olkoon b>0. -b 0 b -b 0 b • |x | b x -b tai x b -b 0 b
Kompleksiluvut • Kompleksiluvuilla a +ib lasketaan normaalisti. Riittää muistaa, ettäi2 = -1 z = a + ib ~ (a,b) b a
Olkoon z1=2-3i ja z2 = -3+i • z1 + z2=(2-3i )+(-3+i ) = -1-2i • z1.z2= (2-3i )(-3+i ) = = -6 +2i +9i -3i2 = -3 + 11i • Talousmatematiikassa kompleksilukuja esiintyy matriisien ominaisarvoina ja vakiokertoimisten differentiaaliyhtälöi-den karakteristisen yhtälön juurina.
