分类讨论思想
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分类讨论思想. 配方法、换元法、待定系数法、判别式法、割补法等. 数学一般方法. 分析法、综合法、归纳法、反证法等. 数学思想和方法. 逻辑学中的方法 ( 或思维方法 ). 函数和方程思想、 分类讨论思想 、数形结合思想、化归思想等. 数学思想方法. 一 . 数学思想方法的三个层次 :. 分类讨论思想. 分类思想是根据数学本质属性的相同点和不同点,将数学研究对象分为不同种类的一种数学思想。分类以比较为基础,比较是分类的前提,分类是比较的结果。

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Presentation Transcript

配方法、换元法、待定系数法、判别式法、割补法等配方法、换元法、待定系数法、判别式法、割补法等

数学一般方法

分析法、综合法、归纳法、反证法等

数学思想和方法

逻辑学中的方法(或思维方法)

函数和方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、化归思想等

数学思想方法

一. 数学思想方法的三个层次:


分类讨论思想配方法、换元法、待定系数法、判别式法、割补法等

  • 分类思想是根据数学本质属性的相同点和不同点,将数学研究对象分为不同种类的一种数学思想。分类以比较为基础,比较是分类的前提,分类是比较的结果。

  • 分类必须有一定的标准,标准不同分类的结果也就不同。分类要做到不遗漏,不重复。分类后,对每个类进行研究,使问题在各种不同的情况下,分别得到各种结论,这就是讨论。


分类讨论思想配方法、换元法、待定系数法、判别式法、割补法等

  • 分类讨论是对问题深入研究的思想方法,用分类讨论的思想,有助于发现解题思路和掌握技能技巧,做到举一反三,触类旁通。

  • 分类的思想随处可见,既有概念的分类:如实数、有理数、绝对值、点(直线、圆)与圆的位置关系和两圆相切等概念的分类;又有解题方法上的分类,如代数式中含有字母系数的方程、不等式;还有几何中图形位置关系不确定的分类,等腰三角形的顶角顶点不确定、相似三角形的对应关系不确定等。


-5=6k+b配方法、换元法、待定系数法、判别式法、割补法等

-2=-3k+b

-5=-3k+b

-2=6k+b

当a=0时,为一次函数y=3x+1,交点为(- ,0);

当a不为0时,为二次函数y=ax2+(3-a)x+1, △ =a2 -10a+9=0.

解得a=1或 a=9,交点为(-1,0)或( ,0)

一.与概念有关的分类

  • 1. 一次函数y=kx+b的自变量的取值范围是

    -3≤x≤ 6,,相应的函数值的取值范围是

    -5≤y≤-2 ,则这个函数的解析式。

解析式为 Y= x-4, 或 y=- x-3

2. 函数y=ax2-ax+3x+1与x轴只有一个交点,求a的值与交点坐标。


配方法、换元法、待定系数法、判别式法、割补法等.图形位置的分类


探索题配方法、换元法、待定系数法、判别式法、割补法等1:

  如图,线段OD的一个端点O在直线a上,以OD为一边画等腰三角形,并且使另一个顶点在直线a上,这样的等腰三角形能画多少个?

150°

a


A配方法、换元法、待定系数法、判别式法、割补法等

110°

50°

20°

B

C

探索题2:

在下图三角形的边上找出一点,使得该点与

三角形的两顶点构成等腰三角形!


C配方法、换元法、待定系数法、判别式法、割补法等

C

C

110°

65°

35°

35°

20°

20°

65°

50°

B

A

B

A

A

C

A

B

110°

C

20°

20°

50°

50°

B

A

50°

20°

B

A

B

C

C

80°

80°

20°

B

A

(分类讨论)

1、对∠A进行讨论

2、对∠B进行讨论

3、对∠C进行讨论


3. 配方法、换元法、待定系数法、判别式法、割补法等如图,直线AB经过圆O的圆心,与圆O交于A、B两点,点C在O上,且∠AOC=300,点P是直线AB上的一个动点(与点O不重合),直线PC与圆O相交于点Q,问点P在直线AB的什么位置时,QP=QO?这样的点P有几个?并相应地求出∠OCP的度数。

C

B

A

P

O

Q

(1)如上图, 当点P在线段OA上时, ∵∠OQC=∠OCP=x,

∴∠QPO= (1800-∠OQP)= (1800-x)

又∠QPO=∠OCP+∠COP, (1800-x)=x+300,

解得x=400, 即∠OCP=400

(2)如果点P在线段OB上,显然有PQ>OQ,所以点P不可能在线段OB上。

解:∵OQ=OC,OQ=QP ∴∠OQC=∠OCQ,∠QOP=∠QPO 设∠OCP=x0 , 则有:


配方法、换元法、待定系数法、判别式法、割补法等3)如图,当点P在的OA延长线上时,

∵∠OQC=∠OCQ=1800-x,

∴∠OPQ= (1800-x)= x.

又∵∠QCO=∠CPO+∠COP,∴1800-x=x+300

解得x=1000 即∠OCP=1000

Q

C

A

P

B

O

(4)如图当P在OB的延长线上时,

∵∠OQC=∠OCQ=x,∴∠OQC=∠QPO+∠QOP,

∴∠QPO= ∠OQC= x,

又∠COA=∠OCP+∠CPO, 解方程30=x+ x,

得到x=200即∠OCP=200

C

Q

P

O

B

A


A配方法、换元法、待定系数法、判别式法、割补法等

5.△ABC是半径为2cm的圆的内接三角形,

若BC=2 cm,则角A的度数是。

B

C

B

C

A

C

4.在半径为1的圆O中,弦AB、AC的长分别是 、 ,

则∠BAC的度数是。

B

A

C


B配方法、换元法、待定系数法、判别式法、割补法等

A

A

B

A

C

B

C

C

6.在Rt△ABC中,∠C=900,AC=3,BC=4。若以C为圆心,R为半径的圆与斜边只有一个公共点,则R的值为多少?


7.配方法、换元法、待定系数法、判别式法、割补法等半径为R的两个等圆外切,则半径为2R且和这两个圆都相切的圆有几个?


8配方法、换元法、待定系数法、判别式法、割补法等、在一张长为9厘米,宽为8厘米的矩形纸板上,剪下一个腰长为5厘米的等腰三角形(要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合,其余两个顶点在矩形的边上),请你计算剪下的等腰三角形的面积?


E配方法、换元法、待定系数法、判别式法、割补法等

A

D

F

A

D

A

D

F

图3

图2

C

B

E

E

图1

C

B

C

B

F

解:分三种情况计算:

⑴当AE=AF=5厘米时(图一)

⑵当AE=EF=5厘米时(图2)

⑶当AE=EF=5厘米时(图3)


C配方法、换元法、待定系数法、判别式法、割补法等

D

Q

B

A

P

三.与相似三角形有关的分类

9.在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,点P沿AB边从点A出发向B以2cm秒的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向A以1cm/秒的速度移动。如果P、Q同时出发,用t秒表示移动的时间(0<x<6)那么:

(1)当t为何值时,△QAP为等腰直角三角形?

(2)求四边形QAPC的面积;

提出一个与计算结果有关的结论;

(3)当t为何值时,以点Q、

A、P为顶点的三角形与ABC相似?


配方法、换元法、待定系数法、判别式法、割补法等2)在△QAC中,S= QA·DC= ( 6-t)·12=36-6t

在△APC中,S= AP·BC= · 2t·6=6t

QAPC的面积S=(36-6t)+6t=36(cm2)

由计算结果发现:在P、Q两点移动的过程中,

四边形QAPC的面积始终保持不变。

(3)根据题意,可分为两种情况来研究

在矩形ABCD中:①当 = 时,△QAP∽△ABC,则 = ,

解得t= =1.2秒。所以当t=1.2秒时,△QAP∽△ABC。

②当 = 时,△PAQ∽△ABC,则 = ,

解得t=3(秒)。所以当t=3秒时,△PAQ∽△ABC。 

C

D

Q

B

A

P

解:对于任何时刻t,AP=2t,DQ=t,QA=6-t,当QA=AP时,△QAP为等腰直 角三角形,即6-t=2t,解得t=2(秒)


配方法、换元法、待定系数法、判别式法、割补法等

10。已知二次函数y=2x2-2的图像与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C,直线x=m(m> 1)与x轴交于点D。

(1)求A、B、C三点的坐标;

(2)在直线x=m(m > 1)上有一点P(点P在第一象限),使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似,求点P的坐标。


(2) 配方法、换元法、待定系数法、判别式法、割补法等当 △ PDB ∽△ BOC时, =

有P(m, - )

P

解(1)A(-1,0),B(1,0),C(0,-2)

当 △ PDB ∽ △ COB时,

有P(m, 2m-2);


11. 配方法、换元法、待定系数法、判别式法、割补法等如图所示,在直角梯形ABCD中,AD//BC,

AD=21。动点P从点D出发,沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动,动点Q从点C出发,在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动,点P,Q分别从点D,C同时出发,当点Q运动到点B时,点P随之停止运动。设运动的时间为(秒)。        (1)设△BPQ的面积为S,求S与t之间的函数关系式;

(2)当线段PQ与线段AB相交于点O,且BO=2AO时,求

的正切值;

(3)当t为何值时,以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形?

(4)是否存在时刻t,使得PQ⊥BD?若存在,求出 t的值;若不存在,请说明理由。


配方法、换元法、待定系数法、判别式法、割补法等2)如图2所示,由

得:

解:(1)如图1所示,过点P作   ,

垂足为M,则四边形PDCM为矩形。

图1

图2


配方法、换元法、待定系数法、判别式法、割补法等1


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