§1.3.1 单调性与最大 ( 小 ) 值

1. §1.3.1 单调性与最大(小)值 第一课时:单调性

2. 教学目标: • 知识教学目标： • 1.理解函数的单调性概念. • 2.会判定函数的单调性. • 能力训练目标： • 1.培养学生利用数学概念进行判断、推理的能力. • 2.加强化归转化能力的训练. • 情感渗透目标： • 1.通过新概念的引进过程培养学生探索问题、发现规律、归纳概括的能力. • 2.培养学生辨证思维、求异思维等能力.

3. 观察下列函数图象,体会它们的特点:

4. 在上面的六幅函数图象中,有的图象由左至右是上升的;有的图象在上面的六幅函数图象中,有的图象由左至右是上升的;有的图象 是下降的;还有的图象有的部分是下降的,有的部分是上升的. 函数图象的“上升”“下降”反映了函数的一个基本性质——单调性. 如何描述函数图象的“上升”“下降”呢? 以二次函数f(x)=x2为例,列出x,y的对应值表: 对比左图和上表,可以发现什么规律? 图象在y轴左侧“下降”,也就是,在区间(-∞,0] 上随着x的增大,相应的f(x)反而随着减小; 图象在y轴右侧“上升”,也就是,在区间(0,+∞) 上随着x的增大,相应的f(x)也随着增大.

5. 练习: 利用刚才 的方法描 述一下左 侧四个函 数图象的 “上升” “下降”的 情况.

6. 思考 如何利用函数解析式f(x)=x2描述“随着x的增大, 相应的f(x)反而随着减小.”“随着x的增大,相应的 f(x)也随着增大.”? 有同学认为可以这样描述:在区间(0,+∞)上, x1＜x2时, 有f(x1)＜f(x2).他并且画出了如下示意图,你认为他的 说法对吗?

7. 对于二次函数f(x)=x2 ,我们可以这样来描述“在区间(0,+∞) 上随着x的增大,相应的f(x)也随着增大.”: 试一试:你能仿照这样的描述,说明函数 f(x)=x2在区间(-∞,0]上是减函数吗?

8. 定义: 如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个 自变量的值x1,x2,当x1＜x2时,都有f(x1)＜f(x2),那 么就说函数f(x)在区间D上是增函数(increasing function). 如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个 自变量的值x1,x2,当x1＜x2时,都有f(x1)＞f(x2),那 么就说函数f(x)在区间D上是减函数(decreasing function). 注意比较这两句话的不同之处和共同之处.想一想为了说明一个 函数在某个区间上是增函数还是减函数,我们应该重点说明哪些 要素?

9. 练习: 例1 下图是定义在区间[-5,5]的函数y=f(x),根据图象说出函数 的单调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数? 解:函数y=f(x)的单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5].其中 y=f(x)在区间[-5,-2) ,[1,3)上是减函数,在区间[-2,1), [3,5]上是 增函数.

10. 例2:物理学中的波意耳定律p=k/V(k为正常数)告述我们,对于一定例2:物理学中的波意耳定律p=k/V(k为正常数)告述我们,对于一定 量的气体,当其体积V减小时,压强p将增大.试用函数的单调性证明之. 证明: 1 2 1.设(自变量); 2.比(函数值); 3.判(函数值大小关系); 4.结(论) 3 4

11. 小结: • 1.函数的单调性概念; • 2.增(减)函数的定义; • 3.增(减)函数的图象特征; • 4.增(减)函数的判定; • 5.增(减)函数的证明. 作业:课本45页第3,4题