Решение задач В8, В10 и С2

1. Решение задач В8, В10 и С2 Стюф Марина алексеевна учитель математики Коу «Заливинская СОШ»

2. Новые задачи раздела В-8

3. Определение первообразной Рассмотрим функцию f(x), непрерывную на интервале (a;b). Функцию F(x) называют первообразной для функции f(x) на интервале (a;b), если в нем производная функции F равна f: F’(x)=f(x).

4. Задача 1 На рисунке изображён график функции y=F(x)— одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале(-3; 5). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)=0на отрезке [-2;4].

5. Решение Для того, чтобы решить уравнение f(x)=0, надо решить уравнение F’(x)=0, т.е. найти значения х, при которых производная меняет знак с «+» на «-» или наоборот, при этом f(x) сначала возрастает затем убывает или наоборот. Значит на графике это точки максимума или минимума на заданном отрезке [-2; 4]. Ответ: 10.

6. Задача 2 На рисунке изображен график первообразной y=F(x) некоторой функции f(x), определенной на интервале (-16; -2). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке [-15; -8]. Ответ: 2.

7. Криволинейная трапеция Рассмотрим фигуру, изображенную на рисунке. Эта фигура ограничена снизу отрезком [a; b]оси Ох, сверху графиком непрерывной функции y=f(x), принимающей положительные значения, а с боков отрезками прямых х=а их=b. Такую фигуру называют криволинейной трапецией. Отрезок [a; b]называют основанием этой криволинейной трапеции.

8. Площадь криволинейной трапеции Площадь криволинейной трапеции можно вычислить по формуле S=F(b) – F(a), где F(x) – любая первообразная функции f(x).

9. Формула Ньютона-Лейбница Разность F(b) – F(a) называют интегралом от функции f(x) на отрезке [a; b] и обозначают так: т.е.

10. Задача 3 На рисунке изображён график функции y=f(x). Пользуясь рисунком, вычислите F(8) – F(2), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).

11. Решение F(8) – F(2) = S трапеции. Ответ: 7.

12. Задача 4 На рисунке изображен график некоторой функции y=f(x). Пользуясь рисунком, вычислите определенный интеграл

13. Решение Ответ: 10.

14. Задача 5 На рисунке изображен график некоторой функции y=f(x). Одна из первообразных этой функции равна Найдите площадь заштрихованной фигуры.

15. Решение Ответ: 6.

16. Задача 6 На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x). Функция — одна из первообразных функции . Найдите площадь закрашенной фигуры.

17. Решение Ответ: 6.

18. Новые задачи раздела В-10

19. Задача 1 В классе 21 шестиклассник, среди них два друга – Митя и Петя. Класс случайным образом делят на 3 группы по 7 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Митя и Петя окажутся в одной и той же группе.

20. Решение 7 – 1 = 6 человек случайным образом может попасть в эту же группу, т.к. один из друзей находится в этой группе. 21 – 1 = 20 шестиклассников могут попасть в группу из 6 человек. 6 – благоприятных исходов. 20 – общее количество всех элементарных исходов испытания. Ответ: 0,3.

21. Задание 2 В школе 51 пятиклассник, среди них Петя и Саша. Пятиклассников случайным образом делят на 3 группы по 17 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Саша и Петя окажутся в одной группе.

22. Решение 17 – 1 = 16 – количество благоприятных исходов. 51 – 1 = 50 – общее количество всех элементарных исходов испытания. Ответ: 0,32.

23. Задание 3 В классе 26 человек, среди них 2 близнеца Иван и Игорь. Класс случайным образом делят на 2 группы по 13 человек. Найдите вероятность того, что близнецы окажутся в разных группах.

24. Решение Решим данную задачу через противоположное событие. Найдем вероятность того, что близнецы окажутся в одной группе, а затем отнимем от единицы полученный результат. 13 – 1 = 12 – количество благоприятных исходов. 26 – 1 = 25 – общее количество всех элементарных исходов испытания. Ответ: 0,52.

25. Задание 4 Стрелок стреляет по мишени один раз. В случае промаха стрелок делает второй выстрел по той же мишени. Вероятность попасть в мишень при одном выстреле равна 0,6. Найдите вероятность того, что мишень будет поражена (одним из выстрелов).

26. Решение 1 – 0,6 = 0,4 – вероятность противоположного события, т.е. вероятность того, что он промахнется. Вероятности складываются, если необходимо найти выполнение либо одного либо другого события (одного из нескольких). Вероятности перемножаются, если необходимо найти выполнение того и другого события одновременно. Ответ: 0,84.

27. С2. Решение задач по стереометрии

28. Задание 1 Основание прямой четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 - прямоугольник ABCD, в котором АВ=12, AD= . Найдите косинус угла между плоскостью основанияпризмы и плоскостью, проходящей через середину ребра АD перпендикулярно прямой BD1, если расстояние между прямыми AC и B1D1 равно 5. М

29. Дано: ABCDA1B1C1D1 , AB=12, AD= ; AA1=5, α – угол; β – плоскость, перпенди- кулярная BD1и проходящая через точку М. Найти: cos α Решение: Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке В (0; 0; 0). Вектор нормали – вектор, перпендикулярный к плоскости. Нормаль к плоскости β – . Координаты В и D1: В(0; 0; 0), D1(12; ; 5). {12, , 5}. Нормаль к ABCD – это . В1(0; 0; 5), В(0; 0; 0). {0; 0; -5}. М

30. Задание 2 Основание прямой четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 - прямоугольник ABCD, в котором АВ=5, AD= . Найдите тангенс угла между плоскостью грани AА1D1D призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D, если расстояние между прямыми A1C1 и BD равно . Решите самостоятельно. Ответ: 1,2.

31. Задание 3 Найдите расстояние от вершины D основания правильной четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1до диагонали A1C, если сторона основания равна 12, а боковое ребро призмы . М

32. Решение М Ответ: 9,6.

33. Задание 4 В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB1и BC1.

34. Решение Достроим данную призму до четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1: AB||DC, AD||CB, AA1||DD1. Проведем диагональ AD1 в грани DD1A1A параллельно BC1,

35. Задание 5 В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямой АВ1 и плоскостью АВС1.

36. Решение

37. Задание 6 В правильной шестиугольной призме АВСДЕFА1В1С1Д1Е1F1 стороны основания равны 2, а боковые рёбра равны 4. N – середина отрезка АС. Найдите расстояние от вершины А до плоскости NА1Д.

38. Решение

41. Желаем успехов!