Variables aleatorias

1. Variables aleatorias Tema 4 Depto. Estadística, Universidad Carlos III

2. Descripción breve del tema • Concepto de variable aleatoria • Variables aleatorias discretas y continuas • Variables aleatorias discretas (funciones de probabilidad y de distribución) • Variables aleatorias continuas (funciones de densidad y de distribución) • Medidas características de una variable aleatoria • Medidas de centralización • Medidas de posición • Medidas de dispersión • Desigualdad de Chebichev • Transformaciones de variables aleatorias • Independencia entre variables aleatorias Depto. Estadística, Universidad Carlos III

3. Objetivos • Manejar variables aleatorias con soltura. • Manejar funciones de distribución, de probabilidad y de densidad con soltura. • Calcular esperanzas de variables aleatorias y de transformaciones suyas. • Calcular la distribución de una transformación de una variable aleatoria con distribución conocida. • Entender el concepto de independencia entre variables aleatorias. Depto. Estadística, Universidad Carlos III

4. Descripción breve del tema • Concepto de variable aleatoria • Variables aleatorias discretas y continuas • Variables aleatorias discretas (funciones de probabilidad y de distribución) • Variables aleatorias continuas (funciones de densidad y de distribución) • Medidas características de una variable aleatoria • Medidas de centralización • Medidas de posición • Medidas de dispersión • Desigualdad de Chebichev • Transformaciones de variables aleatorias • Independencia entre variables aleatorias Depto. Estadística, Universidad Carlos III

5. Concepto de variable aleatoria Una variable aleatoria asocia un número con cada resultado del experimento aleatorio. Es aleatoria porque al no conocer el resultado del experimento antes de realizarlo, tampoco conocemos el valor que va a tomar la variable. Depto. Estadística, Universidad Carlos III

6. Concepto de variable aleatoria • Definición. Una variable aleatoriaX es una aplicación X: E ® IR, donde E es el espacio muestral asociado a un experimento. X e1 e2 e3 IR X (e3) X (e2) X (e1) Depto. Estadística, Universidad Carlos III

7. Concepto de variable aleatoria Los sucesos que nos interesarán a partir de ahora son del tipo XÎA donde A es un subconjunto de IR. Con probabilidades P(XÎA) = P({eÎE: X(e)ÎA}). Propiedades: • P(XÎA) ³ 0 ; • P(XÎIR) = 1 ; • si A1, A2,…ÌIR son tales que AiÇAj= Æ para i ¹j, entonces P(XÎÈi=1,¥Ai)=Si=1,¥P(XÎAi) . Depto. Estadística, Universidad Carlos III

8. Descripción breve del tema • Concepto de variable aleatoria • Variables aleatorias discretas y continuas • Variables aleatorias discretas (funciones de probabilidad y de distribución) • Variables aleatorias continuas (funciones de densidad y de distribución) • Medidas características de una variable aleatoria • Medidas de centralización • Medidas de posición • Medidas de dispersión • Desigualdad de Chebichev • Transformaciones de variables aleatorias • Independencia entre variables aleatorias Depto. Estadística, Universidad Carlos III

9. El rango de una variable aleatoria El rango de una variable aleatoria es el conjunto de valores que puede tomar. • Una variable aleatoria es discreta si su rango es finito o infinito numerable. • Ejemplos: nº piezas defectuosas, nº lanzamientos dado hasta un 5. • Una variable aleatoria es continua si en su rango contiene un intervalo. • Ejemplos: duración batería. Depto. Estadística, Universidad Carlos III

10. Variables aleatorias discretas Dada X una variable aleatoria discreta, su función de probabilidad asigna a cada posible valor de la variable, la probabilidad de que X tome dicho valor. p: IR® [0,1] x® p(x) = P(X=x) Cumple que 0 £ p(x) £ 1 para todo x y si la variable toma n valores distintos x1,…,xn , entonces Sip(xi) = 1, así P(XÎA) = SxiÎA p(xi) . Depto. Estadística, Universidad Carlos III

11. Variables aleatorias discretas Supongamos que X es el número de motores averiados en cierta máquina compuesta por tres motores. Dicha variable tendrá como función de probabilidad Depto. Estadística, Universidad Carlos III

12. Variables aleatorias discretas La función de distribución evaluada en x es la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor menor o igual que x. F(x) = P(X£x) • limx® -¥ F(x) = 0 ; • limx® ¥F(x) = 1 ; • F es no decreciente ; • F es continua por la derecha. Depto. Estadística, Universidad Carlos III

13. Variables aleatorias discretas La función de distribución de una variable aleatoria discreta será escalonada, F(x) = P(X£x) = Sxi£x p(xi) Depto. Estadística, Universidad Carlos III

14. Variables aleatorias continuas Como el conjunto de valores que toma una variable aleatoria continua es no numerable, expresiones del tipo Sip(xi) = 1 no tienen sentido. Histograma para la duración de 10000 baterías. Depto. Estadística, Universidad Carlos III

15. Variables aleatorias continuas La curva f que hemos trazado sobre el segundo histograma, lo aproxima muy bien, de hecho tenemos P(2 £X£ 4) »ò24f(x)dx donde X es la duración, en cientos de horas de una batería. Depto. Estadística, Universidad Carlos III

16. Variables aleatorias continuas La función de densidadf describe la distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua. Cumple: • f(x) ³ 0 ; • ò-¥+¥f(x)dx = 1 . • Tenemos además P(a£X£b) = òabf(x)dx . Dada X v.a. continua, cumple • P(X = a) = 0 ; • P(a£X£b) = P(a < X£b) = P(a£X < b) = P(a < X < b) Depto. Estadística, Universidad Carlos III

17. Variables aleatorias continuas Calculamos la función de distribución de una variable aleatoria continua integrando su función de densidad, F(x) = P(X£x) = ò-¥xf(t)dt • limx® -¥ F(x) = 0 ; • limx® ¥ F(x) = 1 ; • F es no decreciente ; • F es continua. Depto. Estadística, Universidad Carlos III

18. Variables aleatorias continuas Como la función de distribución es una primitiva de la función de densidad, obtenemos la función de densidad derivando la función de distribución, f(x) = dF(x)/dx . Estamos manejando f(x) = e-xsi x > 0 F(x) = 1- e-xsi x > 0 Depto. Estadística, Universidad Carlos III

19. Descripción breve del tema • Concepto de variable aleatoria • Variables aleatorias discretas y continuas • Variables aleatorias discretas (funciones de probabilidad y de distribución) • Variables aleatorias continuas (funciones de densidad y de distribución) • Medidas características de una variable aleatoria • Medidas de centralización • Medidas de posición • Medidas de dispersión • Desigualdad de Chebichev • Transformaciones de variables aleatorias • Independencia entre variables aleatorias Depto. Estadística, Universidad Carlos III

20. Esperanza matemática o media La esperanza o media (m) de una variable aleatoria es el centro de gravedad de los valores que toma • X discreta, m = E[X] = åxip(xi) • X continua, m = E[X] = òxf(x)dx Propiedades: Dadas X,Y y dos números, a,b • E[a+bX] = a+bE[X] ; • E[X+Y] = E[X]+E[Y] . Depto. Estadística, Universidad Carlos III

21. Esperanza matemática o media Dada una función g: IR ® IR, podemos calcular la esperanza de la variable aleatoria g(X) como • X discreta, E[g(X)] = åg(xi)p(xi) • X continua, E[g(X)] = òg(x)f(x)dx Depto. Estadística, Universidad Carlos III

22. Mediana La mediana de una variable aleatoria X es un valor Me tal que F(Me) ³1/2 ; P(X³ Me) ³1/2 Si X es una variable aleatoria continua, entonces F(Me) = 1/2. Depto. Estadística, Universidad Carlos III

23. Medidas de posición no central El cuantil 0 < a < 1 de una variable aleatoria X es un valor xa tal que la probabilidad de que X sea menor o igual que xa es, al menos, a y la probabilidad de que sea mayor o igual es, al menos, 1-a. F(xa) = P(X£ xa) ³a ; P(X³ xa) ³1-a Podemos también hablar de percentiles y de cuartiles Pa = xa/100 ; Qi = P25i donde 1 £a £ 99 y 1 £i £ 3 . Depto. Estadística, Universidad Carlos III

24. Medidas de dispersión La varianza de una variable aleatoria X se define s2 = Var[X] = E[(X-E[X])2] • X discreta, s2 = Var[X] = å(xi-m)2 p(xi) • X continua, s2 = Var[X] = ò (x-m)2 f(x)dx La desviación típica es la raíz cuadrada positiva de la varianza, s = (Var[X])1/2 . Depto. Estadística, Universidad Carlos III

25. Medidas de dispersión Propiedad. Var[X] = E[X2]-E[X]2 = E[X2]-m2 Dados a,bÎIR y una variable aleatoria X, tenemoslassiguientespropiedadesdelavarianza • Var[b] = 0 ; • Var[aX] = a2Var[X] ; • Var[aX+b] = a2Var[X] . Depto. Estadística, Universidad Carlos III

26. Medidas de forma Describen la distribución de la variable aleatoria sin tener en cuenta su escala Momento de orden k respecto del origen, mk = E[Xk] Momentodeordenkrespectodelamedia, mk = E[(X-m)k] • Coeficiente de asimetría. CA = m3/s3 • Coeficiente de apuntamiento. CAp = m4/s4-3 Depto. Estadística, Universidad Carlos III

27. Descripción breve del tema • Concepto de variable aleatoria • Variables aleatorias discretas y continuas • Variables aleatorias discretas (funciones de probabilidad y de distribución) • Variables aleatorias continuas (funciones de densidad y de distribución) • Medidas características de una variable aleatoria • Medidas de centralización • Medidas de posición • Medidas de dispersión • Desigualdad de Chebichev • Transformaciones de variables aleatorias • Independencia entre variables aleatorias Depto. Estadística, Universidad Carlos III

28. Desigualdad de Chebichev Si una variable aleatoria X tiene media m y varianza s2 y dados k,e> 0, tenemos las siguientes expresiones equivalentes: P(| X-m | ³ks) £ 1/k2 P(| X-m | ³e) £s2/e 2 P(m-ks < X < m+ks) ³ 1-1/k2 P(m-e < X < m+e) ³ 1-s2/e 2 Depto. Estadística, Universidad Carlos III

29. Descripción breve del tema • Concepto de variable aleatoria • Variables aleatorias discretas y continuas • Variables aleatorias discretas (funciones de probabilidad y de distribución) • Variables aleatorias continuas (funciones de densidad y de distribución) • Medidas características de una variable aleatoria • Medidas de centralización • Medidas de posición • Medidas de dispersión • Desigualdad de Chebichev • Transformaciones de variables aleatorias • Independencia entre variables aleatorias Depto. Estadística, Universidad Carlos III

30. Transformaciones de vables. aleatorias Dada una variable aleatoria X y una función g: IR ® IR, queremos estudiar la distribución de la variable aleatoria Y=g(X). FY(y) = P(Y£y) = P(g(X)£y) = P(X Î Ay) , donde Ay = {x: g(x)£y}. En muchos casos este conjunto Ay es sencillo de calcular. Depto. Estadística, Universidad Carlos III

31. Transformaciones de vables. aleatorias Si X es una variable aleatoria discreta, tenemos FY(y) = P(Y£y) = P(g(X) £y) = Sg(xi) £y pX(xi) , además la función de probabilidad de Y será, pY(y) = P(Y = y) = P(g(X) = y) = Sg(xi) = y pX(xi) . Depto. Estadística, Universidad Carlos III

32. Transformaciones de vables. aleatorias Si g es continua y creciente FY(y)=P(g(X)£y)=P(X£g-1(y))=FX(g-1(y)) En general, si X es una variable aleatoria continua e Y=g(X) con g derivable e inyectiva, tenemos que la función de densidad de Y cumple fY (y)=fX (x) |dx/dy| Depto. Estadística, Universidad Carlos III

33. Descripción breve del tema • Concepto de variable aleatoria • Variables aleatorias discretas y continuas • Variables aleatorias discretas (funciones de probabilidad y de distribución) • Variables aleatorias continuas (funciones de densidad y de distribución) • Medidas características de una variable aleatoria • Medidas de centralización • Medidas de posición • Medidas de dispersión • Desigualdad de Chebichev • Transformaciones de variables aleatorias • Independencia entre variables aleatorias Depto. Estadística, Universidad Carlos III

34. Independencia de variables aleatorias Dos variables aleatorias X e Y se dicen independientes si para cualesquiera A,BÌIR, P((XÎA)Ç(YÎB)) = P(XÎA)P(YÎB) Equivalentemente, para cualesquiera x,yÎIR P((X £x)Ç(Y £y)) = P(X £x)P(Y £y) Propiedad. Si X e Y son independientes, Var[X+Y] = Var[X]+Var[Y] Depto. Estadística, Universidad Carlos III