Il triangolo
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Il Triangolo. Definizione. Si definisce triangolo un poligono di tre lati. Caratteristiche. In un triangolo possiamo individuare: Tre vertici (A; B;C) Tre lati (a; b; c) Tre angoli ( α ; β ; γ ).

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Presentation Transcript


Il triangolo

Il Triangolo


Definizione

Definizione

Si definisce triangolo un

poligono di tre lati


Caratteristiche

Caratteristiche

  • In un triangolo possiamo individuare:

  • Tre vertici (A; B;C)

  • Tre lati (a; b; c)

  • Tre angoli (α; β; γ)

Un triangolo è una figura rigida indeformabile per questo trova applicazione in molte strutture architettoniche


Somma degli angoli interni di un triangolo

Somma degli angoli interni di un triangolo

Consideriamo il seguente triangolo

Tracciamo la retta passante per CB e la sua parallela passante per A

A questo punto noi abbiamo due rette parallele tagliate da due trasversali che sono i lati del triangolo

Gli angoli α e a1 sono uguali perché alterni interni rispetto alla trasversale c

Interessante contributo esterno


Il triangolo

Gli angoli b e b1 sono uguali per lo stesso motivo perché alterni interni rispetto alla trasversale b

Adesso si vede chiaramente come la somma degli angoli interni del triangolo a, b, g sia uguale alla somma degli angoli a1, b1 e g perché:

a1 = a; b1 = b e g è in comune

a + b + g = a1 + b1 + g

con

a1 + g + b1 = 180°

Come si vede chiaramente dalla figura


Il triangolo

La somma degli angoli

interni

di un triangolo

vale sempre 180°


Angoli esterni di un triangolo

Angoli esterni di un triangolo

La somma degli angoli esterni di un triangolo vale sempre 360°

Si definisce angolo esterno di un triangolo l’angolo formato dal prolungamento del lato precedente e il lato successivo di un poligono


Angoli adiacenti

Angoli adiacenti

Si dicono adiacenti due angoli consecutivi e i cui lati non comuni giacciono sulla stessa retta

Noti una qualche somiglianza con gli angoli interni ed esterni di un triangolo?


Il triangolo

Consideriamo la seguente figura

Le coppie angoli interni ed esterni di un triangolo che fanno capo ad uno stesso vertice costituiscono una coppia di angoli adiacenti


Lati e angoli

Lati e angoli

  • Consideriamo un vertice di un triangolo e un lato che non passi per quel vertice

  • Un lato si dice opposto al vertice A (o all’angolo α) se non passa per A

  • Consideriamo il lato b,esso è un lato comune ai due angoli a e b

  • Due angoli di un triangolo che hanno un lato in comune si dicono adiacenti a quel lato


Criterio di esistenza di un triangolo

Criterio di esistenza di un triangolo

  • Consideriamo tre segmenti

  • È sempre possibile costruire un triangolo?

  • In teoria sembrerebbe di si perché posso metterli uno dietro l’altro

  • Ma il giochetto riesce sempre?

  • Consideriamo altri tre segmenti

  • Ripetiamo l’operazione

  • Come si vede non posso costruire un triangolo, uno dei due segmenti è addirittura più grande della somma degli altri due


Il triangolo

In un triangolo

un lato deve essere

minore della somma

degli altri due


Classificazione in base ai lati

Classificazione in base ai lati

  • In base ai lati classifichiamo i triangoli in:

  • Triangoli scaleni se hanno tutti i lati disuguali

  • Triangoli isosceli se hanno due lati uguali

  • Triangoli equilateri se hanno tutti i lati uguali


I triangoli isosceli

I triangoli isosceli

  • Nei triangoli isosceli chiamiamo:

  • Lati obliqui i due lati uguali

  • Base il terzo lato

  • Angoli alla base i due angoli adiacenti alla base

  • Angolo al vertice l’angolo opposto alla base


Triangolo equilatero

Triangolo equilatero

  • Il triangolo rettangolo ha tutti i lati e gli angoli uguali

  • Se la somma dei 3 angoli interni è di 180° il valore di tali angoli sarà:

  • 180° : 3 = 60°


Classificazione in base agli angoli

Classificazione in base agli angoli

  • In base agli angoli possiamo suddividere i triangoli in: triangoli acutangolise hanno tutti gli angoli acuti

  • Triangoli rettangolise hanno un angolo retto

  • Triangoli ottusangolise hanno un angolo ottuso


Altezza di un triangolo

Altezza di un triangolo

  • Consideriamo un triangolo

  • Tracciamo la perpendicolare al lato BC passante per A

  • Sia H la proiezione di A su AC

  • Si definisce altezza di un triangolo relativa ad un lato il segmento perpendicolare che partendo dal vertice opposto arriva sul lato medesimo

  • Cioè la distanza di A dal lato BC


Quante altezze

Quante altezze?????

  • Nella definizione precedente c’è una piccolissima parola che ci deve far riflettere!

  • relativa!

  • Esiste un’altezza assoluta in un triangolo?

  • Certamente no, ogni altezza deve essere riferita ad un lato!

  • Ma quanti sono i lati?

  • 3

  • Allora in un triangolo ci sono tre altezze


Il triangolo

  • Non ci resta che vederle!

  • Sorpresa …. Sorpresa …. Passano tutte per uno stesso punto!

  • Questo ci permette di dire che quello sarà certamente un punto notevole del triangolo

  • Se questo è vero esso non merita solo un simbolo per indicarlo

  • Ma anche nome e definizione


Ortocentro

Ortocentro

  • ortocentro(dal greco orqos", retto, più kentron, centro … paura!

  • Si definisce ortocentro il punto di incontro delle tre altezze

  • Qui l’ortocentro è dentro il triangolo ma è sempre così?

  • Vediamo se è vero!


Vediamo cosa succede all ortocentro se modifico il triangolo

Vediamo cosa succede all’ortocentro se modifico il triangolo

L’angolo in B sta aumentando e si osserva che l’ortocentro si sposta verso questo angolo

Quando il triangolo diventa ottusangolo l’ortocentro va fuori e non si trova più nel punto di incontro delle tre altezze ma dove si incontrano i loro prolungamenti!

Quando il triangolo diventa rettangolo ortocentro e vertice B coincidono


Nuova definizione di altezza

Nuova definizione di altezza

  • Si definisce altezza di un triangolo relativa ad un lato il segmento perpendicolare che partendo dal vertice opposto arriva sul lato medesimo o sul suo prolungamento


Nuova definizione di ortocentro

Nuova definizione di ortocentro

  • Si definisce ortocentro il punto di incontro delle tre altezze o dei loro prolungamenti

Altezze del triangolo ABC

Per trovare l’ortocentro occorre prolungare le altezza


Riassunto

Riassunto

In un triangolo rettangolo l’ortocentro coincide col vertice opposto all’ipotenusa

In un triangolo acutangolo l’ortocentro è interno

In un triangolo rettangolo l’ortocentro è esterno al triangolo


Mediana

Mediana

  • Dal latino medianus, ciò che sta nel mezzo

  • Si definiscemediana il segmento che unisce il vertice opposto di un lato col suo punto medio

  • Anche in questo caso il triangolo ha tre mediane


Un nuovo punto notevole

Un nuovo punto notevole

  • Si può facilmente vedere che ……

  • Le tre mediane si incontrano in un punto che sarà ancora una volta un nuovo punto notevole


Baricentro

Baricentro

  • Dal greco barios pesante e kentron centro letteralmente centro dei pesi

  • Sidefinisce baricentro il punto di incontro delle tre mediane

  • È il punto di equilibrio del triangolo


Bisettrice

Bisettrice

A’1

A’

bisettrice

O

A

Consideriamo l’angolo AOA’1

Tracciamo una semiretta che ha origine nel suo vertice e che lo divide a metà

Tale retta prende il nome di bisettrice

Definiamo bisettrice la semiretta che partendo dal suo vertice O divide l’angolo in due parti uguali


Bisettrici di un triangolo

Bisettrici di un triangolo

  • Un triangolo avendo tre angoli avrà anche tre bisettrici

  • Come si vede anche queste si incontrano in un unico punto che sarà il terzo punto notevole del triangolo


Incentro

Incentro

  • Si definisce incentro il punto di incontro delle bisettrici di un triangolo


Propriet dell incentro

Proprietà dell’incentro

  • L’incentro gode di un’importante proprietà: è equidistante dai lati

  • Tale distanza coincide con il raggio di una circonferenza tangente a tutti i lati del poligono

Dimostreremo questo quando faremo i criteri di congruenza dei triangoli


Secanti e tangenti

Secanti e tangenti

  • Una retta si dice secantese interseca una curva in due o più punti

  • Una retta si dice tangente ad una curva se ha un solo punto di contatto (da tangere toccare) con la curva (o meglio la tocca in due punti coincidenti)


Asse di un segmento

Asse di un segmento

Consideriamo il segmento AB e sia M il suo punto medio

Quali saranno le caratteristiche di M?

Consideriamo ora la perpendicolare ad AB passante per M

Chiamiamo questa perpendicolare asse del segmento

L’asse di un segmento è il luogo geometrico dei punti equidistanti dai suoi estremi

http://www.math.it/cabri/asse.htm


Assi di un triangolo

Assi di un triangolo

  • Solita storia: abbiamo tre lati e quindi tre assi!

  • Ancora una volta un punto notevole; i tre assi si incontrano in un punto che merita nome e definizione


Il circocentro

Il circocentro

  • Dal latino circum (circolo) e dal greco Kentron (centro)

  • Si definisce circocentro il punto di incontro dei tre assi di un triangolo

  • Il nome deriva da una proprietà facilmente ricavabile se si ricorda il significato di asse


Propriet del circocentro

Proprietà del circocentro

  • Consideriamo l’asse del lato CB, per definizione il punto O (appartenente all’asse) è equidistante da C e da B

  • OB = OC

  • Prendiamo l’asse del lato AC, ancora una volta O è equidistante da A e da C

  • OC = OA

  • A questo punto si ha che: OB=OC=OA

  • Il circocentro è equidistante di vertici del triangolo


Il centro del circolo

Il centro del circolo ….

  • È ora chiaro che il circocentro è il centro cella circonferenza che passa per i vertici del triangolo

  • Da cui …. Qualsiasi triangolo può essere inscritto in una circonferenza


Tipi di triangolo e posizione del circocentro

Tipi di triangolo e posizione del circocentro

Nel triangolo acutangolo il circocentro è interno al poligono

Nel triangolo rettangolo il circocentro coincide col punto medio dell’ipotenusa

Nel triangolo ottusangolo il circocentro è esterno al triangolo


Criteri di congruenza dei triangoli

Criteri di congruenza dei triangoli

  • In geometria si parla di congruenza quando due cose sono uguali

  • I criteri sono delle modalità che ci permettono di dire quando due cose sono uguali senza doverle confrontare e si risparmia tempo


Primo criterio di congruenza

B’

A’

a’

C’

Primo criterio di congruenza

B

A

a

  • Consideriamo due triangoli che hanno due lati uguali e l’angolo fra essi compreso uguale

  • Con un movimento rigido facciamo coincidere le due figure

  • Vediamo che si sovrappongono esattamente

  • Perciò i due triangoli sono uguali

Due triangoli

sono uguali

se hanno uguale

due lati

e l’angolo fra

essi compreso

C


Secondo criterio di congruenza

Secondo criterio di congruenza

2 triangoli sono uguali sa

hanno uguale un lato e

gli angoli ad esso adiacenti

  • Consideriamo due triangoli che hanno un lato uguale e uguale i due angoli ad esso adiacenti

  • Siccome noi sappiamo che la somme degli angoli interni di un triangolo è 180° l’altro angolo sarà necessariamente uguale

  • Perciò i due triangoli sono uguali


Terzo criterio di congruenza

B’

A’

C’

Due triangoli sono

uguali se hanno tutti

e tre i lati congruenti

Terzo criterio di congruenza

B

  • Consideriamo due triangoli che hanno tre lati uguali

  • Siccome il triangolo è una struttura indeformabile i due triangoli saranno necessariamente uguali

  • Si vede facilmente se li sovrapponiamo

A

C


Considerazione sul triangolo isoscele

Considerazione sul triangolo isoscele

  • Consideriamo il seguente triangolo isoscele

  • Gli angoli alla base saranno uguali e così i lati AC e BC

  • Tracciamo l’altezza

  • I triangoli CDB e CAD saranno uguali perché

  • Il lato AD è in comune

  • I lati AC e CB sono uguali perché lati del triangolo isoscele

  • Essendo l’angolo ADC = all’angolo CDB perché retti per definizione di altezza si ha che

  • e = z = 180° – 90° – 66,8°

  • Perciò per il primo criterio di congruenza i triangoli CDB e CAD sono uguali

  • Questo risultato è pieno di conseguenze infatti:


Propriet del triangolo isoscele

In un triangolo isoscele

l’altezza relativa alla base

è anche asse, mediana e bisettrice

Proprietà del triangolo isoscele

  • Se i triangoli ACD e CDB sono uguali sia ha che AD = DB cioè D è il punto medio e l’altezza è anche mediana

  • L’altezza è la perpendicolare condotta a partire dal punto medio perciò sta sul suo asse

  • Se i triangoli ACD e BCD sono uguali saranno uguali anche e e z perciò l’altezza è anche bisettrice dell’angolo in C


Il triangolo

In un triangolo isoscele

tutti i punti notevoli

cadono sull’altezza

relativa alla base

  • Se tracciamo le altezze troviamo l’ortocentro

  • Se tracciamo gli assi troviamo il circocentro

  • Se tracciamo le mediane troviamo il baricentro

  • Se tracciamo le bisettrici troviamo l’incentro

  • Come ci potevamo aspettare …..


E se il triangolo equilatero

….. e se il triangolo è equilatero

  • A voi la parola ………

  • In che cosa assomiglia al triangolo isoscele?

  • Come saranno le tre altezze relative ai lati

  • Vale per ciascuna di loro ciò che si detto per l’altezza del triangolo isoscele?

  • Allora?

O Ξ B Ξ C Ξ I


E sul triangolo rettangolo

….. e sul triangolo rettangolo?

  • Consideriamo la seguente figura e fissiamo la nostra attenzione sul triangolo A M1B

  • L’asse del segmento AB contiene l’altezza del triangolo

  • Il triangolo A M1B è isoscele

  • AM1 = M1B

  • Ma se M1 è il punto medio dell’ipotenusa allora si avrà che ….

In un triangolo rettangolo la mediana

relativa all’ipotenusa è congruente

alla metà dell’ipotenusa stessa


Triangolo rettangolo particolare

Triangolo rettangolo particolare

  • … è possibile dire che questo triangolo è la metà di un triangolo equilatero?

Provate a riflettere:

Quanto vale l’angolo in C?

Quanto valgono gli angoli interni in un triangolo equilatero?

Se raddoppio l’angolo di 30° cosa ottengo?

E all’ora ………..


Questa tosta

Questa è tosta!!!!

  • Sapresti dimostrare che IL = IK = IH?

  • Pensa al quadrilatero ALIH e al ruolo che ha la bisettrice dell’angolo alfa

Quanto vale l’angolo in H?

Quanto vale l’angolo in L?

Se considero gli angoli AÎL e HÎL come sono?

Perché?

E allora...


Il triangolo

Uguali perché sono retti sono retti

Uguali perché angoli generati dalla bisettrice dell’angolo a

η1 = η2 = 180° - 90°- ζ1 (ζ2 è la stessa cosa perché sono uguali) perché la somma degli angoli interni di un triangolo è di 180°

Il lato AI è in comune ai due triangoli

Per il secondo criterio di uguaglianza (lato uguale e gli angoli ad essi adiacenti uguali) i triangoli AIK e AIH sono uguali e pertanto IH = IK


Il triangolo

Il punto I (incentro)

è equidistante

dai lati del triangolo

Ragionamento analogo può essere fatto anche per i quadrilateri LCKI e ABHI perciò abbiamo dimostrato che


Come sar un triangolo rettangolo con un angolo di 45

Come sarà un triangolo rettangolo con un angolo di 45°


Perimetro

Perimetro

Consideriamo il seguente poligono

I lati a, b, c, e d rappresenteranno il contorno del poligono

Immaginiamo ora di prenderli uno ad uno e di sommarli (sappiamo già come si fa altrimenti slide successiva)

La lunghezza del segmento A’A’’ ottenuto sommando questi lati è detta perimetro del poligono

Di definisce perimetro di un poligono e si indica con 2P la misura del contorno del poligono


Perimetro di un triangolo

Perimetro di un triangolo

  • Se consideriamo un triangolo qualsiasi si ha che 2P = a + b + c

  • Se consideriamo un triangolo isoscele si ha che 2P = b + 2 x lo


Il triangolo

  • In un triangolo rettangolo il perimetro è dato da 2P= c1 + c2 + i

In un triangolo equilatero il perimetro è dato da: 2p = 3 x l

Interessante la versione sullo stesso argomento della professoressa Amelia Vavalli reperibile in questa pagina web


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