数学与科技进步沈灏 2012.09.10 haoshen@sjtu

数学与科技进步沈灏2012.09.10 haoshen@sjtu.edu.cn

参考文献 （部分） 1.M.克莱因，古今数学思想（全四册），上海科技出版社， 2.张顺燕，数学的源与流，高等教育出版社， 3. 邓东皋等，数学与文化，北京大学出版社， 4.G.哈代，一个数学家的辩白， 5. 沈灏，数学在科学中的地位与作用，超星视频

第一章. 数学在科学中的地位 1.1.何谓科学？何谓技术？科学(Science):是对客观规律的认识、揭示和描述的系统知识；技术(Technoledge):则是人们为了各种特定的目的在科学理论指导下从事的种种发明与创造等等. “科学”一词源于拉丁文scientia,原为“知识”与“学问”之意.

1.2.梁启超关于“学”与 “术”的定义 学也者，观察事物而发明真理者也；术也者，取所发现之真理致之用者也.譬如以石投水则沉，投以木则浮.观察此事实以证明水之右浮力，此物理也.应用此真理以驾驶船舶，则航海术也.研究人体之组织，辨别各器官之机能，此生理学也.应用此真理以疗治疾病，则医术也.学与术之区分及其相关系，凡百皆准此. 梁启超,《学与术》，1911

1.3.中译名“科学”之由来 明清时期，与science 意义最相近的中文词语为“格致”，即“格物致知”之意,徐光启称之为“格物穷理之学”. 明治维新时期,日本学者西周将science译为“科学”, 其意为“分科之学”. 在古代中国,“分科之学”与“分科取士”的科举考试相关，因此，虽然“科学”一词在中国古已有之，然而它只和科举有关，而和science无关.

十九世纪九十年代，康有为首次将“科学”作为science 的译名从日本引入中国. • 自此至1905年，“科学”与“格致”并用. • 1905年,清政府废科举,兴新学.自此以后，“科学”逐步取代“格致”,专以指代science.

1.4.自然科学与自然哲学 “科学”一词,原来主要是指自然科学(Natural science）也称自然哲学（Natural Philosophy）. 例如，Newton的名著叫作《自然哲学的数学原理》. 广义的“科学”不但包括自然科学,还包括社会科学，人文科学等大类.

1.5. 科学与技术之间的关系 学为术之体，术为学之用上述说法不无道理，但失诸片面: 技术固然要接受科学理论的指导，必须符合科学规律才有可能有所发明，有所创造；反之,技术的进步也会为科学研究提供更多更好的方法和手段，促进科学的发展.

1.6.有“闲”最难 从事科学研究的三个基本条件：一曰有“才”；二曰有“财”；三曰有“闲”. 有“闲”最难.

科学是不讲功利的，而技术是一定要讲功利的.科学是不讲功利的，而技术是一定要讲功利的. 从个人来说，研究科学的动机是什么？是人的与生俱来的好奇心，是人们探究未知世界奥秘的无穷无尽的乐趣.

1. 7. 从事科学研究（做学问）的三个境界： 昨夜西风凋碧树，独上层楼，望断天涯路；为伊消得人憔悴，衣带渐宽终不悔；众里寻她千百度，蓦然回首，那人恰在灯火阑珊处. -----王国维：《人间词话》

1.8.科学的一种分类法: 自然科学—“物理”之学；社会科学—“事理”之学；人文科学—“情理”之学；哲学；数学.

1.9.六门基础科学 数,理,化,天,地,生

1.10.科学精神 最简洁的表达可概括为两个字：求是

1.11.数学之用 数学的计算功能；数学是描述科学理论的合适语言；数学是发现科学规律的锐利武器；数学是培养学生思维能力的理想载体；数学的哲学意义；数学的美学价值.

第二章. 代数结构与序结构 2.1.集合与一一对应定义2.1.设X与Y为两个非空集合,f 为从集合X到集合Y的一个对应规则,使得对X中的任意一个元素x,都有Y中惟一的一个元素y与之对应,则称f为从X到Y的一个映射(mapping),而将y叫作元素x在映射f作用之下的象,记作 y=f(x).

定义2.2.设f 为从集合X到Y的一个映射: (i)若对Y中任一元素y,都存在X中某个元素x, 使得 y=f(x),则称f为从X 到Y上的一个满射 (surjection),或称f 是映上的(surjective);

(ii)若对 X中任意两个不同元素s, t, 只要s≠t, 都有f(s)≠f(t), 则称f为从X到Y 的一个单射 (injection); (iii) 若f 既是单射又是满射 ,则称 f为从X 到 Y上的一个双射 (bijection),或一一对应 (one to one correspondance).

2.2.集合的基数 定义2.3.设X与Y为两个集合,若存在从X 到Y上的一个一一对应,则称X与Y的基数(cardinal)或称X与Y等势,记作│X│= │Y│,这里│X│表示集合X的基数. 若X是包含m格元素的有限集，则定义X的基数为m，即│X│=m. 空集的基数为零，即│Φ.

定义2.4.设X与Y为两个集合，若X存在某个子集U使得定义2.4.设X与Y为两个集合，若X存在某个子集U使得 │U│= │Y│，则称X的基数不小于Y的基数，记作 │X│ ≥│Y│. 若│X│ ≥│Y│但对Y的任一子集V，都不存在从V到X上的一一对应，则称X的基数大于Y 的基数，记作 │X│ >│Y│.

命题2.1.若│X│ ≥│Y│与│Y│ ≥│X│同时成立，则必 │X│ =│Y│.

2.3.可数集 定义2.5.令N表示由全体正整数组成的集合.设X为任一集合，若 │X│= │N│，则称X为可数集(countable set),否则称X为不可数集.

例2.1.(i)全体偶数的集合是可数集; (ii)全体3的倍数组成的集合是可数集； (iii)令 S={7t+5 │t为任意正整数}，则S 为可数集. 思考题.1.令Q 表示由全体有理数组成的集合,证明：Q是可数集.

思考题: 1.令Q 表示由全体有理数组成的集合, 证明：Q是可数集. 2.证明:有限集不可能与其真子集基数相同；无限集必与它的某个真子集基数相同.

扩展阅读：全体实数组成的集合记作R， 证明：R 是不可数集. • 实数集R的基数叫作连续统势. 思考题3.证明：全体实数的集合R 与全体复数组成的集合 C的基数相同，即│C│= │R│.

2.4.偏序关系与偏序集 定义2.6.令S为一个非空集合,在S上给定一个关系,记作“ ≤”,若“ ≤”具有下述性质： (i)自反性:对S中任意元素想x, 都有x≤x; (ii)反对称性:由x≤y 与y ≤x 都成立必有x=y； (iii)传递性:由x≤y 与y ≤z同时成立必有x≤z. 则称“ ≤”为集合S上的一个偏序关(partial ordering), 而把序对(S, ≤) 叫作一个偏序集 (partially ordered set).

例2.2.设n为给定之正整数，S为由n的全体正 因数组成的集合，则S 关于整数的整除关系构成一个偏序集.

例2.3. 设A为给定之有限集，S为由A的全体子集(包括S本身与空集Φ）组成的集合，则 S关于集合的包含关系构成一个偏序集.

2.5.全序集 若 x≤y 但x≠y，则记作 x<y. 定义2.7.设(S, ≤)为一个偏序集，若对S 中任意两个不同元素x与y，在x <y与y<x两式之中必有且只有一式成立，则称（S, ≤）为一个全序集(totally ordered set).

例2.4.全体实数的集合R关于实数的小于等于关系是一个全序集（R,≤）；全体正整数集合N 关于此“≤”也构成一个全序集. 思考题4：举出一些你在专业学习或生活中用到的偏序关系和偏序集以及全序集之例.

2.6.复数域的公理化 通常用C表示全体附属的集合，在C上定义有两个基本的代数运算:加法和乘法 .复数关于这两种运算具有下述基本性质： 1）加法交换律:对任意元素a,b都有 a+b= b+a ； 2）加法结合律：对任意元素a,b,c,都有 (a+b)+c= a+(b+c);

3）零元存在:对任意元素a，都有 0+a= a； 4）负元存在 :对任意元素a,都存在某个元素x使得 a+x= 0， x 叫做 a的负元，记作 –a； 5）乘法交换律：对任意元素a，b都有 a·b= b·a； 6）乘法结合律：对任意元素a,b,c,都有 (a·b) ·c= a ·(b · c); ·· ·) · ·

7)单位元存在:对任意元素a，都有 1·a= a； 8)逆元存在:对任意非零元素a,都存在某个元素x 使得 a · x= 1， x 叫做 a的逆元，记作 1 ̷ a； 9)乘法对于加法的分配律:对任意元素a,b,c,都有 a·(b +c)= a ·b+a· c.

定义2.8.复数集C关于复数加法和乘法这两种基本运算构成的代数系统(C, +, ·)叫作复数域,有时为了方便,也常常简单地用C表示复数域.

2.7.数域 问题：是否只有全体复数的集合 C 关于复数的加法与乘法构成的代数系统才具有2.6中的全部九条性质？定义2.9. 设 K为复数集 C的至少包含两个元素的子集，若K关于加法与乘法这两种代数运算封闭并且具有2.6中的 9 条性质，则称代数系统（K, +, ·）为一个数域，或简单地称 K 为一个数域.(number field).

例2.5.令R 表示全体实数的集合，则(R,+, · )是一个数域，叫做实数域(the field of real numbers). 例2.6.令 Q 表示全体有理数的集合, 则 (Q, +, · )也是一个数域，叫做有理数域(the field of rational numbers).

例2.6.令 Q(i)={ a+bi|a,b 为有理数}，则 Q(i) 也是一个数域，叫做Gauss 数域. 关于数域的判别法则：定理 2.1. 设K 为复数集 C 的至少包含两个元素的子集，若 K 关于四则运算封闭，则K 是一个数域.

思考题 5. 设 n 为整数，令 Q (√n)={ a+ b √n |a,b 为有理数}，则 Q (√n) 为数域. 思考题 6. 证明：有理数域是最小的数域，即任意一个数域都包含有理数域.

2.8. 域 定义2.10. 设 F 为至少包含两个元素的集合,在 F 上定义两个二元运算，叫做加法和乘法，分别记作 + 与· . 若 F 关于这两个代数运算封闭，并且满足以下八条公理： 1）加法交换律:对 F 中任意元素 a,b 都有 a+b= b+a ； 2）加法结合律：对 F 中任意元素 a,b,c, 都有 (a+b)+c= a+(b+c);

3）零元存在:对 F 中任意元素a，都有 0+a= a； 4）负元存在 :对 F 中任意元素a, 都存在某个元素 x 使得 a+x= 0， x 叫做 a的负元，记作 –a； 5）乘法交换律：对 F 中任意元素a，b 都有 a·b= b·a；

6）乘法结合律：对 F中任意元素 a,b,c, 都有 (a·b) ·c= a ·(b · c); 7)单位元存在:对任意元素a，都有 1·a= a； 8)逆元存在:对任意非零元素a, 都存在某个元素 x 使得 a · x= 1， x 叫做 a的逆元，记作 1 ̷ a；

9)乘法对于加法的分配律:对任意元素 a,b,c,都有 a·(b +c)= a ·b+a· c. 则称代数系统 (F, +, · ) 为一个域, 或简单地称 F 为一个域 (field ).

显然，每一个数域都是域. 下面我们构造一个只有两个元素的域.令 F= { 0,1}，规定加法如下： 0+0 = 0； 0+1 =,0；1+ 0 = 1，1+1 = 0. 再规定乘法如下： 0 ·0 = 0； 0·1 = 0； 1·0 = 0； 1·1 = 1. 不难验证, (F, +, · ) 关于这两种代数运算封闭,并且满足全部八条公理，因此这是一个域.

思考题 7. 设 p 为任意素数，证明：都存在一个正好具有 p 个元素的域. 包含有限多个元素的域叫有限域. 有限域理论在计算机科学，信息科学和通信工程中有极其重要的应用.

2.9. 整数环 定义2.11. 令 Z 表示全体整数组成的集合，则 Z 关于复数的加法和乘法运算具有除去性质 8) 之外的其余八条性质. 因此， (Z, +, · )不是一个数域,但它还是具有相当好性质的一个代数系统, 叫做整数环.

带余除法 定理2.2. 任给整数 a 和正整数 b，存在唯一一对整数 q 与 r，使得 a = q · b+ r， 0 ≤ r ≤ b – 1.

2.10. 多项式环 定义2. 设 R为实数域，令R[x]表示不定元x的全体实系数多项式所组成的集合.考虑R[x]关于多项式加法“+”与乘(R[x], +, ·法“·”所组成的代数系统 (R[x], +, · ). 不难证明， (R[x], +, · ) 满足除去 8）以外的全部八条公理. ， (R[x], +, · ) 叫做实数域上的一元多项式环.

思考题8. 证明： (R[x], +, · ) 满足除去 8）以外的全部八条公理.

思考题9. 设f(x) 与 g( x）为R[x]中的两个多项式且 g(x)≠ 0, 证明：存在多项式 q(x) 与r(x)使得 f(x)= q(x) g(x) + r(x), 其中 r(x)= 0 或者 r(x)的次数小于g(x)d的次数.

第三章.数学的计算功能 3.1. 数学为计算提供方法和工具数学是一门艺术，是一门通过发展概念和技巧以使人们较为轻快地前进，从而避免靠蛮力计算的艺术.

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