第一章 直线和平面 两个平面垂直的判定和性质(一)
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第一章 直线和平面 两个平面垂直的判定和性质(一) 教学目标 1 .使学生掌握两个平面垂直的判定定理及证明,并学会初步应用定理解决问题; 2 .通过本节定理的引入,培养学生的联想及概括思维能力; - PowerPoint PPT Presentation


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第一章 直线和平面 两个平面垂直的判定和性质(一) 教学目标 1 .使学生掌握两个平面垂直的判定定理及证明,并学会初步应用定理解决问题; 2 .通过本节定理的引入,培养学生的联想及概括思维能力; 3 .通过本节命题的构造、完善、论证过程,培养学生分析、论证的思维能力. 教学重点和难点 面面垂直的判定定理的引入及证明. 教学用具 1 .两个互相垂直的平面(制做教具)和一根直细木棍; 2 .一个正方体(教具),固定在底面对角线两端点的一条橡皮筋. 教学设计过程

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第一章 直线和平面 两个平面垂直的判定和性质(一)

教学目标

1.使学生掌握两个平面垂直的判定定理及证明,并学会初步应用定理解决问题;

2.通过本节定理的引入,培养学生的联想及概括思维能力;

3.通过本节命题的构造、完善、论证过程,培养学生分析、论证的思维能力.

教学重点和难点

面面垂直的判定定理的引入及证明.

教学用具

1.两个互相垂直的平面(制做教具)和一根直细木棍;

2.一个正方体(教具),固定在底面对角线两端点的一条橡皮筋.

教学设计过程

师:上节课我们讲述了二面角及二面角的平面角的有关概念,明确了要刻画二面角的大小,需借助于二面角的平面角的大小,请问二面角的平面角是如何定义的?


生:以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.生:以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.

师:很好.如果二面角的平面角是直角,我们称之为直二面角.

师:两个平面相交,如果所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直,这一节课我们一起来研究一下如何判定两个平面互相垂直,(板书课题及两平面互相垂直的定义,然后老师走下讲台,打开教室门,在教室门开启转动过程中提问)

师:同学们请看,现在门面、门轴、门框面构成了一个二面角,这个二面角的平面角你找到了吗?

生:(走到门前面指出平面角的位置)

师:好,在门转动的过程中,请你指出有哪些变量,哪些不变量?

生甲:门面与门框面形成的二面角在不断的变化.

生乙:这些面的交线都是门轴,交线没有变.

师:很好,(启发地)请问这些面与地面的关系又如何呢?

生:垂直,不论门面转到哪个位置,都与地面垂直,这个关系保持不变.

师:好,再请问门面与地面始终垂直的原因是什么?

生:因为门面始终通过门轴,而门轴始终垂直地面.


师:非常好.意思是说:因为门轴垂直于地面,而门面通过门轴,于是有门面与地面垂直,这个事实的结论正是两个平面互相垂直,是我们今天要研究的主要内容.好好想一想,能不能将这个事实抽象概括成数学命题.师:非常好.意思是说:因为门轴垂直于地面,而门面通过门轴,于是有门面与地面垂直,这个事实的结论正是两个平面互相垂直,是我们今天要研究的主要内容.好好想一想,能不能将这个事实抽象概括成数学命题.

生:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.

(教师在此过程中,引导学生正确叙述命题并板书命题)

师:观察得来的结论是否正确,还需给出严格的数学证明.

(教师取出教具)

师:这个命题的条件和结论分别是什么?

生:条件是一条直线垂直于一个平面,结论是经过这条直线的平面都垂直于这个平面.

师:正确.下面请你结合教具画出正确的图形,并写出已知、求证.

(教师先在黑板上画出图形,再到同学中巡视,指出可能存在的图形位置欠佳及数学语言不准确的问题,并及时给与纠正,然后请一名同学叙述)


生:已知:如图,师:非常好.意思是说:因为门轴垂直于地面,而门面通过门轴,于是有门面与地面垂直,这个事实的结论正是两个平面互相垂直,是我们今天要研究的主要内容.好好想一想,能不能将这个事实抽象概括成数学命题.AB α,AB⊥β于B.

求证:α⊥β.

师:要证α⊥β,即证α与β所成的二面角是直二面角也就是要证明α与β所成二面角的平面角是90°,关于二面角的计算问题,我们上一节课已经指出,一般分为两个步骤,还记得是哪两步吗?

生:先找出或作出二面角的平面角,即“指实”,然后再计算或利用所要求的角.

师:很好,下面请同学自己完成证明.

师:请同学打开书p.40,看书中关于这个定理的证明,与自己的证明对照一下,要学会用准确的语言叙述证明(领着学生看证明,并让学生体会证明中语言的准确性)

师:书中接着指出:“建筑工人在砌墙时,常用一端系有铅锤的线来检查所砌的墙面是否和水平面垂直.实际上,就是依据这个定理.”可见,生活当中处处有数学,作为一名高中生能够有意识的观察生活,应用我们所学过的知识去体验生活,去改造世界,才是我们学习的真正目的.


师:(板书)师:非常好.意思是说:因为门轴垂直于地面,而门面通过门轴,于是有门面与地面垂直,这个事实的结论正是两个平面互相垂直,是我们今天要研究的主要内容.好好想一想,能不能将这个事实抽象概括成数学命题.

剖析

1.内容:线面垂直→面面垂直.

2.作用:判定两个平面互相垂直.

例1 如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是A1B1,B1C1和BB1中点.

求证:

(1)面ACC1⊥面BDD1B1;

(2)面ACFE⊥面BDD1B1;

(3)面ACG⊥面BDD1B1.


师:本题的结论是面面垂直,由判定定理可知,只需在其中一个平面中找到另一个平面的一条垂线,现在观察图形,有没有这样的直线存在?师:本题的结论是面面垂直,由判定定理可知,只需在其中一个平面中找到另一个平面的一条垂线,现在观察图形,有没有这样的直线存在?

生甲:有,直线BD满足条件.

因为  正方体ABCD-A1B1C1D1中,

所以  AA1⊥面ABCD,又BD 面ABCD,

所以  AA1⊥BD.

因为  正方形ABCD,

所以  AC⊥BD,

所以  BD⊥面ACC1A1.

又BD 面BDD1B1,

所以  面BDD1B⊥面ACC1A1.

师:很好,找到直线BD垂直平面ACC1A1,利用定理证明过BD的平面BDD1B1与平面ACC1A1垂直,由此可以体会到用判定定理解决垂直问题的思路是:找线与面垂直.


生乙:老师,这道题还可以由直线师:本题的结论是面面垂直,由判定定理可知,只需在其中一个平面中找到另一个平面的一条垂线,现在观察图形,有没有这样的直线存在?AC入手.

因为  正方体ABCD-A1B1C1D1,

所以  BB1⊥面ABCD,

所以  BB1⊥AC.

因为  底面ABCD是正方形,

所以  AC⊥BD,

所以  AC⊥面BDD1B.

又AC 面ACC1A1,

所以  面ACC1A1⊥面BDD1B1.

师:正确.由直线AC入手也可以帮助我们解决本题,所以,看问题时可以从多个角度观察,甲寻找的是面ACC1A1的垂线BD,而乙寻找的是面BDD1B1的垂线AC,都很好的解决了这道题,下面看第二问和第三问.

师:谁想出证明方法了?

生:由第(1)问证明中,可知:AC⊥面BDD1B1,

又因为  AC 面ACFE中,

所以  面ACFE⊥面BDD1B1.

又因为  AC 面ACQ中,

所以  面ACG⊥面BDD1B1.


师:好!抓住了师:本题的结论是面面垂直,由判定定理可知,只需在其中一个平面中找到另一个平面的一条垂线,现在观察图形,有没有这样的直线存在?AC⊥面BDD1B1这一点,可以证明,这三个过AC的平面都与面BDD1B1垂直.(取出教具2),如果点G不是棱BB1的中点,面ACG是否还与面BDD1B1垂直?(手拉住橡皮筋,使点G在BB1上滑动,也可到面A1B1C1D1上滑动)为什么?

生:保持垂直,因为面ACG内的直线AC总与平面BDD1B1垂直.

师:很好,如果再回想一下门在转动过程中,门面总与地面垂直,其原因就是有门轴所在直线与地面垂直,因此,通过门轴的面总与地面垂直.由此可以看到应用判定定理的关键是在其中一个面内寻找与另一平面垂直的直线.


师:本题的结论是面面垂直,由判定定理可知,只需在其中一个平面中找到另一个平面的一条垂线,现在观察图形,有没有这样的直线存在?2 设AB是⊙O的直径,P是平面⊙O外一点,PC⊥⊙O,C是⊙O上一点.

求证:面PAC⊥面PBC.

师:这道题的结论还是两个平面垂直.观察两个平面,PAC,PBC中的线,有没有另一平面的垂线?也就是首先要解决线与面垂直的问题,回忆一下判定线面垂直的常用方法,哪种方法适合本题呢?

生:可以证明BC⊥面APC.

因为  ⊙O中,AB为直径,C为⊙O上一点,

所以  ∠ACB=90°,

即  AC⊥BC.

又  PC⊥面⊙O,BC 面⊙O.

因此  PC⊥BC,

所以  BC⊥面APC.

又因为  BC 面PBC,

所以  面PBC⊥面APC.


师:通过这道题的证明,我们看到立体几何中,线线垂直,线面垂直,面面垂直是密切相关的,由线线垂直可以判定线面垂直,由线面垂直,可以判定面面垂直.通过线面位置关系的不断转化,来解决我们所遇到的有关垂直的问题,是立体几何中,最常用的一条思路.这是我们应该认真体会的.师:通过这道题的证明,我们看到立体几何中,线线垂直,线面垂直,面面垂直是密切相关的,由线线垂直可以判定线面垂直,由线面垂直,可以判定面面垂直.通过线面位置关系的不断转化,来解决我们所遇到的有关垂直的问题,是立体几何中,最常用的一条思路.这是我们应该认真体会的.

师:这节课我们通过观察,实践,归纳,总结,证明,最终得到了两个平面互相垂直的判定定理.通过例题看到,应用定理的关键是寻找在一个平面内的直线与另一平面垂直.


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