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UPC. Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable Ciclo 2007 - 2. Tasas relacionadas. Identifica los tipos de problemas sobre tasas relacionadas. Resuelve problemas de tasas. H a bilidades. Lea con cuidado el problema.

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Presentation Transcript


UPC

Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas

Cálculo Diferencial e Integral

de Una Variable

Ciclo 2007 - 2

Tasas relacionadas


  • Identifica los tipos de problemas sobre tasas relacionadas.

  • Resuelve problemas de tasas.

Habilidades


  • Lea con cuidado el problema.

  • Trace si es posible, un diagrama.

  • Adopte una notación. Asigne símbolos a todas las cantidades que sean funciones del tiempo.

  • Exprese la información dada y la tasa requerida en términos de derivadas.

  • Deduzca una ecuación que relacione las diversas cantidades del problema. Si es necesario, use la geometría del caso que se ve, para eliminar una de las variables por sustitución.

  • Utilice la regla de la cadena para derivar ambos lados de la ecuación, con respecto al tiempo.

  • Sustituya la información dada en la ecuación resultante y despeje la rapidez o tasa desconocida.

Estrategia


Una escalera de 10 pies de longitud se apoya en un muro

vertical. Si su extremo inferior se desliza alejándose de la

pared con una velocidad de 2 pies/s, ¿Con qué velocidad se

mueve el extremo superior de la escalera en el momento en que se halla a 6 pies del piso?

Ejemplo 1


Una escalera de 10 pies de longitud se apoya en un muro

vertical. Si su extremo inferior se desliza alejándose de la

pared con una velocidad de 2 pies/s, ¿Con qué velocidad se

mueve el extremo superior de la escalera en el momento en que se halla a 6 pies del piso?

Ejemplo 1


Una escalera de 10 pies de longitud se apoya en un muro

vertical. Si su extremo inferior se desliza alejándose de la

pared con una velocidad de 2 pies/s, ¿Con qué velocidad se

mueve el extremo superior de la escalera en el momento en que se halla a 6 pies del piso?

Ejemplo 1


Una escalera de 10 pies de longitud se apoya en un muro

vertical. Si su extremo inferior se desliza alejándose de la

pared con una velocidad de 2 pies/s, ¿Con qué velocidad se

mueve el extremo superior de la escalera en el momento en que se halla a 6 pies del piso?

Ejemplo 1


Una escalera de 10 pies de longitud se apoya en un muro

vertical. Si su extremo inferior se desliza alejándose de la

pared con una velocidad de 2 pies/s, ¿Con qué velocidad se

mueve el extremo superior de la escalera en el momento en que se halla a 6 pies del piso?

Ejemplo 1


Una escalera de 10 pies de longitud se apoya en un muro

vertical. Si su extremo inferior se desliza alejándose de la

pared con una velocidad de 2 pies/s, ¿Con qué velocidad se

mueve el extremo superior de la escalera en el momento en que se halla a 6 pies del piso?

Ejemplo 1


Una escalera de 10 pies de longitud se apoya en un muro

vertical. Si su extremo inferior se desliza alejándose de la

pared con una velocidad de 2 pies/s, ¿Con qué velocidad se

mueve el extremo superior de la escalera en el momento en que se halla a 6 pies del piso?

Ejemplo 1


Una escalera de 10 pies de longitud se apoya en un muro

vertical. Si su extremo inferior se desliza alejándose de la

pared con una velocidad de 2 pies/s, ¿Con qué velocidad se

mueve el extremo superior de la escalera en el momento en que se halla a 6 pies del piso?

Ejemplo 1


Una escalera de 10 pies de longitud se apoya en un muro

vertical. Si su extremo inferior se desliza alejándose de la

pared con una velocidad de 2 pies/s, ¿Con qué velocidad se

mueve el extremo superior de la escalera en el momento en que se halla a 6 pies del piso?

Ejemplo 1


Una escalera de 10 pies de longitud se apoya en un muro

vertical. Si su extremo inferior se desliza alejándose de la

pared con una velocidad de 2 pies/s, ¿Con qué velocidad se

mueve el extremo superior de la escalera en el momento en que se halla a 6 pies del piso?

Ejemplo 1


12 m

A

B

A mediodía el barco A está a 150 km al oeste del barco B. La embarcación A navega hacia el este a 35 km/h y B hacia el norte a 25 km/h. ¿Con qué velocidad cambia la distancia entre ambos a las 4 pm.?

Ejemplo 2


A

B

A mediodía el barco A está a 150 km al oeste del barco B. La embarcación A navega hacia el este a 35 km/h y B hacia el norte a 25 km/h. ¿Con qué velocidad cambia la distancia entre ambos a las 4 pm.?

Ejemplo 2

1 pm.


A

B

A mediodía el barco A está a 150 km al oeste del barco B. La embarcación A navega hacia el este a 35 km/h y B hacia el norte a 25 km/h. ¿Con qué velocidad cambia la distancia entre ambos a las 4 pm.?

Ejemplo 2

2 pm.


A

B

A mediodía el barco A está a 150 km al oeste del barco B. La embarcación A navega hacia el este a 35 km/h y B hacia el norte a 25 km/h. ¿Con qué velocidad cambia la distancia entre ambos a las 4 pm.?

Ejemplo 2

3 pm.


B

A mediodía el barco A está a 150 km al oeste del barco B. La embarcación A navega hacia el este a 35 km/h y B hacia el norte a 25 km/h. ¿Con qué velocidad cambia la distancia entre ambos a las 4 pm.?

Ejemplo 2

4 p.m.

A


Un reflector en el piso alumbra un muro a 12 m de distancia. Si un hombre de 2 m de altura camina del reflector hacia el muro a una velocidad de 1,6 m/s, ¿con qué velocidad disminuye la altura de su sombra en el muro cuando está a 4 m de la pared?

Ejemplo 3


Un reflector en el piso alumbra un muro a 12 m de distancia. Si un hombre de 2 m de altura camina del reflector hacia el muro a una velocidad de 1,6 m/s, ¿con qué velocidad disminuye la altura de su sombra en el muro cuando está a 4 m de la pared?

Ejemplo 3


Una lancha es remolcada hacia un muelle con una cuerda atada a su proa que pasa por una polea en el muelle. Esta polea está 1 m mas alta que la proa del bote. Si la cuerda se desliza con una velocidad de 1 m/s, ¿con qué velocidad se acerca la lancha al muelle cuando está a 8 m de distancia de él?

Ejemplo 4


Una lancha es remolcada hacia un muelle con una cuerda atada a su proa que pasa por una polea en el muelle. Esta polea está 1 m mas alta que la proa del bote. Si la cuerda se desliza con una velocidad de 1 m/s, ¿con qué velocidad se acerca la lancha al muelle cuando está a 8 m de distancia de él?

Ejemplo 4


Un canal tiene 10 pies de largo y sus extremos presentan la forma de triángulo isósceles de 3 pies de ancho y 1 pie de altura. Si el canal se llena de agua con un flujo de 12 pies cúbicos por minuto, ¿con qué velocidad cambia el nivel del agua cuando hay 6 pulgadas de profundidad?

Ejemplo 5


Cuando el aire se expande adiabáticamente (sin ganar ni perder calor), su presión P y su volumen V se relacionan mediante la ecuación:

Ejemplo 6

donde C es una constante. En cierto instante el volumen es 400 cm3 y la presión 80 kPa y disminuye a 10 kPa/min. ¿Con qué velocidad aumenta el volumen en ese momento?


P

Un faro se encuentra en una isleta a 3 km del punto mas cercano, P, de una costa recta y su linterna gira a 4 rpm. ¿Con qué velocidad el haz luminoso barre la costa cuando pasa por un punto a 1 km de P?

Ejemplo 7


Un faro se encuentra en una isleta a 3 km del punto mas cercano, P, de una costa recta y su linterna gira a 4 rpm. ¿Con qué velocidad el haz luminoso barre la costa cuando pasa por un punto a 1 km de P?

Ejemplo 7

P


Un faro se encuentra en una isleta a 3 km del punto mas cercano, P, de una costa recta y su linterna gira a 4 rpm. ¿Con qué velocidad el haz luminoso barre la costa cuando pasa por un punto a 1 km de P?

Ejemplo 7

P


Un faro se encuentra en una isleta a 3 km del punto mas cercano, P, de una costa recta y su linterna gira a 4 rpm. ¿Con qué velocidad el haz luminoso barre la costa cuando pasa por un punto a 1 km de P?

Ejemplo 7

P


Un faro se encuentra en una isleta a 3 km del punto mas cercano, P, de una costa recta y su linterna gira a 4 rpm. ¿Con qué velocidad el haz luminoso barre la costa cuando pasa por un punto a 1 km de P?

Ejemplo 7

P


Un faro se encuentra en una isleta a 3 km del punto mas cercano, P, de una costa recta y su linterna gira a 4 rpm. ¿Con qué velocidad el haz luminoso barre la costa cuando pasa por un punto a 1 km de P?

Ejemplo 7

P


Un faro se encuentra en una isleta a 3 km del punto mas cercano, P, de una costa recta y su linterna gira a 4 rpm. ¿Con qué velocidad el haz luminoso barre la costa cuando pasa por un punto a 1 km de P?

Ejemplo 7

P


NE

E

Dos personas parten del mismo punto. Una camina hacia el este a 3 mi/h y la otra hacia el noreste a 2 mi/h. ¿Con qué velocidad cambia la distancia entre ellas después de 15 minutos?

Ejemplo 8


Dos personas parten del mismo punto. Una camina hacia el este a 3 mi/h y la otra hacia el noreste a 2 mi/h. ¿Con qué velocidad cambia la distancia entre ellas después de 15 minutos?

Ejemplo 8

NE

E


Bibliografía

“Cálculo de una variable”

Cuarta edición

James Stewart

Sección 3.10

Ejercicios 3.10 pág 257:

2, 3, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 15, 17, 18, 20, 21, 24, 26,29, 31, 32,

33.


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