Le nombre au cycle 3 Apprentissages numériques Ministère Education Nationale –septembre 2012

1. Le nombre au cycle 3 Apprentissages numériques Ministère Education Nationale –septembre 2012 Résumé de la partie « les décimaux et les fractions » (p75 à p114)

2. Historique(p75) Les nombres décimaux et les fractions apparaissent dans les programmes de l’école primaire en 1882. Ils sont introduits pour répondre à des besoin de mesure pour des apprentissages concrets. Les nombres entiers ne pouvant pas y répondre suffisamment.

3. Trois questions essentielles pour l’enseignement de ces nombres, au cœur des apprentissages mathématiques des programmes CE2/CM1/CM2 aujourd’hui, ressortent de cette rapide recherche (p76) 1- Comment enseigner fractions et nombres décimaux à l’école ? 2- Que doivent exactement savoir les élèves à la sortie de l’école primaire ? 3- Quelle(s) liaison(s) avec l’enseignement au collège ?

4. Il faut proposer aux élèves des activités qui leur permettent de prendre conscience que : -les nombres décimaux et plus généralement les fractions, permettent de résoudre de nouveaux problèmes. -l’ensemble des nombres décimaux est un sous-ensemble de celui des fractions, l’ensemble des fractions décimales qui sont alors écrites sous une autre forme ( =0,7 Ces activités qui permettent d’introduire et de donner du sens aux fractions et aux décimaux permettent d’exprimer le résultat d’une mesure, graduer plus finement une droite graduée, résoudre des problèmes de partage… 7 10

5. Quelles sont les représentations des élèves qui expliquent certaines difficultés?(P 77-78) 1- Certains raisonnements et certaines procédures correctes avec les nombres entiers peuvent ne plus l’être avec les nombres décimaux et les fractions.(comparaison des décimaux par exemple). 2-Envisager les fractions supérieures à 1 et considérer les fractions comme des nombres se heurtent à des conceptions premières (fraction = partage d’une unité en lien avec la vie courante:parts de gâteau, mélanges…)

6. 3- De nombreuses erreurs de comparaison ou de calcul sont basées sur une représentation d’un nombre décimal comme un couple de nombres entiers séparés par un signe (exemple un prix de 7,89 € est le plus souvent énoncé « sept euros quatre-vingt-neuf ». 4- Le nombre qui a le plus de chiffres est le plus grand. Ce qui est vrai pour les nombres entiers ne l’est plus pour les nombres décimaux.

7. Quelles sont les notions indispensables à maîtriser avant d’aborder les fractions ?(p79) 1- Au CE1: restituer et utiliser les tables de 2 à 5. diviser par 2 ou 5. 2-Au CE2: -comprendre qu’une même quantité peut s’exprimer de manières différentes -connaître et utiliser certaines relations entre des nombres d’usage courant:entre 5,10, 25, 50, 100 entre 15, 30, 60

8. -connaître, savoir, écrire et nommer les nombres entiers jusqu’au million en CE2 succède aux attendus de fin de CE1. La compréhension et la maîtrise de la valeur relative du chiffre, du nombre sont à conforter sur les nombres entiers avant d’aborder les nombres décimaux.

9. Des outils pratiques: -une juxtaposition de droites graduées enrichit la compréhension des nombres grâce à des écritures différentes désignant un même nombre. -des jeux numériques (lotos, bataille, mémory…)peuvent faciliter cet entraînement. -les droites et les demi-droites permettent de visualiser les problèmes d’ordre et d’intercalation. -la maison des nombres permet de mettre en évidence différentes écritures d’un même nombre (écrits de référence dans un cahier des nombres ou affichage collectif pour la classe.

10. 6 5 + 1 10 – 4 2 x 3 … ½ c’est la moitié de 1 0,5 0,500 ¼ + ¼ 2/4

11. Comment introduire les fractions à l’école ?(p 82) L’enseignant doit réfléchir à mettre en place des situations de référence concrètes: Exemples: 1- Mesurer des bandes de papier à partir d’une bande U: (voir vidéo 1: site TFM) 2- Mesurer des aires: situation de partage: carré de 100 petits carrés. Partage de tartelettes en parties égales dès le CM1

12. 3- Le guide-âne :partageur de segments en parties égales (voir vidéo 2 site TFM) 4- Le tangram:donne du sens à manipuler des fractions (représentation mentale).Transposition avec fractionnary. 5- Mesurer un segment de longueur S avec un segment unité de longueur U. Il s’agit d’effectuer un codage de mesures à partir d’un étalon qui est l’unité de mesure (voit vidéo 3 site TFM) (p 93)

13. Comment aborder les décimaux avec les élèves?(p 99) Principaux obstacles: 1- une oralisation abusive. Très souvent l’oralisation courante tend à faire percevoir le nombre décimal comme une juxtaposition de deux nombres entiers. La façon de dire le nombre ne rend pas compte de la valeur de la partie décimale et provoque des erreurs: Des erreurs de calcul: comment comprendre que « un virgule quatre-vingt-dix-neuf » plus « zéro virgule un » ne font pas « un virgule cent »? Erreur de classement:comme 103 > 11 > 9, certains élèves induisent 0,103 > 0,11 > 0,9.

14. Il faudrait donc oraliser les écritures décimales pour réduire ces erreurs. 2,54 sera lu « deux et cinq dixièmes et quatre centièmes ou 2 unités et 5 dixièmes, 4 centièmes. 2- Entre deux nombres décimaux, il y a toujours la possibilité d’en placer un troisième: l’intercalation est toujours possible.

15. 3- Certains critères de comparaison valables pour les nombres entiers ne sont pas valables pour les décimaux. La comparaison de deux nombres décimaux fait en général intervenir des stratégies différentes pour les parties entières et décimales.(p 100) 2,54 - 3,7 3,54 - 3,7 Stratégie n°1: On compare la partie entière, ce qui implique avoir compris la fonction de la virgule.

16. Stratégie n°2: On passe par l’écriture sous forme de fraction décimale (transformation des écritures à virgule). Stratégie n°3: On ramène à la comparaison menée grâce au positionnement relatif par rapport à un nombre entier 2,54 est inférieur à 3 et 3,7 est supérieur à 3.

17. Exemples d’activités que l’on peut mettre en place dès le CM1 pour passer de l’écriture fractionnaire à l’écriture à virgule et réciproquement.(p103) 1- utilisation de la calculatrice: a/b est vu comme a divisé par b. 2- Décomposition canonique,utilisation du tableau numérique. Les décompositions additives usuelles des nombres décimaux (somme de fractions décimales ou somme d’une partie entière et d’une partie décimale éventuellement décomposée) sont à systématiser.

18. 3- Placer, ranger sur une droite graduée, encadrer les décimaux entre deux entiers consécutifs. La compétence sur le rangement est liée à la compréhensions de la signification des chiffres dans l’écriture des nombres décimaux. Son acquisition marque une étape importante qu’il est nécessaire que chaque élève franchisse. Réactiver sur les entiers les notions de nombre et de chiffre, en s’appuyant sur le tableau de numération des nombres entiers, par exemple, constitue une aide préventive pour certains élèves.

19. Des temps d’aide personnalisée avant d’aborder les nombres décimaux sont indispensables pour les élèves dont les compétences sur les nombres entiers ne sont pas encore très solides.

20. Quelles sont les impératifs dans la perspective du collège? Certaines procédures doivent être automatisées par les élèves du point de vue de l’interprétation des écritures fractionnaires ou décimales et de leur oralisation; de la comparaison des nombres entre eux; des calculs sur ces nombres. Ces automatismes visent à libérer l’esprit des élèves. Ils aident à une disponibilité cognitive en vue de la réflexion sur la situation proposée et ses enjeux, l’exécution des tâches « techniques » n’étant plus ni coûteuse ni hasardeuse.