Chapter 3 Wave Properties of Particles

1. Concepts of modern Physics Chapter 3 Wave Properties of Particles

2. 3. WAVE PROPERTIES OF PARTICLES 주사 전자 현미경(scanning electron microscope)에서는, 시편을 주사하는 전자 빔이 표면의 각도에 따라 그 개수를 달리하는 몇 개의 제2차 전자를 튀어나오게 한다. 적당한 데이터의 표시로서 시편의 3차원 모습을 얻게 한다. 풀잎 위에 있는 붉은 거미 진드기의 고 해상의 상은 움직이는 전자의 파동성의 결과이다.

3. 3. WAVE PROPERTIES OF PARTICLES 3.1 DE BROGILE WAVES - 움직이는 물체는 경우에 따라 파동성을 띤 것처럼 행동한다 3.2 WAVES OF WHAT - 확률파 3.3 DESCRIBING A WAVE - 일반적인 파동 방정식 3.4 PHASE AND GROUP VELOCITIES - 파군의 속도는 파군을 이루는 개개 파의 속도와 같을 필요는 없다 3.5 PARTICLE DIFFRACTION - DE BROGLIE 파의 존재를 확인하는 실험 3.6 PARTICLE IN A BOX - 왜 갇힌 입자의 에너지는 양자화 되는가 3.7 UNCERTAINLY PRINCIPLE 1 - 우리는 현재 모르기에 미래도 알 수 없다 3.8 UNCERTAINLY PRINCIPLE 2 - 입자적인 접근 방법도 같은 결과를 준다 3.9 APPLYING THE UNCERTAINTY PRINCIPLE - 부정적인 말이 아니라 유용한 도구이다

4. 3. WAVE PROPERTIES OF PARTICLES 1905년 : discovery of the particle properties of waves (Einstein) 1924년 : particles might show wave behavior de Broglie는 1924년 움직이는 입자는 입자로서의 성질과 파동의 성질도 가진다고 제안 → soon received respectful attention → experimentally demonstrated by 1927 (Duality Principle), → 이들 이중성 원리는 이미 Schrodinger가 그 전해에 양자 역학을 성공적으로 개발하는데 출발점이 됨 ..

5. 3. 1 DE BROGLIE WAVES 움직이는 물체는 경우에 따라 파동성을 띤 것처럼 행동한다 진동수 v 인 광자의 운동량 photon wavelength : → completely general one that applies to material particles as well as photons momentum of a particle of mass m and velocity v → p = mv de Broglie wavelength : m : relativistic mass em wave와 마찬가지로 운동하는 물체의 파동성과 입자성은 동시에 관찰 불가능 → 그러므로 어느쪽이 정확한 기술인가 하는 질문은 무의미하고, moving body가 어떤 경우에는 wave 같고 어떤 경우 particle 같다고 말할 수 밖에 없음

6. 3. 2 WAVES OF WHAT? 확률파 in water wave → 주기적으로 변하는 것은 수면의 높이이고, in sound wave → 주기적으로 변하는 것은 압력이고, in light wave → 주기적으로 변하는 것은 electric & magnetic field임 then, What is that varies in the case of “Matter Wave”? matter wave의 경우 변하는 양을 wave function (Ψ) 라 함 Ψ : has no direct physical significance & can not be interpreted in terms of an experiment P (probability) : 어떤시간, 어떤장소에서 어떤 물체가 발견될 확률은 0과 1사이의 임의의 값을 가질 수 있음 0 : the object is definitely not there 1 : the object is definitely there 중간값 0.2 means that there is a 20% chance of finding the object -0.2 value is meaningless

7. 3. 2 WAVES OF WHAT? IΨI2 : probability density “ the probability of experimentally finding the body described by the wave function Ψ at the point x, y, z, at the time t is proportional to the value of IΨI2 there at t. a large value of IΨI2 : 물체가 존재할 확률이 높다는 의미 a small value of IΨI2 : 물체가 존재할 확률이 낮다는 의미 → this interpretation was made by Max Born in 1926 - there is big difference btw. the probability event & the event itself 우리가 particle이 공간에서 퍼지는 것은 Ψ로 표현할 수 있지만 particle 자체가 퍼진다는 것은 아님 즉 전자(particle)는 하나가 어떤 시각과 위치에서 발견되거나 안되거나 하며 전자의 20%라는 것은 존재하지 않음 (but 전자가 발견될 확률이 20%라는 것은 가능 → 이것이 IΨI2 가 나타내는 가능성임) - X-RAY diffraction의 pioneer 인 Bragg 는 다음과 같이 기술 : Everything in the future is a wave, everything in the past is a particle

8. 3. 3 DESCRIBING A WAVE 일반적인 파동 방정식 - How fast do de Broglie wave travel? → we expect that this wave has the same velocity as that of the body if de Broglie wave velocity vp라고 가정하면 to find vp , de Broglie wave length λ = h / mv to find v (frequency), E=hv E=mc2 de Broglie wave velocity : v는 c보다 항상 적으므로 vp는 빛의 속도보다 빠르다? → unexpected result 이런 예기치 못한 결과를 이해하기 위해 phase velocity 와 group velocity의 차이를 구별해야 한다 ( phase velocity 는 지금까지 wave velocity라 부르던 것임)

9. 3. 3 DESCRIBING A WAVE Describe waves mathematically - fig.3-1처럼 x축 방향으로 당겨진 줄을 생각하면 그 진동은 y축 방향이면 단조화 운동. - x=0에서 y변위의 최대값을 t=0로 선택하면 동일 장소에서 임의의 시간 t 에서의 줄의 변위는? → 변위를 시각의 함수로 나타낸 것 A : 진폭 , v : 진동수 그림 3.1 (a) 어떤 특정한 순간의 잡아당겨진 줄에서의 파동의 모양. (b) 줄 위 한 점에서의 변위가 시간에 따라 변하는 모양. • 임의의 시각과 임의의 위치에서의 y 값은? • t=0 일때 x=0에서 줄을 흔들어 파동이 + x 방향으로 진행한다고 생각(속력=vp) • 시간 t 동안 x=vpt 만큼 거리를 진행, • ∴ x=0에서 point x에 도달하기 위한 시간 간격은 t=x/vp • 식 3.4 의 t를 t-x/vp로 대치 하면 • wave formula 그림 3.2 파동의 진행

10. 3. 3 DESCRIBING A WAVE eq.(3.5)의 reduces to eq. (3.4) at x=0 eq.(3.5) may be rewritten vp is given by vp = vλ wave formula : 파동에 대해 가장 널리 이용되는 기술 방법은 eq.(3.5) 의 또 다른 형태임 “angular frequency : ω” & “wave number :k” eq.(3.5) becomes

11. 3. 4 PHASE AND GROUP VELOCITIES 파군의 속도는 파군을 이루는 개개 파의 속도와 같을 필요가 없다. de Broglie 파의 Amplitude는 특정한 시각과 위치에서 moving body의 확률과 관련 있다. but eq.(3.9)와 같이de Broglie 파를 간단히 표현할 수 없다. (∵ eq.(3.9)는 동일한 진폭 A를 갖는 파동들의 무한한 행렬이기 때문) 운동중인 물체에 대한 파동적인 표현은 fig. 3.3과 같은 파속 (wave packet)이나 파군(wave group)에 해당할 것임 이 파군의 진폭이 그 물체를 발견할 확률이다. 그림 3.3 파군 wave group이 형성되는 예 중 흔한 것이 beats (맥놀이) 임 같은 amplitude 와 약간 다른 frequency 를 갖는 2 sound waves 가 생성되면 우리는 frequency 평균값과 주기적으로 amplitude가 ↑↓하는 것을 듣게 된다. (진동수가 440과 442인 두파는 중첩하여 진동수가 441인 2개의 peak를 형성) production of beats → 그림 3.4 맥놀이는 다른 진동수를 가진 두 파동의 중첩에 의해 발생한다.

12. 3. 4 PHASE AND GROUP VELOCITIES wave group을 수학적으로 설명하는 방법 : 파장이 다른 여러 개의 파장을 중첩하는 것임 파동은 서로 간섭하여 group shape를 결정하는 것이 amplitude의 변화를 발생시킴 만약 모든 파동의 velocity 가 같다면 wave group의 속도와 phase velocity 와 같음. 만약 phase velocity 가 wavelength 에 따라 다르다면 wave group 의 속도와 phase velocity 의 속도가 다를 것이며 이것을 분산(dispersion) 이라고 부름 → 이것이 de Broglie wave 이다 to find a group velocity (vg) wave group arises from the combination of 2 waves (진폭 A는 같고 각 진동수가 Δω만큼, 파수가 Δk만큼 다른 파를 생각하자) original waves by the formulas 임의의 시간 t 일때 임의의 위치 x 에서의 합성변위 y는

13. 3. 4 PHASE AND GROUP VELOCITIES Δω와 Δk 는 작으므로 2ω+Δω ≒2ω , 2k+Δk≒ 2k 에 근사되고 beats : → 각진동수 1/2Δω, 파수 1/2Δk로 변조된 각진동수 ω, 파수 k인 파동식 이 같은 modulation 효과는 연속적인 wave group (fig. 3.4)를 형성시킴 위상속도 (vp) 군속도 (vg) ω와 k가 두 값(y1, y2)를 갖는 대신 연속적인 수 많은 값을 가지면 군속도 (vg) vg (군소도)는 vp( 위상속도) 보다 클 수도 있고 작을 수도 있다 만약 빛처럼 모든 파장에서 vp (위상속도)가 같다면 군속도와 위상속도는 같다( vp = vg)

14. 3. 4 PHASE AND GROUP VELOCITIES 속도 v, rest mass m0인 moving body의 ω와 k는 Angular frequency of de Brolgie waves Wave number of de Broglie waves group velocity vg of the de Broglie waves associated with body de Broglie group velocity → the de Broglie wave group associated with a moving body travels with the same velocity as the body

15. 3. 4 PHASE AND GROUP VELOCITIES de Broglie phase velocity v < c 이기 때문에 vp는 velocity of body (v) 와 c보다 크다 but motion of body 에 대응되는 것은 individual wave motion 이 아니라 wave group의 motion이기 때문에 vp는 물리적 의미가 없음 ∴ vg < c ( de Broglie 파에서의 vp > c는 special relativity에 위배되는 것이 아님)

16. 3. 5 PARTICLE DIFFRACTION de Broglie 파의 존재를 확인하는 실험 Newton 역학을 따르는 particle 의 행동에서 찾아볼 수 없는 파동성의 명확한 증거 : Diffraction electron beams are diffracted when they are scattered by the regular atomic arrays of crystals Davisson and Germer : studied the scattering of electrons from a solid 고전물리학에 의하면 scattering electrons 은 산란각에 어느 정도 의존하고 입사 전자의 에너지에 거의 무관하게 의존하면서 모든 방향으로 방출 → 이 이론을 D & G 가 증명 by using a block of Ni. 실험 도중 실험 장치 안으로 산소가 유입되어 Ni 표면을 산화시켰음(by accident) → to reduce oxide to pure Ni, target was baked in hot oven → target was returned to the apparatus & the measurement resumed → results are very different → 산란각에 따라 연속적으로 변하는 것이 아니라 max. 과 min.를 갖는 산란된 전 자의 세기가 관찰 됨 → see fig. 3.7 그림 3.6 Davisson-Germer 실험

17. 3. 5 PARTICLE DIFFRACTION 그림 3.7 Davisson-Germer 실험의 결과. 산란된 전자의 개수가 입사빔과 결정표면 사이의 각도에 따라서 어떻게 변하는가를 보여 주고 있다. 결정 내에서의 원자들의 면과 결정 표면과는 나란하지 않다. 한 Bragg 평면 군에 대한 입사각과 산란각은 둘 모두 65이었다(그림 3.8을 보라) 위 그림은 각각의 각도에서 세기가 산란될 위치로부터 각각의 각도에서 곡선까지의 거리에 비례하도록 작성되었음. 만약 세기가 모든 각에서 같다면 곡선은 산란점을 중심으로 원이 될 것임 2 questions? what is the reason for this new effect? why did it not occur until after the Ni target was baked? de Broglie의 가설에 의하면 x-ray가 원자 평면에서 회절되는 것과 비슷하게 electron wave가 target 에 의한 산란되는 것이다 고온에서 Ni 조각이 가열되면 미소한 결정체들이 큰 결정으로 성장됨 → 산란 가능성

18. 3. 5 PARTICLE DIFFRACTION 54eV의 전자 beam을 Ni target에 수직으로 입사시키면 전자분포의 max. 값이 전자선과 50°의 각도에서 나타난다 fig. 3.8의 Bragg plane에 대한 입사각은 65˚ x-ray 회절 실험에 측정에 의하면 평면간의 spacing =0.091nm Bragg eq. for max in the diffraction pattern 은 d=0.091nm, Θ=65˚, n=1 일때의 de Broglie 파장은 de Broglie 공식을 이용하여 전자의 파장 (λ)를 계산 그림 3.8 표적에 의한 de Broglie 파의 회절이 Davisson- Germer 실험 결과가 있게 하는 원인이다. 이므로 운동량 mv는 (e의 KE=54eV → 상대론적 효과 무시 ∵ m0C2 = 0.51MeV이므로) → 즉 상대적으로 계산할 필요 없음 e의 wave length : → direct verification of de Broglie`s hypothesis of the wave nature of moving bodies

19. 3. 5 PARTICLE DIFFRACTION An electron microscope

20. 3. 5 PARTICLE DIFFRACTION 그림 3.5 전자현미경에서의 빠른 전자의 파장이 광학현미경에서의 빛의 파장보다 짧으므로, 전자현미경은 고 배율에서도 날카로운 상을 만들 수 있다. 전자 현미경에서의 전자빔은 자기장으로 집속시킨다. 이 전자 현미경 사진은 Escherichia coli 박테리아에 있는 세균분해 바이러스(bacteriophage virus)를 보여 주고 있다. 박테리아의 크기는 약1 `mu m`이다.

21. 3. 5 PARTICLE DIFFRACTION 석영(quartz)에 의한 중성자 산란. 신호의 봉우리들은 보강간섭이 일어나는 방향을 나타낸다. 전자만 파동성을 나타내는 입자가 아니고 중성자도 위와 같이 회절을 하여 파동성을 보여준다.

22. 3. 6 PARTICLE IN A BOX 왜 갇힌 입자의 에너지는 양자화 되는가? the wave nature of a moving particle leads to some remarkable consequences when the particle is restricted to a certain region of space in stead of being able to move freely. simple case : fig. 3.9처럼 a particle that bounces back & forth btw. the walls walls of the box are infinitely hard → so the particle does not lose E and its velocity is small (∴ relativistic consideration은 필요 없음) 파동적 관점에서 보면 상자 안에 갇혀진 입자는 마치 상자 벽에 고정되어 팽팽히 당겨진 줄에 형성된 standing wave (정상파)와 같다 → wave variable must be 0 at the wall (∵파가 벽에서 정지하기 때문) fig. 3.10에서 처럼 입자의 가능한 de Broglie 파장은 상자의 길이 L에서 결정됨 가장 긴 파장은 λ=2L, L, 2/3L… de Broglie wave length of trapped particle 그림 3.9너비 L인 상자 안에 갇힌 입자. 입자는 상자 벽 사이에서 직선을 따라 좌우로만 움직인다고 가정한다. 운동량과 파장의 관계식에 의해 momentum (mv) 를 갖는 particle의 KE는 그림 3.10너비 L인 상자 안에 갇힌 입자의 파동함수들

23. 3. 6 PARTICLE IN A BOX permitted wavelength are (이 모델에서는 입자의 potential E가 없으므로 ) Particle in a Box each permitted energy is called and “Energy Level”, “n” that specifies an energy level En is called its “Quantum number” 3 general conclusions from eq. 3.18 1. A trapped particle can not have an arbitrary E as a free particle can. 입자의 구속은 파동함수를 제한하고 이 제한은 입자가 어떤 특정한 에너지만 갖게 된다. 2. A trapped particle can not have zero E. λ=h/mv 에서 v=0 이면 λ = ∞ 무한대의 파장은 λ=2L/n 에서 L = ∞ 이므로 구속되어 있다는 것과 모순이 생김 따라서 이런 모순을 피하기 위해 입자의 운동 에너지는 0이 아니다 (E가 불연속이고 E=0가 제외된다는 사실은 고전 물리학에서 설명 불가능 고전물리에서의 에너지는 0을 포함한 음이 아닌 모든 값이 허용됨) 3. Plank 상수 (h=6.63×10-34 Js) 가 너무 작아 에너지의 양자화는 m 과 L이 작은 경우에만 뚜렷이 나타난다

24. 3. 7 UNCERTAINTY PRINCIPLE 1 우리는 현재를 모르기 때문에 미래도 알 수 없다. fundamental limits to accuracy with which we can measure such “particle” properties as position and momentum. wave group에 대응되는 particle은 주어진 시간에 group 내의 어딘가 존재하게 될 것임 → 중간에서 probability density IΨI2가 가장 클 것이고 발견 확률도 가장 클 것임. but IΨI2 가 0이 아닌 어느 위치에서도 입자를 발견할 수는 있다 fig. 3.12 a : wave group이 작을수록 particle의 위치는 정확해 지지만 그것의 wavelength는 부정확해진다 (∵ not enough waves to measure λ accurately) → 이것은 λ=h/gmv 이므로 입자의 운동량(gmv) 이 정확한 것이 아니라는 것을 의미 (운동량은 넓은 범위의 값을 갖는다) fig. 3. 12 b : wide wave group → λ는 정확히 정해지지만 particle의 위치는 그만큼 부정확해짐 그림 3.12 (a) 좁은 de Broglie 파군. 입자의 위치는 정확히 결정될 수 있지만 파장, 즉 운동량은 그렇지 못하다. 왜냐하면, 파장을 측정할 만한 충분한 파가 없기 때문이다. (b) 넓은 파군. 파장은 정확히 측정할 수 있지만 위치는 그렇지 못하다. the uncertainty principle : 한 물체에 대해서 위치와 운동량을 동시에 정확하게 아는 것은 불가능하다! → discovered by Werner Heisenberg in 1927 운동하는 입자를 wave group으로 가정 하는 것이 위치와 운동량 같은 “입자적 성질”을 측정하는데 한계가 있음

25. 3. 7 UNCERTAINTY PRINCIPLE 1 the uncertainty principle : 한 물체에 대해서 위치와 운동량을 동시에 정확하게 아는 것은 불가능하다! → discovered by Werner Heisenberg in 1927 운동하는 입자를 wave group으로 가정하는 것이 위치와 운동량 같은 “입자적 성질”을 측정하는데 한계가 있음 그림 3.13 고립된 파군은 다른 파장을 가진 무한개 파동들의 중첩의 결과이다. 파군이 좁으면 좁을수록 관계하는 파장 영역은 넓어진다. 좁은 de Broglie 파군에서는 입자의 위치는 잘 정의되지만(Δx가 적음) 파장은 잘 정의되지 않는다. 따라서, 좁은 파군이 나타내는 입자의 운동량 Δp에는 많은 불확정성이 포함되어 있음을 의미한다. 넓은 파군은 정확한 운동량을 그러나 정밀하지 않은 위치를 의미한다. a(하나의) moving body는 a(하나의) single wave group에 대응되지만 이것 또한 trains of harmonic wave (조화파) 의 중첩으로 생각할 수 있음. 그러나 fig. 3.13.과 같이 임의의 모양의 wave group을 형성하기 위해서는 서로 다른 진동수, 파수, 진폭을 가진 무한개의 파동이 필요함 At a certain time, the wave group Ψ(x) can be represented by Fourier integral g(k) : k에 의존하는 진폭

26. 3. 7 UNCERTAINTY PRINCIPLE 1 그림 3.14 파동함수와 Fourier 변환. (a) 펄스, (b) 파군, (c) 파열(wave train), (d) Gauss 분포. 짧은 시간동안의 교란을 나타내기 위해서는 긴 시간동안의 교란을 나타내는 것 보다 더 넓은 영역의 진동수가 필요하다. Gauss 함수의 Fourier 변환 역시 Gauss 함수이다. fig. 3.14와 같이 파군이 짧을 수록 그 파군을 기술하는데 필요한 파수의 범위는 더 넓어진다. - Δx 와 Δk 사이의 관계는 wave group의 shape와 how Δx & Δk are defined 에 의존함 - Δx 와 Δk 와의 곱이 최소가 되는 것은 Gaussian function인 경우임 (3.14 d) - Δx 와 Δk 가 함수 Ψ(x) 와 g(k)의 표준 편차로 선택되면 그때 최소값은 Δx · Δk =1/2이나, wave group이 Gaussian form을 갖지 않으므로 , eq. 3.20과 같이 표현하는 것이 현실적임 de Broglie wavelength of a particle of P is λ= h/p & corresponding k is the potential momentum

27. 3. 7 UNCERTAINTY PRINCIPLE 1 uncertainty of Δk of particles results in uncertainty of Δp ΔxΔk ≥ ½ 이므로 , Δk ≥ 1/(2Δx) 이고 uncertainty principle if Δx is small → narrow wave group → Δp will be large if Δp is reduced → broad wave group → Δx will be large These uncertainties are due not to inadequate apparatus but to the imprecise character in nature of the quantities involved. We cannot know exactly both where a particle is right now and what it is, we cannot say anything definite about where it will be in the future or how fast it will be moving then. H-bar h/2π → basic unit of angular momentum (관습적으로 ђ (“h-bar)로 축약해서 나타냄) uncertainty principle

28. 3. 8 UNCERTAINTY PRINCIPLE 2 입자적인 접근 방법도 같은 결과를 준다. The uncertainty principle은 입자의 파동성 (wave properties of particles) 관점에서 뿐만 아니라 파동의 입자성(particle properties of waves) 관점으로 부터 얻을 수 있다 어떤 순간에 어느 object 의 position 과 momentum을 측정하려 할 때 , → 관측 대상인 물체에 어떤 것을 접촉시키고 그 다음 그 어떤 것이 필요한 정보를 가지고 관측자인 우리에게 도달하 도록 만든다. (측정 대상인 물체에 빛을 쐬거나, 막대로 찔러보거나 비슷한 방법으로 작용을 가함) → 이때 간섭과정을 상세히 분석하면 운동중인 물체의 파동성을 고려하지 않고도 “입자성” 으로만 uncertainty principle을 얻을 수 있다 그림 3.17운동량을 변화시키지 않고는 전자를 관측할 수 없다.

29. 3. 8 UNCERTAINTY PRINCIPLE 2 fig. 3.16 에서 처럼 파장 λ인 빛을 사용하여 전자를 관찰 운동량 p (=h/λ)를 갖는 광자가 전자와 충돌 후 되 튀겨 나올 때 전자의 초기 운동량 변화. → Δp의 정확한 값은 예측 불가능하지만 Δp의 대략적인 크기는 h /λ 와 같을 것 이다. longer λ → smaller the uncertainty in the electron`s momentum ( λ 길어지면 Δp는 감소) 빛은 입자성과 파동성을 가지므로 전자의 위치를 정확히 측정 불가능 그러나, 측정의 최소의 불확실성의 합리적인 estimation은 photon의 one wavelength로 생각할 수 있다. (파장이 작아지면 위치의 부정확성도 작아짐) → 위치의 정확도를 높이기 위해 짧은 파장을 사용하면 동시에 운동량의 정확도 감소 eq. 3.23 과 3.24를 합하여 eq. 3.22 Δx·Δp ≥ ђ / 2 와 거의 일치

30. 3. 9 APPLYING THE UNCERTAINTY PRINCIPLE negative한 말이 아니라, 유용한 tool이다 h is so small, uncertainty principle is significant only “atom” realm Energy and Time - Another from of the uncertainty principle concerns energy & time. - wish to measure the energy E emitted during the time interval Δt in an atomic process. 만약 E가 em wave 라면 관측자가 측정할 수 있는 시간의 제약 때문에 진동수 측정의 정확도가 제한을 받는다. 파동의 진동수의 개수를 셀 때 개수의 부정확도를 최소수 1개라고 하면 파동의 수는 시간간격(Δt)로 나눈 값이므로 Energy 불확정성은 보다 정밀한 값은 다음과 같다. → 에너지와 시간의 불확정성