Tregða og þrívíð hreyfing

Tregða og þrívíð hreyfing Eðlisfræði 1 V og R Þorsteinn Vilhjálmsson

4. Tregða og þrívíð hreyfing: Yfirlit • Fyrsta lögmál Newtons • Þrívíð hreyfing (ekki bara tvívíð): • Staðarvigur, hraði, hröðun; dæmi • Jöfn hröðun, hreyfing kasthlutar • Jöfn (og ójöfn) hringhreyfing • Viðmiðunarkerfi, tregðukerfi, afstæður hraði, jöfnur Galíleós

Fyrsta lögmál Newtons • (Fkv. 18, Benson 56-57) • Hlutur sem enginn kraftur verkar á er annaðhvort kyrrstæður eða hreyfist með jöfnum hraða eftir beinni línu • Tregðuhugtak: Tilhneigingin til að halda óbreyttri hreyfingu • Hraðavigurinn v = v(t) = fasti • Hröðunarvigurinn a = 0 • Dæmi: Ísknattleikspökkur • Sjá svar á Vísindavefnum.

Þrívíð hreyfing: Staðarvigur • (B. 57, F. 13-14) r = r(t) = x(t)i + y(t)j +z(t)k • staðarvigur, position vector = (x(t), y(t), z(t)) • annar ritháttur Dr = r2– r1 = Dx i + Dy j +Dz k • færsla, displacement y Dr r1 r2 x z

Þrívíð hreyfing: Hraði • vm = Dr/Dt • meðalhraði • v = dr/dt = • vxi + vyj + vz k • hraðavigur • þar semvx = dx/dt o.s.frv • þættir hraðans • v = |v| = Ö(vx2+ vy2+ vz2) • ferð, stærð hraðans y Dr vm v x z

Þrívíð hreyfing: Hröðun a = dv/dt = axi + ayj + az k • hröðunarvigur • Athugið vel að hröðun getur verið fyrir hendi þó að stærð hraðans, ferðin (speed), sé ekki að breytast! • Takið líka eftir samhengi hröðunar og krappa ef ferðin er hin sama • a = v2/r, sjá síðar y x z

Þrívíð hreyfing: Dæmi • r = (x, y, z) = r(t) og öll hnit breytast • Fótbolti, borðtenniskúla • Frisbee-diskur, búmerang, fugl • Áður en við grípum, “diffrum” við!? • En sumir hlutir hreyfast í rauninni aðeins í 2 víddum: r = (x, y) • Kasthlutur, hringhreyfing, bíll á sléttu

Þrívíð hreyfing með jafnri hröðun • (Benson 58, Fkv. 13-14) • a = dv/dt = fasti • v = v0 + at • x = x0 + v0 t + at2/2 = x0 + (v0 + v)t/2 • v2 = v02 + 2a.(x – x0) (tengist orkuvarðveislu) • Lóðrétt fallhreyfing: • a = g = - g k eða - g j eftir vali á hnitakerfi

Dæmi: Kasthlutur • x = v0xt = v0 cosq t • vy = v0y – gt = v0sinq – gt • y = y0 + v0yt – gt2/2 • vy2= v0y2 – 2g(y – y0) • Hæst þegar vy = 0, ymax = v0y2/2g • Kastlengd R = v02sin 2q • q og 90° - q gefa sömu kastlengd

Tvívítt fall: Kúlur með láréttum upphafshraða

Jöfn hringhreyfing • (F. 15-16, B. 62-64) • Fylgikverið best! • Staðarvigurinn er r = r(t) = r (cosq, sinq)= r (coswt, sinwt) • Hraðinn fæst með diffrun, bæði vigurinn sjálfur og stærð hans v = dr/dt, v = wr • Síðan fáum við hröðunina: a = dv/dt = - w2 r, a = w2 r = v2/r • Sjá einnig næstu glæru

Mynd: Breyting hraðans í hringhreyfingu Athugið að þessi mynd og þessi hugsun er í rauninni ekki eins pottþétt og hin sem er á síðustu glæru!

Dæmi um jafna hringhröðun • Hver er hámarkshraði í beygju með geisla r ef mesta hröðun er a = mg? • a = v2/r, v =Ö(mgr) • T.d.: m = 0,4; g = 10 ms-2;r = 20m • v = Ö(80) m/s = 9 m/s = 32 km/h • Sem sagt ekki mikill hraði! • m mundi vera núningsstuðullinn; dæmið kennir okkur gætni í hálku!

Dæmi: Hröðun ef ferð er föst Ferðin v = |v| = Ö(v2) Ö(v.v) = fasti. Hvað er hægt að segja um hröðunina? • v2 = fasti, d(v2)/dt = 0 = d(v.v)/dt = 2 v.dv/dt = 2 v.a • Hröðunin a er sem sagt hornrétt á hraðann v • Sértilvik jöfn hringhröðun, áður meðhöndlað

Afstæður hraði • Staðarvigrarnir r og r0 reiknast í mismunandi viðmiðunarkerfum og hraðavigrarnir skv. því r = r0+ r´ v = v0+ v´ • v0 t.d. hraði burðarefnis (lofts eða vatns) • v´ hraði miðað við burðarefni • v hraði t.d. miðað við jörð

Mynd: Viðmiðunarkerfin M.a. frekari skýring á síðustu glæru. Mikilvægt að skilja vel!

Hraði hlutar sem fall af tíma er bein lína sem byrjar við t = -2,5 s og v = -2,0 m/s, og endar í +2,5 s og 2,0 m/s. Hve langt hefur hluturinn færst á þessu tímabili? 10,0 m 10 m 5,0 m 5 m 0,0 m Krossaspurning um færslu

Til umhugsunar: Ferð yfir á • Maður ætlar að komast á sem skemmstum tíma þvert yfir á, frá A til B, með því að róa til C og ganga þaðan til B. Stærð róðrarhraðans er v1, straumhraðinn í ánni er v0 og stærð gönguhraðans er v2. • Túlkið tilvikin v2 = 0 og v2 = óendanlegt. • Hvernig finnum við hagstæðustu róðrarstefnuna? v1 v2 v0 B A C

Tregða og þrívíð hreyfing