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제 6 장 경우의 수. 손기락 한국외국어대학교 컴퓨터공학과. 1. 6.1 기본원리. 철수의 점심 메뉴 식전음식 2 개 , 주요리 3 개 , 음료 4 개 가능한 점심 메뉴 조합은 ? N H T , N H M , N H C , N H R , N C T , N C M , N C C , N C R , N F T , N F M , N F C , N F R , S H T , S H M , S H C , S H R ,

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제 6 장 경우의 수

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Presentation Transcript


6

제 6 장 경우의 수

손기락

한국외국어대학교 컴퓨터공학과

1


6

6.1 기본원리

  • 철수의 점심 메뉴

    • 식전음식 2 개, 주요리 3 개,

      음료 4 개

    • 가능한 점심 메뉴 조합은?

      • NHT, NHM, NHC, NHR,

      • NCT, NCM, NCC, NCR,

      • NFT, NFM, NFC, NFR,

      • SHT, SHM, SHC, SHR,

      • SCT, SCM, SCC, SCR,

      • SFT, SNM, SFC, SFR

식전음식(APPETIZERS)

Nachos ……………2.15

Salad ………………1.90

주요리(MAIN COURSES)

Hamburger …….3.25

Cheeseburger...3.65

Fish Filet ………..3.15

음료(BEVERAGES)

Tea ………………… .70

Milk ……………….. .85

Cola ………………. .75

Root Beer ……… .75


6

곱셈원리

곱셈원리(Multiplication principle)

어떤 행위가연속된 k단계로 구성되고,

  • 단계 1 는 n1가지 방법으로 이루어질 수 있고

  • 단계 2 는 n2가지 방법으로 이루어질 수 있고

  • 단계 k 는 nk 가지 방법으로 이루어질 수 있으면

    가능한 모든 경우의 수는 다음과 같다:

    n1n2…nk


Addition principle

덧셈 원리(Addition Principle)

  • 8 비트의 이진수 가운데 101 이나 111로 시작하는 것은 몇 개인가?

    • 101로 시작하는 8 비트 스트링

      • 2 2 2 2 2 = 25 = 32

    • 111로 시작하는 8 비트 스트링

      • 2 2 2 2 2 = 25 = 32

    • 101 이나 111로 시작하는 8 비트 스트링

      • 32 + 32 = 64


6

덧셈 원리

덧셈 원리(Addition principle)

X1, X2,…, Xk가 k개의 서로소인 집합이고, 각 집합은nj개의 원소를 가지고 있다고 하자, (1 <j<k), X1또는 X2,…, 또는 Xk에서 하나의 원소를 선택하는 경우의 수는 다음과 같다:

n1 + n2 + … + nk

같은 의미로 합집합 X 의 원소의 개수와 같다.

k

X = Xj

j =1


6

n개의 서로 다른 원소 x1, x2,…, xn의 순열(permutation)은 n개의 원소의 순서를 정하는 것이다.

예: a, b, c의 순열의 수는3! = 6 :

abcbaccab

acbbcacba

6.2 순열과 조합

정리 6.2.3

n 개의 원소의 순열의 수는n! 이다.


R permutations

r-permutations

  • n개의 서로 다른 원소의 r-순열는

    {x1, x2,…, xn}의 r개의 원소를 가진 부분 집합의 순서를 정하는 것이다.

  • 예:

    • X={a,b,c} 의 2-순열의 수는? 32 = 6

    • ab, ac, ba, bc, ca, cb

정리 6.2.10:

n개의 서로 다른 객체 집합의r-순열의 수는 다음과 같다:

P(n,r) = n(n-1)(n-2)…(n-r+1), rn


Combination

정리 6.2.17:

r-조합의 수는 다음과 같다

C(n,r) =  =  =  , rn

P(n,r) n(n-1)(n-2)…(n-r+1) n!

r! r! (n-r)!r!

조합(Combination)

X = {x1, x2,…, xn}라 하자

  • X의r-조합은순서에 상관없이r개의 원소를 선택하는 것이다, ( r<n )

  • r-조합의 수는 다음과 같이 표현한다:

    C(n,r) or ()

n

r


6

조합

  • 경로의 수

    • nn정방 격자의 왼쪽 아래 지점에서

    • 오른쪽 위 지점으로 이동 경로의 수는 얼마인가?

    • 단, 오른쪽이나 위쪽으로만 이동 가능

  • Solution

    • 각 경로는 n개의R과n개의U를 포함하는 스트링이다.

    • 예: n=4, RUURRURU

    • C(2n, n) 가능한 경로가 있다.


Catalan number

카탈랑 수(Catalan Number)

  • 경로의 수

    • nn정방 격자의 왼쪽 아래 지점에서

    • 오른쪽 위 지점으로 이동 경로의 수는 얼마인가?

    • 단, 오른쪽이나 위쪽으로만 이동 가능

    • 대각선을 넘는 경로는 허용하지 않는다.

(o) (x)


6

카탈랑 수

  • Solution

    • Gn + Bn = C(2n, n)

      • 좋은 경로(good route): 대각선을 넘지 않는 경로

      • 나쁜 경로(bad route): 대각선을 넘는 경로

    • Bn = (n+1)(n-1) 격자의 경로의 수. Why?

    • C(2n, n)- Bn=C(2n, n)- C(2n, n-1) =  - 

      = ( - )=   

      =  = 

(2n)!(2n)!

n!n!(n-1)!(n+1)!

(2n)! 1 1 (2n)! 1

n!(n-1)!nn+1 n!(n-1)! n(n+1)

(2n)! C(2n, n)

(n+1)n!n!n+1


6

카탈랑 수

  • Eugene-Charles Catalan (1814-1894)

  • 카탕랑 수는 (n = 0, 1, 2,…)

    Cn = C(2n,n) / (n+1)

    처음 10개의 값은 다음과 같다:


6

6.3 일반화된 순열과 조합

Example

  • Problem

    • 다음 글자들을 이용하여 얼마나 많은 문자열을 만들 수 있나?

      MIS SIS SIP PI

  • Solution

    • 11! ?

      • no. why? 중복된 문자들이 있다!

    • 주어진 문자열로 11 개의 공란을 채우는 문제: .

      C(11,2) C(9,4) C(5,4) = = = 34,650

2 Ps, 4 Ss, 4 Is and 1 M

11! 9! 5! 11!

2!9! 4!5! 4!1! 2!4!4!1!


6

증명

C(n, n1)C(n-n1, n2)C(n-n1-n2, n3) … C(n-n1-…-nt-1, nt)

= …

=

n!(n-n1)!(n-n1- …-nt-1)!

n1!(n-n1)!n2!(n-n1-n2)!nt0!

n!

n1!n2!...nt!

일반화된 순열과 조합

정리 6.3.2:

n 개의 항으로 이루어진 기호열S 가

  • n1개의 형태 1의 원소,

  • n2개의 형태 2의 원소

  • nt개의 형태 t의 원소를 가질 경우

    S의 순서를 정하는 방법의 수는:

    n!

    n1!n2!...nt!


6

일반화된 순열과 조합

Example

  • Problem

    • 3 종류의 책 (각각 최소 6권의 소장본)

      • 전산학 책, 물리학 책, 역사학 책

    • 도서관에서 이들 책을 6권 선택하는 방법의 수는?

  • Solution

    • 2개의 책꽂이를 8개의 위치에 배치하는 방법의 수 : C(8,2)

3

2

1

0

4

2

3

0

3


6

일반화된 순열과 조합

정리 6.3.5:

X가 t개의 원소를 가진 집합이라 할 때, 반복이 허용된다면, X에서 순서에 관계없이 k개의 원소를 선택하는 방법의 수는 다음과 같다.

C(k+t-1, t-1) = C(k+t-1, k)


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