MC1: A Estrutura do Universo e SU(6)

1. MC1: A Estrutura do Universo e SU(6) Prof. Dr. Paulo Laerte Natti Departamento de Matemática Universidade Estadual de Londrina Minicurso apresentado durante a XXV Semana da Matemática - Maio/2009 Colisão de Galáxias

2. MC1: A Estrutura do Universo e SU(6) Apresentação Primeira Aula Teoria dos grupos. Grupo de rotações SO(3) e grupo SU(2) Segunda Aula Modelo dos quarks e SU(3) O Universo e SU(6) Nebulosa Helix

3. MC1: A Estrutura do Universo e SU(6) Bibliografia da 1ª aula Texto: Introdução enxuta à Teoria dos Grupos: capítulo 5 Professor João C. V. Sampaio – DM/UFSCAR Em http://www.dm.ufscar.br/~sampaio/capitulo5.PDF Vídeo: Introdução à Teoria de Grupos e suas aplicações à Física: aula 6 Professor: João C. A. Barata - DFMA/IFUSP/USP Em http://video.if.usp.br/node/240

4. MC1: A Estrutura do Universo e SU(6) Bibliografia da 2ª aula MODELO DE QUARKS E SISTEMAS MULTIQUARKS Autores: Cristiane Oldoni da Silva e Paulo Laerte Natti Publicado em Revista Brasileira de Ensino de Física, v. 29, p. 175-187, 2007. Em http://www.sbfisica.org.br/rbef/pdf/060705.pdf

5. 1 – Teoria dos grupos1.1 - Introdução Grupos são usados na Matemática e nas ciências em geral para descrever uma simetria que está normalmente associada com alguma propriedade invariante do objeto estudado. A teoria de Galois, que é a origem histórica do conceito de grupo, procura descrever as simetrias das equações satisfeitas pelas soluções de uma equação polinomial. Cometa Halley

6. 1 – Teoria dos grupos1.1 - Introdução Aplicações da Teoria de Grupos Grupos abelianos estão presentes em várias estruturas, tais como anéis, corpos e módulos. Na topologia algébrica, grupos são usados para descrever os invariantes de espaços topógicos. Os grupos de Lie (em homenagem ao matemático Sophus Lie) é importante no estudo de equações diferenciais em variedades (supefície).

7. 1 – Teoria dos grupos1.1 - Introdução Aplicações da Teoria de Grupos Na Física, ela é utilizada para descrever as simetrias que as leis da Física devem obedecer. Neste minicurso, veremos como certas invariâncias (simetrias) na Físicas das partículas do Universo permitiu uma descrição da matéria em termos do Grupo SU(6). Em Química, grupos são utilizados para classificar estruturas cristalinas e a simetrias das moléculas.

8. 1 – Teoria dos grupos1.2 - Definição Definição 1: Seja A um conjunto não vazio e seja ¤ uma operação em A. A estrutura algébrica (A; ¤) é denominada um grupo se ¤ é uma operação associativa em A, se tem um elemento neutro , e cada elemento é invertível na operação ¤. Se ¤ é também uma operação comutativa em A, então dizemos que o grupo é abeliano. Exemplo: O grupo(Z; +) é um grupo abeliano, de elemento neutro 0, sendo o elemento inverso (inverso aditivo) de cada inteiro o seu oposto .

9. 1 – Teoria dos grupos1.2 - Definição Definição 2: Uma estrutura algébrica (G; ¤) é um grupo se satisfaz as seguintes propriedades: (P1) ¤ é uma operação associativa, isto é, tem-se que (x ¤ y) ¤ z = x ¤ (y ¤ z); (P2) ¤ tem elemento neutro, isto é, existe tal que x ¤ e = e ¤ x = x para cada ; (P3) cada elemento de G é invertível na operação ¤, ou seja, para cada , existe (chamado inverso de x na operação ¤), tal que x ¤ x’ = x’ ¤ x=e.

10. 1 – Teoria dos grupos1.2 - Definição Definição da ordem do grupo: Sendo (G; ¤) um grupo, dizemos que a ordem de G é igual a n, e denotamos por se G é um conjunto finito de n elementos. Exemplo: Seja o grupo de permutações de n elementos denotado por . A ordem de é

11. 1 – Teoria dos grupos1.3 – Grupo de rotação - SO(3) O grupo (Z; +) e o grupo de permutação são grupo dito discretos, pois seus elementos “variam” de forma descontínua. Considere a composição de rotações. Compondo duas rotações resulta em outra rotação; cada rotação tem uma única rotação inversa; e a função identidade satisfaz a definição de uma rotação, sendo o elemento neutro da rotação. Apropriando-se das propriedades acima, o conjunto de todas as rotações é um grupo sob a operação de composição. Explosão na coroa Solar

12. 1 – Teoria dos grupos1.3 – Grupo de rotação - SO(3) Uma rotação geral em é uma transformação linear que pode ser representada matricialmente como onde são vetores e R é uma matriz de rotação.

13. 1 – Teoria dos grupos1.3 – Grupo de rotação - SO(3) Como uma rotação geral preserva o comprimento dos vetores, então: Portanto, as matrizes de rotação têm a propriedade Matrizes com tal propriedade são chamadas Ortogonais

14. 1 – Teoria dos grupos1.3 – Grupo de rotação - SO(3) Rotação em torno do eixo z y’ y x’ x

15. 1 – Teoria dos grupos1.3 – Grupo de rotação - SO(3) Definimos as matrizes de rotações em 1- Uma rotação geral tem 3 parâmetros. 2- O grupo de rotações não é Abeliano: 3-

16. 1 – Teoria dos grupos1.3 – Grupo de rotação - SO(3) Nomenclatura do grupo de Rotações As três matrizes de rotações têm determinante +1 e formam o grupo SO(3), grupo das matrizes ortogonais especiais (determinante +1). O grupo SO(3) é um caso especial do grupo O(3) onde .

17. 1 – Teoria dos grupos1.3 – Grupo de rotação - SO(3) Geradores Infinitesimais de Rotação Analogamente: As matrizes abaixo são chamadas de geradores de SO(3)

18. 1 – Teoria dos grupos1.3 – Grupo de rotação - SO(3) Rotações Finitas No caso de rotações finitas em torno do eixo x Analogamente:

19. 1 – Teoria dos grupos1.4 – Grupo de spin - SU(2) Considere o grupo das matrizes Unitárias 2X2, com determinante +1, denotado como SU(2) Observe que os parâmetros a e b, complexos, satisfazem um vínculo  3 parâmetros livres Espaço-tempo em buraco negro

20. 1 – Teoria dos grupos1.4 – Grupo de spin - SU(2) As matrizes U transformam os spinores , vetores bidimensionais complexos, ou seja, Transformação de spinores sob SU(2): Transformação de operadores sob SU(2). Seja O um operador:

21. 1 – Teoria dos grupos1.4 – Grupo de spin - SU(2) Relação entre SO(3) e SU(2) Temos que Suponha que

22. 1 – Teoria dos grupos1.4 – Grupo de spin - SU(2) Relação entre SO(3) e SU(2) A partir de (1), calculando obtemos: Supondo que satisfaz

23. 1 – Teoria dos grupos1.4 – Grupo de spin - SU(2) Relação entre SO(3) e SU(2) Calculando, obtem-se: que uma rotação de um ângulo em torno do eixo z. Temos então a seguinte correspondência entre SU(2) e SO(3):

24. 1 – Teoria dos grupos1.4 – Grupo de spin - SU(2) Relação entre SO(3) e SU(2) Em termos de gerador dos grupos temos: onde Note que uma rotação de um ângulo de um vetor, corresponde a uma rotação de um ângulo para um spinor. Matrizes de Pauli