第五单元  四边形
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第 25 讲 平行四边形 第 26 讲 矩形 , 菱形 . 正方形 第 27 讲 梯形 PowerPoint PPT Presentation


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第五单元 四边形. 第 25 讲 平行四边形 第 26 讲 矩形 , 菱形 . 正方形 第 27 讲 梯形. 第五单元 四边形. 第 25 讲 ┃ 平行四边形. 第 25 讲 平行四边形. 考点聚焦. 第 25 讲 ┃ 考点聚焦. 考点 1 平行四边形的定义与性质. 平行. 相等. 相等. 平分. 第 25 讲 ┃ 考点聚焦. 考点 2 平行四边形的判定. 相等. 相等. 相等. 互相平分. 第 25 讲 ┃ 考点聚焦. 考点 3 平行四边形的面积. 相等. 第 25 讲 ┃ 归类示例. 归类示例.

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第 25 讲 平行四边形 第 26 讲 矩形 , 菱形 . 正方形 第 27 讲 梯形

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Presentation Transcript


25 26 27

第五单元 四边形

第25讲 平行四边形

第26讲 矩形,菱形.正方形

第27讲 梯形


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第五单元 四边形


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第25讲┃平行四边形

第25讲 平行四边形


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考点聚焦

第25讲┃ 考点聚焦

考点1 平行四边形的定义与性质

平行

相等

相等

平分


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第25讲┃ 考点聚焦

考点2 平行四边形的判定

相等

相等

相等

互相平分


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第25讲┃ 考点聚焦

考点3 平行四边形的面积

相等


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第25讲┃ 归类示例

归类示例

► 类型之二 平行四边形的性质

命题角度:

1. 平行四边形对边的特点;

2. 平行四边形对角的特点;

3. 平行四边形对角线的特点.

例1 [2012·淮安]已知:如图25-1,在▱ABCD中,延长AB到点E,使BE=AB,连接DE交BC于点F.

求证:△BEF≌△CDF.

图25-1


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第25讲┃ 归类示例

[解析] 先由平行四边形性质,得出CD=AB=BE,AB∥CD. 再由平行线的性质得∠EBF=∠DCB,结合对顶角性质,即可推出△BEF≌△CDF.


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第25讲┃ 归类示例


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第25讲┃ 归类示例

平行四边形的性质的应用,主要是利用平行四边形的边与边,角与角及对角线之间的特殊关系进行证明或计算.


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第25讲┃ 归类示例

► 类型之二 平行四边形的判定

命题角度:

1. 从对边判定四边形是平行四边形;

2. 从对角判定四边形是平行四边形;

3. 从对角线判定四边形是平行四边形.

例2 [2012·泰州]如图25-2 ,四边形ABCD中,AD∥BC,AE⊥AD交BD于点E,CF⊥BC交BD于点F,且AE= CF.求证:四边形ABCD是平行四边形.

图25-2

[解析] 由垂直得到∠EAD=∠BCF=90°,根据AAS可证明Rt△AED≌Rt△CFB,得到AD=BC,根据平行四边形的判定即可证明.


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第25讲┃ 归类示例

证明:∵AD∥BC,

∴∠ADB=∠CBD,

∵AE⊥AD,CF⊥BC,

∴∠EAD=∠FCB=90°.

∵AE= CF,

∴△EAD≌△FCB(AAS),

∴AD=CB.

∵AD∥BC,

∴四边形ABCD是平行四边形.


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第25讲┃ 归类示例

判别一个四边形是不是平行四边形,要根据具体条件灵活选择判别方法.凡是可以用平行四边形知识证明的问题,不要再回到用三角形全等证明,应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题.


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第26讲┃矩形、菱形、正方形

第26讲 矩形、菱形、正方形


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考点聚焦

第26讲┃ 考点聚焦

考点1 矩形

直角

相等

斜边


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第26讲┃ 考点聚焦

相等


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第26讲┃ 考点聚焦

考点2 菱形

邻边

相等

垂直

一组对角


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第26讲┃ 考点聚焦

相等

垂直

一半


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第26讲┃ 考点聚焦

考点3 正方形

平行

相等

直角

垂直平分


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第26讲┃ 考点聚焦

判定正方形的思路图:


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第26讲┃ 考点聚焦

考点4 中点四边形

菱形

矩形

正方形

菱形

菱形

矩形


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第26讲┃ 归类示例

归类示例

► 类型之一 矩形的性质及判定的应用

命题角度:

1. 矩形的性质;

2. 矩形的判定.

例1 [2012·扬州]如图26-1,在四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=∠CDA=90°,BE⊥AD,垂足为E.

求证:BE=DE.

图26-1


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第26讲┃ 归类示例

[解析]本题综合考查全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质,通过添加辅助线构造全等三角形,根据“全等三角形的对应边相等”加以证明.

作CF⊥BE于F,得Rt△BCF和矩形FEDC,先证明△ABE≌△BCF,得BE=CF,再根据矩形的性质说明DE=CF即可.


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第26讲┃ 归类示例

证明:如图,作CF⊥BE于F,

∴∠BFC=∠CFE=90°.

∵BE⊥AD,∴∠AEB=∠BED=90°.

∴∠ABE+∠A=90°.

而∠ABE+∠FBC=90°,∴∠A=∠FBC.

又∵AB=BC,∴△ABE≌△BCF(AAS),

∴BE=CF.

在四边形FEDC中,∠BED=∠CFE=∠CDE=90°,

∴四边形FEDC是矩形,

∴CF=DE.

又∵BE=CF,∴BE=DE.


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第26讲┃ 归类示例

变式题 [2012·包头]如图26-2,,矩形ABCD中,点O是BC中点,∠AOD=90°,矩形ABCD的周长为20 cm,则AB的长为()

D

图26-2


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第26讲┃ 归类示例

[解析] ∵ABCD是矩形,

∴∠B=∠C=90°,AB=DC.

又∵O是BC的中点,

∴BO=CO,∴△ABO≌△DCO,

∴AO=DO.

∵∠AOD=90°,

∴∠OAD=∠ODA=45°,

∴∠BAO=∠AOB=45°,

∴AB=OB.设AB=x,则BC=2x,

∴2(x+2x)=20,


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第26讲┃ 归类示例

矩形是特殊的平行四边形,它具有平行四边形的所有性质,同时也具有特殊的性质;同时,判定矩形的方法也是多样的,可以先判定这个四边形是平行四边形,然后判定是矩形,也可以直接判定是矩形.


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第26讲┃ 归类示例

► 类型之二 菱形的性质及判定的应用

命题角度:

1. 菱形的性质;

2. 菱形的判定.

例2 [2012·南通]菱形ABCD中,∠B=60°,点E在边BC上,点F在边CD上.

(1)如图26-3①,若E是BC的中点,∠AEF=60°,求证:BE=DF;

(2)如图26-3②,若∠EAF=60°,求证:△AEF是等边三角形.

图26-3


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第26讲┃ 归类示例

[解析](1)根据菱形的性质证得△ABC是等边三角形,运用等腰三角形的性质和判定,通过证明角相等来证明线段CE,CF相等,最终证明BE=DF;(2)由于∠EAF=60°,要证△AEF是等边三角形,先要证明是等腰三角形,要证两条边相等可以证它们所在的两个三角形全等.


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第26讲┃ 归类示例

解:(1)连接AC,∵四边形ABCD是菱形,

∴AB=BC.

∵∠B=60°,

∴△ABC是等边三角形.

∵E是BC的中点,

∴AE⊥BC.

∵∠AEF=60°,

∴∠FEC=90°-60°=30°.

∵∠C=180°-∠B=120°,

∴∠EFC=30°,

∴∠FEC=∠EFC,

∴CE=CF.

∵BC=CD,

∴BC-CE=CD-CF,即BE=DF.


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第26讲┃ 归类示例


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第26讲┃ 归类示例

在证明一个四边形是菱形时,要注意判别的条件是平行四边形还是任意四边形.若是任意四边形,则需证四条边都相等;若是平行四边形,则需利用对角线互相垂直或一组邻边相等来证明.


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第26讲┃ 归类示例

► 类型之三 正方形的性质及判定的应用

命题角度:

1. 正方形的性质的应用;

2. 正方形的判定.

例3 [2012·黄冈]如图26-4,在正方形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,E、F分别在OD、OC上,且DE=CF,连接DF、AE,AE的延长线交DF于点M.求证:AM⊥DF.

图26-4

[解析] 根据DE=CF,可得出OE=OF,继而证明△AOE≌△DOF,得出∠OAE=∠ODF,然后利用等角代换可得出∠DME=90°,即可得出结论.


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第26讲┃ 归类示例


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第26讲┃ 归类示例

正方形是特殊的平行四边形,还是特殊的矩形,特殊的菱形,因此正方形具有这些图形的所有性质;正方形的判定方法有两条道路:(1)先判定四边形是矩形,再判定这个矩形是菱形;(2)先判定四边形是菱形,再判定这个菱形是正方形.


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第26讲┃ 归类示例

► 类型之四 特殊平行四边形的综合应用

命题角度:

1. 矩形、菱形、正方形的性质的综合应用;

2. 矩形、菱形、正方形的关系转化.

例4 [2012·娄底]如图26-4,在矩形ABCD中,M、N分别是AD、BC的中点,P、Q分别是BM、DN的中点.

(1)求证:△MBA≌△NDC;

(2)四边形MPNQ是什么样的特殊四边形?请说明理由.

图26-4


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第26讲┃ 归类示例


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回归教材

第26讲┃ 回归教材

中点四边形

教材母题江苏科技版八上P102例1

如图26-6,在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.四边形EFGH是平行四边形吗?为什么?

图26-6


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第26讲┃ 回归教材

解:四边形EFGH是平行四边形.

连接AC.

在△ABC中,

因为E、F分别是AB、BC的中点,

即EF是△ABC的中位线.

所以EF∥AC,EF=0.5AC.

理由是:“三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半.”

在△ADC中,

同理可以得到HG∥AC,HG=0.5AC.

所以EF∥HG,EF=HG.

所以四边形EFGH是平行四边形.

理由是:“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”.


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第26讲┃ 回归教材

[点析]顺次连接四边形各边中点所得到的新四边形的形状与原四边形对角线的关系(相等、垂直、相等且垂直)有关.


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中考变式

第26讲┃ 回归教材

[2011·邵阳]在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,顺次连接EF、FG、GH、HE.

(1)请判断四边形EFGH的形状,并给予证明;

(2)试添加一个条件,使四边形EFGH是菱形(写出你所添加的条件,不要求证明).

图26-5


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第26讲┃ 回归教材


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第27讲┃梯形

第27讲 梯形


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考点聚焦

第27讲┃ 考点聚焦

考点1 梯形的有关概念

平行

不平行


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第27讲┃ 考点聚焦

考点2 等腰梯形

底角

相等


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第27讲┃ 考点聚焦

相等


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第27讲┃ 考点聚焦

考点3 梯形中常用的辅助线


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第27讲┃ 考点聚焦


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第27讲┃ 归类示例

► 类型之一 梯形的基本概念及性质

归类示例

命题角度:

1. 梯形的定义及分类;

2. 梯形的中位线及有关计算.

例1 [2012·滨州]我们知道“连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线”,“三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三边的一半”.类似地,我们把连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线.如图27-1,在梯形ABCD中,AD∥BC,点E,F分别是AB,CD的中点,那么EF就是梯形ABCD的中位线.通过观察、测量,猜想EF和AD,BC有怎样的位置和数量关系?并证明你的结论.

图27-1


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第27讲┃ 归类示例

[解析] 连接AF并延长交BC的延长线于点G,则△ADF≌△GCF,可以证得EF是△ABG的中位线,利用三角形的中位线定理即可证得.


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第27讲┃ 归类示例


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第27讲┃ 归类示例

梯形问题通常通过添加辅助线将其转化为三角形或特殊四边形来解决.常用添加辅助线的方法有:(1)平移一腰;(2)过同一底上的两个顶点作高;(3)平移对角线;(4)延长两腰;(5)连接一腰并延长。


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第27讲┃ 归类示例

► 类型之二 等腰梯形的性质

命题角度:

1. 等腰梯形两腰的大小关系,两底的位置关系;

2. 等腰梯形在同一底上的两个角的大小关系;

3. 等腰梯形的对角线的大小关系.

例2 [2012·苏州]如图27-2,在梯形ABCD中,已知AD∥BC,AB=CD,延长线段CB到E,使BE=AD,连接AE、AC.

(1)求证:△ABE≌△CDA;

(2)若∠DAC=40°,求∠EAC的度数.

[解析] (1)由等腰梯形的性质可得∠ABE=∠CDA,从而得到两个三角形全等.(2)由(1)得到∠AEB=∠CAD,AE=AC,进而利用三角形的内角和求得.

图27-2


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第27讲┃ 归类示例


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第27讲┃ 归类示例

变式题[2011·南充]如图27-3,四边形ABCD是等腰梯形,AD∥BC,点E、F在BC上,且BE=CF,连接DE、AF.

求证:DE=AF.

[解析] 由四边形ABCD是等腰梯形,

得AB=DC,∠B=∠C,证明△DCE≌△ABF即可.

图27-3


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第27讲┃ 归类示例


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第27讲┃ 归类示例

利用等腰梯形的性质不仅可证明两直线平行,而且可证明两边相等或两个角相等.


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第27讲┃ 归类示例

► 类型之三 等腰梯形的判定

命题角度:

1. 定义法;

2. 从同一底上的两个角的大小关系来判定梯形是等腰梯形;

3. 从两条对角线的大小关系来判定梯形是等腰梯形.

例3 [2011·茂名]如图27-4,在等腰△ABC中,点D、E分别是两腰AC、BC上的点,连接AE、BD相交于点O,∠1=∠2.

(1)求证:OD=OE;

(2)求证:四边形ABED是等腰梯形;

(3)若AB=3DE,△DCE的面积为2,求四边形ABED的面积.

图27-4


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第27讲┃ 归类示例

[解析] (1)证明△ABD≌△BAE(ASA).(2)由(1)得AD=BE,再证DE∥AB即可.(3)△DCE∽△ACB,利用相似三角形面积比等于相似比的平方求得.

解:(1)证明:∵△ABC是等腰三角形,∴AC=BC,

∴∠BAD=∠ABE,

又∵AB=BA,∠2=∠1,∴△ABD≌△BAE(ASA),

∴BD=AE.又∵∠1=∠2,∴OA=OB,

∴BD-OB=AE-OA,即OD=OE.


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第27讲┃ 归类示例


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第27讲┃ 归类示例

证明等腰梯形首先要满足梯形的定义,再证明两腰相等,或同一底上的两角相等,或对角线相等即可.


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第27讲┃ 归类示例

► 类型之四 梯形的综合应用

命题角度:

1. 常用辅助线;

2. 动态几何问题;

3. 梯形与全等、相似、解直角三角形等知识的综合运用.

例4 [2012·苏州] 如图27-5①,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=60°,动点P从A点出发,以1 cm/s的速度沿着A→B→C→D的方向不停移动,直到点P到达点D后才停止.已知△PAD的面积S (单位:cm2)与点P移动的时间t(单位:s)的函数关系如图②所示,则点P从开始移动到停止移动一共用了________s(结果保留根号).


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第27讲┃ 归类示例

图27-5


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第27讲┃ 归类示例

[解析] 根据图②判断出AB、BC的长度,过点B作BE⊥AD于点E,然后求出梯形ABCD的高BE,再根据t=2时△PAD的面积求出AD的长度,过点C作CF⊥AD于点F,然后求出DF的长度,利用勾股定理求出CD的长度,然后求出AB、BC、CD的和,再求时间.


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第27讲┃ 归类示例


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第27讲┃ 归类示例


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第27讲┃ 归类示例

动态几何开放性数学问题是近几年兴起的一种新颖题型,一般是某一个点在某一个图形上的运动,难度相对较大,对考生综合分析问题的能力要求较高.主要形式有开放前提、开放结论两大类.解答此类问题要注意全面、整体地把握题目的意思,尤其不能漏掉某些情况.


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