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§3 . 12 等腰三角形的性质 PowerPoint PPT Presentation


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§3 . 12 等腰三角形的性质. 四皓中学  冀小军. 一、学习目标. 1 .理解并掌握等腰三角形的性质,并能灵活 应用该性质进行有关证明和计算. 2 .理解并掌握等腰三角形的轴对称性及添加 辅助线的方法,强化图形之间的联系.. 二、重点难点. 本节的重点是:等腰三角形的判定定理、 性质定理及其推论. 本节的难点是:灵活运用等腰三角形的 判定定理性质定理及其

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§3 . 12 等腰三角形的性质

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3 12

§3.12 等腰三角形的性质

四皓中学  冀小军


3 12

一、学习目标

1.理解并掌握等腰三角形的性质,并能灵活

应用该性质进行有关证明和计算.

2.理解并掌握等腰三角形的轴对称性及添加

辅助线的方法,强化图形之间的联系.


3 12

二、重点难点

本节的重点是:等腰三角形的判定定理、

性质定理及其推论.

本节的难点是:灵活运用等腰三角形的

判定定理性质定理及其

推论,其中等边三角形

的性质也是本节应掌握

的知识点.


3 12

三、引入

等腰三角形是一种特殊的三角形,它除了

具有一般三角形所具备的性质以外,还具有其

特殊的性质,因而它比一般三角形有更广泛的

应用.

今天我们就来学习等腰三角形的性质.


3 12

四、新课

等腰三角形性质:

1.等腰三角形两底角相等.

2.等腰三角形底边上的中线、底

  边上的高和顶角的平分线重合.


3 12

四、新课

如图,在△ABC中,

(1)∵ AB=AC,∠1=∠2,

∴ AD⊥BC,BD=DC.

(2)∵ AB=AC,BD=DC,

∴ AD⊥BC,∠1=∠2.

(3)∵ AB=AC,AD⊥BC,

∴ BD=DC,∠1=∠2.


3 12

四、新课

等边三角形性质

等边三角形的各角、各边都相等,

并且每个角都等于60°.


3 12

四、新课

例1已知:如图,在△ABC中,AB=AC, D为

AC边上一点,且BD=BC=AD.

求:△ABC的各角的度数.

【分析】由于图中各边关系等量关系比较多,可考虑通过列方程来解出.


3 12

例1已知:如图,在△ABC中,AB=AC, D为

AC边上一点,且BD=BC=AD.

求:△ABC的各角的度数.

四、新课

四、新课

【解】 :∵ AB=AC,BD=BC=AD(已知),

∴ ∠ABC=∠C=∠BDC,∠A=∠ABD

(等边对等角).

设 ∠A=x°,

∴ ∠BDC=∠A+∠ABD=2x°

(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和).

又∵ ∠ABC=∠C=∠BDC=2x°,

∴ x+2x+2x=180(三角形内角和定理).

解得 x=36.

∴在△ABC中,∠A=36°,∠ABC=∠C=72°.


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例2如图,△ABC是等边三角形,BD⊥AC于D,

延长BC至E,使得EC=DC,DM⊥BC于M,

求证:M是BE的中点.

【分析】欲证M为BE的

中点,须证BM=ME,转

化为证

△BDM≌△EDM(AAS).


3 12

【证明】(1)先证∠E=30°.

∵ △ABC是等边三角形,

∴ ∠ABC=∠ACB=60°.

∵ BD⊥AC于D,

∴ BD平分∠ABC.

∴ ∠DBC= ∠ABC= ×60°=30°.

∵ EC=DC,

∴ ∠CDE=∠E.

∵ ∠DCB=(∠CDE+∠E),

∴ 60°=2∠E.

∴ ∠E=30°.

例2如图,△ABC是等边三角形,BD⊥AC于D,

延长BC至E,使得EC=DC,DM⊥BC于M,

求证:M是BE的中点.


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(2)再证:M是BE的中点

∴ ∠DBC=∠E.

∴ DM⊥BC于M.

∴ ∠DMB=∠DME.

在△BDM和△EDM中,

∴ △BDM≌△EDM(AAS).

∴ BM=EM.

故M是BE的中点.

例2如图,△ABC是等边三角形,BD⊥AC于D,

延长BC至E,使得EC=DC,DM⊥BC于M,

求证:M是BE的中点.

四、新课


3 12

四、新课

例2如图,△ABC是等边三角形,BD⊥AC于D,

延长BC至E,使得EC=DC,DM⊥BC于M,

求证:M是BE的中点.

【点评】等腰三角形的性质是通过线段相等证明角相等的主要工具之一.


3 12

例3 △ABC中,AB=AC,∠A=120°, AB的

中垂线交AB于D,交CA延长线于E.

求证:DE= BC.

四、新课

【分析】此题没有给出图形,

那么依题意,应先画出图形.题

目中是求线段的倍半关系,观

察图形,考虑取BC的中点.


3 12

例3△ABC中,AB=AC,∠A=120°, AB的

中垂线交AB于D,交CA延长线于E.

求证:DE= BC.

【证明】过点A作AF⊥BC于F.

在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,

∴ ∠B=∠C=30°.

∴ ∠1=∠2=60°,BF= BC

(等腰三角形三线合一).

∴ ∠3=60°(邻补角定义).

∴ ∠1=∠3.

又 ED垂直平分AB,

∴ ∠AED=30°(直角三角形两锐角互余),

∴ AD=DB(线段垂直平分线定义).

∠EDA=∠EDB=90°.

未完,待续


3 12

例3 △ABC中,AB=AC,∠A=120°, AB的

中垂线交AB于D,交CA延长线于E.

求证:DE= BC.

连结BE,在△EDA和△EDB中,

∴ △EDA≌△EDB(SAS).

∴ EA=EB.

∠EBA=∠3=60°.

∴ ∠BEA=60°.

四、新课

接上页证明

未完,待续


3 12

例3 △ABC中,AB=AC,∠A=120°, AB的

中垂线交AB于D,交CA延长线于E.

求证:DE= BC.

作BM⊥AE,

∴ ∠EMB=∠AMB=90°.

在△EMB和△AMB中,

同理可证△EMB≌△AMB(AAS).

∴ BE=BA.

∴BA=EA.

四、新课

接上页证明

未完,待续


3 12

例3 △ABC中,AB=AC,∠A=120°, AB的

中垂线交AB于D,交CA延长线于E.

求证:DE= BC.

四、新课

【点评】(1)根据题意,先准确地画出图

形,是解几何题的一项基本技能.

(2)当遇到问题时要考虑另辟新径,最终使问

题得以解决.

(3)本题我们还可以先证明含30°角的直角三

角形中边和边的特殊关系,再通过这个结论证明

此题.


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四、新课

例4已知:如图,△ABC中,AB=AC,D、E

分别是BC上的点,并且AD=AE.

求证:BD=CE.

【分析】本题中给出了AB=AC,AD=AE,△ABC和△ADE均为等腰三角形,在证明等腰三角形的题目中,经常作出顶角的平分线、底边上的高或底边上的中线,利用等腰三角形的性质证明,故作出BC边上的高AF.


3 12

四、新课

例4已知:如图,△ABC中,AB=AC,D、E

分别是BC上的点,并且AD=AE.

求证:BD=CE.

【证明】作AF⊥BC于F.

∵ AB=AC(已知),

∴ BF=CF

(等腰三角形底边上的高平分底边).

∵ AD=AE(已知),

∴ DF=EF(等腰三角形底边上的高平分底边).

∴ BF-DF=CF-EF(等量减等量差相等).

故 BD=CE.


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四、新课

例4已知:如图,△ABC中,AB=AC,D、E

分别是BC上的点,并且AD=AE.

求证:BD=CE.

【点评】此题若采用三角形全等的方法

证明,不仅烦琐,且易出错.在有关等腰

三角形的几何题目中,我们经常采用添

加辅助线的方法,作出等腰三角形顶角

的平分线、底边上的高或底边上的中线,

利用等腰三角形“三线合一”的性质加以判定,但是如何添加这条辅助线,一定要看清题目中的条件,不要盲目添加.同学们可以对比一下,本题中若作BC边的中线AF或为∠BAC的平分线AF,证明过程中有会怎样呢?从中体会一下辅助线的作法.


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练 习

(一)填空题:

1.等腰三角形一个角是100°,那么它的另外

两个角分别为;

2.如果等腰三角形的两边长分别是4cm,7cm,

则周长是;

3.等腰三角形的周长是8,它的腰长为整数,则

腰长为;

4.角平分线平分对边的三角形是三角形;

40° ,40°

15cm或18cm

3

等腰


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练 习

(一)填空题:

5.底角等于顶角一半的等腰三角形

是三角形;

6.等腰三角形腰上的高与底边的夹

角等于它的顶角的;

7.等腰三角形两底角的平分线的

长;

8.等腰三角形顶角平分线是,

是;

等腰直角

一半

相等

底边上中线

底边上的高


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练 习

(一)填空题:

9.一个等腰三角形中,角平分线,高线和中线的总数是条;

10.等腰三角形有一条边长是另一条边长的2倍,周长是50,则腰长为.

7或3条

20


3 12

练 习

(二)解答题:

1.等腰三角形的一个角是46°,

求它的另外两个角的度数.

(1)当底角是46°时,这个三角形的另外两

个角的度数为46°和88°.

(2)当顶角是46°时, 这个三角形的另外两个角的度数为67°和67°


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∠A=36°,∠ABC=∠C=72°,

或∠A= ,∠ABC=∠C= .

练 习

(二)解答题:

2.已知:△ABC中,AB=AC,D是AC

上一点,BD把△ABC分成两

个等腰三角形,

试求:△ABC三个内角的大小.


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