微積分 精華版 Essential Calculus

1. 微積分 精華版Essential Calculus 第 4 章 積分

2. 4.1 反導數和不定積分 • 4.2 面積 • 4.3 黎曼和與定積分 • 4.4 微積分基本定理 • 4.5 變數代換法求不定積分 • 4.6 數值積分 • 4.7 自然對數函數：積分 • 4.8反三角函數：積分

3. 4.1反導數和不定積分 反導數的定義 如果在區間I 上，F'(x)=f (x) 恆成立，我們就稱函數F 是函 數f 在I上的一個反導數（antiderivative）。 注意F 只是 f 諸多反導數中的一個，而非全體，所以我們 不說 F 是 f 的反導數，而要說 F 是 f 的反導數之一。為何如 此呢？因為 F1(x) = x3，F2(x) = x3 – 5 和 F3(x) = x3 + 97 都是 f (x) = 3x2的反導數。實際上，對任何的一個常數 C， F(x) = x3 + C 都是 f 的反導數。 p.165

4. 定理 4.1 反導數的表示法 • 如果 F 是區間 I 上函數 f 的一個反導數，那麼函數 G 也是I 上 f 的一個反導數的充要條件是 G(x) = F(x) + C 在 I 上恆成立，式中 C是一個常數 • 利用定理 4.1，我們可以將任意常數加到一個已知的反導數來得到所有可能的反導數。 • 一個 x 和 y 的微分方程（differential equation）是一個牽涉到變量 x，y 和 y 的導函數的方程式。 p.165

5. 例 1 解微分方程 求微分方程 y' = 2 的通解。 解 先找一個導函數是 2 的函數，一個可能是 y = 2x 2x 是 2 的反導數 再利用定理 4.1 得知微分方程的通解是 y = 2x + C 通解 圖 4.1 給出三個 y = 2x + C 的函數圖形。 p.166

6. 圖 4.1 在不同的常數 C時，函數 y = 2x + C的圖形。 p.166

7. 反導數的記號 • 在解形如 dy/dx = f(x) 的微分方程時，習慣上會把它改寫為 dy =f (x)dx。求出上式所有解的運算方法稱為反微分 （antidifferentiation）或不定積分（indefinite integration）， 並以積分記號∫表示。 式子∫f (x)dx 讀作 f 對 x 的反導數。式中，微分 dx 用來確認 積分變數是 x，不定積分（indefinite integral）一詞則是反導 數的同義字。 p.166

8. 從積分與微分互逆的本質，可以重寫不定積分的定義如下：從積分與微分互逆的本質，可以重寫不定積分的定義如下： 並且，如果∫f (x)dx =F(x)+C，當然有 p.167

9. p.167

10. p.168

11. 例 2 應用基本積分規則 試求 3x 的反導數。 解 因此，3x 的反導數是　　　　，其中 C 是任意常數。 p.168

12. 例 3 進行積分之前的改寫工作 p.168

13. 例 4 多項式函數的不定積分 p.169

14. 例 5 積分之前先行改寫 p.169

15. 例 6 積分之前先行改寫 p.170

16. 初始條件和特解 • 在積分的應用中，通常會根據足夠的訊息來決定一個特解（particular solution）。其實，也只需要知道 y = F(x) 在一特定 x 的值（此訊息稱為初始條件（initial condition）。 p.170

17. 圖 4.2 滿足初始條件 F(2) = 4 的特解是 F(x) = x3 – x – 2。 p.170

18. 例 7 求一個特解 求 F'(x) = ex的通解，並求滿足初始條件 F(0) = 3 的特解。 解 先以積分求得通解 以初始條件 F(0) = 3 ，解 C 如下 F(0) = e0 + C 3 = 1 + C → 2 = C 如圖 4.3 所示，特解是 p.170

19. 圖 4.3 滿足初始條件 F(0) = 3 的特解是 F(x) = ex + 2。 p.171

20. 例 8 解鉛直運動 以初速 64 呎∕秒從高度 80 呎處將一球向上擲出（圖4.4）。 a. 求時間 t 時的高度函數。 b. 球何時落地？ 解 a. 以 t = 0 表初始時間，兩個初始條件分別是 以重力加速度 –32 呎∕秒2，寫下 p.171

21. 再以初始速度代入，得到 s'(0) = 64 = –32(0) + C1，亦即 C1 = 64，然後，再積分 s' (t) 得出 代入初始高度 80 呎，得出 s(0) = 80 = –16(02) + 64(0) + C2 因此 C2 = 80。所以，高度函數是 p.171

22. 圖 4.4 球在 t時刻的高度。 p.171

23. b.由 (a) 的結果，令 s(t) = 0 來解球落地的時間。 s(t) = –16t2 + 64t + 80 = 0 –16(t + 1)(t – 5) = 0 t = –1, 5 t 必須為正，因此得出球擲出 5 秒鐘後落地。 p.171

24. 4.2面積 Σ符號 a1，a2，a3，…，an，n 項的和記成 其中 i 是求和時一般項的序號（index of summation），ai是 求和的第 i 項（ith term），1 和 n 分別是求和的頭、尾項序 號（upper and lower bounds of summation）。 p.174

25. 例 1 使用Σ符號舉例 (a) 和(b) 顯示同一個和可以Σ符號作不同的表示。 p.174

26. 定理 4.2求和公式 p.174

27. 例 2 求和 對 n = 10，100，1000 和 10,000，求 。 解　利用定理 4.2，得出 再將 n 的值分別代入，答案如下表所示。 p.175

28. p.175

29. 面積 • 在歐幾里德幾何學中，最簡單的平面區域是長方形。雖然一般都說長方形的面積公式是長乘以寬 A = bh（圖 4.5），而實際上這個公式應該稱為長方形面積（area of a rectangle）的定義。 • 從這個定義出發，我們可以得到許多其他平面區域的面積。譬如，三角形的面積可以從長方形面積之半得出（圖4.6）。一旦得出三角形的面積公式，任意多邊形的面積就可藉著分割成三角形來求得（圖 4.7）。 p.175

30. 圖 4.5 長方形：A = bh。 p.175

31. 圖 4.6 三角形：A = ½ bh。 p.175

32. 圖 4.7 p.175

33. 圖 4.8 以窮盡法求圓域的面積。 p.176

34. 例 3 平面區域面積的近似值 圖 4.9(a) 和 (b) 分別以兩組長方形來近似介於 f (x) = –x2 + 5 圖形之下、x 軸之上，從 x = 0 到 x = 2 的面積。 解 a. 五個小區間右邊的端點分別是 2/5 i，i = 1，2，3，4，5。每一個長方形底的寬度都是 2/5，高度由 f 在每一個小區間右邊的端點代值決定。 p.176

35. 這五個長方形的面積和是 因為每一個長方形都落在拋物線區域的內部，可知拋物線區 域的面積一定大於 6.48。 p.176

36. 圖 4.9 p.176

37. b. 五個小區間左邊的端點是 2/5(i – 1)，i = 1，2，3，4，5。每一個長方形底的寬度都是 2/5，高度由 f 在每一個小區間左邊的端點代值決定。 因為拋物線區域落在五個長方形區域的聯集中，可知拋物線 區域的面積一定小於 8.08。 結論：6.48 ＜ 拋物線區域面積＜ 8.08。 p.177

38. 上和與下和 • 有一個平面上的區域以 x 軸為下界，以一個非負連續的函數 y = f (x) 的圖形為上界，左、右兩邊則以鉛直線 x = a 和 x = b 為界。 先將區間(a, b) 等分為 n 個子區間，每一個子區間的寬度都是 Δx = (b – a)/n，現在要求此區域面積的近似值。這些子區間的端點分別是 因為 f 連續，極值定理保證 f (x) 在每一個子區間上都有極小值和極大值。 p.177

39. 圖 4.10 曲線下方的區域。 p.177

40. 圖 4.11 將區間 [a, b] 等分為 n個子區間，寬度是 。 p.177

41. f (mi) =f (x) 在第 i 個子區間上的極小值 f (Mi) =f (x) 在第 i 個子區間上的極大值 • 我們稱一個落在第 i 個子區域中的長方形為內接長方形（inscribed rectangle），而稱一個完全覆蓋第 i 個子區域的長方形為外接長方形（circumscribed rectangle）。將第 i 個內接長方形的高度取成 f (mi)，而將第 i 個外接長方形的高度取成 f (Mi)，我們有下列的不等式關係 上述 n 個內接長方形的面積和稱為一個下和（lower sum）， 上述 n 個外接長方形的面積和稱為一個上和（upper sum）。 p.177

42. 圖 4.12 p.178

43. 例 4 求區域的上和與下和 求下方以 x 軸，上方以 f (x) = x2的圖形，左右以 x = 0 和 x = 2 為界的區域的上和與下和。 解 先將 [0, 2] 等分割為 n 個子區間，每一個取的寬度是 圖 4.13 顯示出一些子區間的端點和一些內接、外接的長方 形。因為 f 在 [0, 2] 上遞增，所以在每一個子區間上的極小 值一定發生在左端點，極大值一定發生在右端點。 p.178

44. 以左端點取值為內接長方形的高，得到下和 p.178

45. 圖 4.13 p.178

46. 以右端點取值為外接長方形的高，得到上和 p.179

47. 定理 4.3 下和與上和的極限 • 假設 f 非負並且在區間 [a, b] 上連續。則當 n →∞時，下和與上和的極限各自都會存在並且彼此相等，也就是說 式中Δx = (b – a)/n，f (mi) 和 f (Mi) 分別是 f 在子區間上的 極小值和極大值。 p.179

48. 反曲點的定義 假設 f 是一個非負並且在 [a, b] 上連續的函數，則以 f 的圖 形、x 軸、鉛直線 x = a 和 x = b 為界的區域面積是 式中 Δx = (b – a)/n（圖 4.14）。 p.180

49. 圖 4.14 第 i個子區間的寬度是Δx = xi – xi– 1。 p.180

50. 例 5 以極限的方式定義面積並計算答案 求以 f (x) = x3的圖形為上界，x 軸為下界，左、右以鉛直線 x = 0 和 x = 1 為界的區域面積（圖 4.15）。 解 注意到 f 是在區間 [0, 1] 上非負並且連續的函數，現將 區間 [0, 1] 分割成 n 個子區間，每一個子區間的寬度是Δx = 1/ n。照面積定義，可在第 i 個子區間上選擇任意的 x 值。 在此例裡，為方便起見不妨選擇 ci= i/n。 p.180