Matematika i nogomet
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 28

Matematika i nogomet PowerPoint PPT Presentation


  • 146 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

Matematika i nogomet. Franka Miriam Br ü ckler Osijek, 1.6.2006. Je li nogomet glup sport?. dobra nogometna momčad ne podrazumijeva samo fizičke kvalitete, nego i ljudske kvalitete (suradnju) i inteligenciju (pitanja taktike i strategije) nogomet je zapravo igra osvajanja terena.

Download Presentation

Matematika i nogomet

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Matematika i nogomet

Matematika i nogomet

Franka Miriam Brückler

Osijek, 1.6.2006.


Je li nogomet glup sport

Je li nogomet glup sport?

  • dobra nogometna momčad ne podrazumijeva samo fizičke kvalitete, nego i ljudske kvalitete (suradnju) i inteligenciju (pitanja taktike i strategije)

  • nogomet je zapravo igra osvajanja terena

  • jedan od najpopularnijih sportova

  • za razliku od mnogih drugih manje popularnih sportova (npr. golfa), znanstvena pozadina je slabo istražena


Mo e li nogomet koristiti matematici

Može li nogomet koristiti matematici?

  • čest problem: zainteresirati djecu za matematičke zadatke

  • aritmetika: brojanje, zbrajanje i oduzimanje (broja 1 ), uspoređivanje brojeva po veličini, račun s postocima

  • geometrijski elementi nogometnog terena i lopte

  • vjerojatnost i statistika, teorija odlučivanja, matematička fizika


Elementarna matematika nogometa

Elementarna matematika nogometa

  • 2 momčadi s po 11 igrača

  • 1 lopta promjera 22cm (službeno pravilo: “kuglastog oblika, iz kože ili drugog pogodnog materijala, opsega najmanje 68 i najviše 70 centimetara, na početku utakmice mase najmanje 410 i najviše 450 grama te tlaka između 0,6 i 1,1 atmosfere” (misli se na višak tlaka u odnosu na okolinu)

  • pravokutni teren

  • dimenzije: razlozi praktične i matematičko-fizičke prirode


Gusto a igra a na terenu

Gustoća igrača na terenu

  • po N igrača bez golmana

  • znači: po jedinici površine ima ih n=N/P0,0014

  • prosječna udaljenost do protivnika je onda

  • prosječno vrijeme potrebno da protivnik dotrči je


Geometrija nogometne lopte

Geometrija nogometne lopte

  • kugla ili poliedar?

  • 12 pravilnih 5-erokuta, 20 pravilnih 6-erokuta

  • Buckminsterfulleren

  • izvorni materijal: kravlji ili svinjski mjehur obložen kožom koji se napuhao kroz jednu rupu koja bi se na kraju zašila; unutrašnjost je zamijenjena gumenim mjehurom, a kožna vanjština zadržala se do 1960ih; no, koža upija vodu... 1980ih se prelazi na sintetske materijale i višeslojnu ovojnicu; klasični dijelovi iz kojih se šiva vanjština čine krnji ikozaedar


Tlak i skakutanje lopte

Tlak i skakutanje lopte

  • kad se lopta odbije od terena lopta se nakratko deformira

  • promotrimo elastičan vertikalni pad ...

  • rezultirajuća sila: F=pA (p = višak tlaka u lopti u odnosu na okolinu, a on po pravilima iznosi prosječno 0,86bara tj. 0,86105 Nm-2, A = površina dodira)

  • u praksi je deformacija premala da bi imala utjecaj na unutrašnji tlak


Newton i nogomet

slijedi da lopta napušta teren (s=0) u nakon vremena

Newton i nogomet

  • kad se lopta odbije od zemlje, s ovisi o brzini njenog težišta (dakle, približno središta)

  • stoga s možemo odrediti iz drugog Newtonovog zakona tj. diferencijalne jednadžbe (minus jer je ovdje brzina jednaka minus derivaciji puta, O je opseg lopte, a t=0 je trenutak kad lopta dodirne teren)

zanimljivo: trajanje dodira sa terenom (ako lopta pada vertikalno) ovisi samo o svojstvima lopte koja su zadana pravilima (t8,4 ms)!


Nije sve savr eno elasti no

Nije sve savršeno elastično

  • dolazi do gubitka kinetičke energije (na odbijanje od podloge, ali i na savijanje vlati trave  kod nogometa dolazi do većeg gubitka energije nego npr. kod sportova na tvrdoj podlozi)

  • koeficijent elastičnosti e je omjer brzine poslije i prije odbijanja od podloge; na kratko šišanoj travi on iznosi oko 0,6

  • kako računamo maksimalnu visinu na koju će odskočiti lopta?


A jo se k tome i vrti

A još se k tome i vrti...

  • čak i ako nogometaš svojim udarcem nije dodao vrtnju lopti, ona se u pravilu nakon odbijanja počinje vrtiti – zašto? Zato što ne pada vertikalno, a postoji trenje!

t je zakretni moment, I je moment tromosti (konstantan za tijela s fiksnom raspodjelom mase), a w je kutna brzina


Odbijanje s klizanjem

Odbijanje s klizanjem

horizontalna i vertikalna brzina: u,v

kutna brzina: 

koeficijent trenja pri klizanju: 

prije sudara: indeks 0, poslije sudara: indeks 1


Odbijanje s kotrljanjem

Odbijanje s kotrljanjem

grubo tlo, mali upadni kut  trenje nakratko zaustavi loptu  kotrljanje uz uvjet


Leti leti lopta

v

u

Leti, leti... lopta

  • ako nema otpora zraka ni vjetra  kosi hitac  putanja je parabola, a jednadžbe gibanja su

  • ako ima otpora zraka (iznos sile otpora: FZ), bez vjetra 

  • ako ima i vjetra brzine (wx,0,wz),gdje je z-smjer okomit na ravninu putanje bez vjetra:


Matematika i nogomet

z

x

y

u(t)

rješenja prethodnih diferencijalnih jednadžbi

(rješive numerički, ne i analitički) – iznosi komponenti brzine u ovisnosti o vremenu

w(t)

v(t)


Matematika i nogomet

odstupanje u stranu na kraju leta:


Kako uloviti loptu

Kako uloviti loptu?

  • uvjet da “plavi” protivnik presiječe

    put lopti koju je uputio “crveni” je očito y/ux/v, gdje je u brzina “plavog”, a v brzina lopte

  • kosinusov poučak 

  • ako gledamo samo najkreće vrijeme potrebno plavom imamo kvadratnu jednadžbu

  • nužan uvjet dobivamo zahtjevom da diskriminanta bude nenegativna:

  • ako prema lopti trči još i crveni suigrač (po pravcu kojim se kreće lopta) možemo promatrati koji je uvjet da on stigne do lopte prije plavog


Matematika i nogomet

suigrač ako želi spriječiti presjecanje puta lopte mora do neke točke, koja je prvom igraču bliža od najbliže A na kojoj protivnik presijeca put lopti, doći u vremenu koje ne premašuje ono potrebno protivniku da dođe do A

(x=ona udaljenost koja daje protivniku najraniju mogućnost presijecanja)

(D=početni razmak između oba crvena, w=brzina crvenog suigrača)


Matematika i nogomet

mogućnost presretanja pri kutevima od 30 (plavo) i 15 (sivo), brzini protivnika 4m/s, brzini lopte 9m/s i početnoj udaljenosti 10m


Tko e dati gol

Tko će dati gol?

promatranjem prethodnih utakmica utvrdili smo da jedna momčad daje u prosjeku r1, a druga r2golova na sat

uzmimo da prednost domaćeg terena neznatno utječe na ratu golova

neka je r1>r2 pa označimo s R=r1:r2

vjerojatnost da će prva momčad dati idući gol je p=R/(R+1), a da će ga dati druga je 1-p=1/(R-1)

ako je dosad palo n golova, vj. da ih je sve dala prva momčad je pn, a da ih je sve dala druga je (1-p)n

vjerojatnost da je prva dala k od n golova


Vjerojatnost n golova u vremenu t

Vjerojatnost n golova u vremenu t

  • ako je momčad dosad postizala u prosjeku r golova na sat, onda je vjerojatnost da će ta momčad u vremenu t [h] dati n golova jednaka


Vjerojatnost rezultata n m

Vjerojatnost rezultata n:m

  • recimo da jača momčad daje jedan gol na sat (r1=1), a slabija 1 gol po utakmici (r2=0,67)


Koja je vjerojatnost davanja prvog gola u ostatku utakmice

Koja je vjerojatnost davanja prvog gola u ostatku utakmice?

  • vjerojatnost da momčad s prosječnom ratom od r1 golova na sat u trenutku t još nije dala gol je p0=e-rt

  • stoga je vjerojatnost da u tom vremenu nijedna momčad nije dala gol jednaka p00=e-(r1+r2)t

  • vjerojatnost da prva momčad dade gol u vremenu dt je r1dt, dakle je vjerojatnost da ako još nije pao gol ta momčad u preostalom vremenu dade gol jednaka

vjerojatnost raste s vremenom!


Teorem nogomet je najzanimljiviji sport

Teorem: Nogomet je najzanimljiviji sport.

  • recimo da se susreću dvije momčadi od kojih za bolju kažemo da je bolja po tome što je u zadnjih godinu dana dala dvostruko više golova od slabije

  • ako u utakmici padne samo 1 gol, vjerojatnost da je pobijedila slabija momčad je 33,33%; u slučaju da padnu 3 gola, vjerojatnost pobjede slabijeg (rezultati 3:0 ili 2:1 za njih) je (1/3)3+3(2/3)(1/3)2=25,92%, u slučaju 5 golova vjerojatnost pobjede slabijeg je 20,99% itd.

  • u slučaju 2 gola slabiji pobjeđuje s vjerojatnosti (1/3)2=11,11%; u slučaju 4 gola slabiji pobjeđuje s vjerojatnosti (1/3)4+4(2/3)(1/3)3=11,11%, u slučaju 6 golova ta je vjerojatnost 10%, ...


Matematika i nogomet

vjerojatnosti da dvaput slabiji tim nije izgubio ako je u utakmici palo n golova:

http://www.rogerkaufmann.ch/dsaWC06_r.htm


Raspon bodova u tablici

Raspon bodova u tablici

  • raspon bodova u konačnoj tablici nekog prvenstva ovisi djelomično o slučajnosti, a djelomično o snazi momčadi u ligi

  • standardna devijacija:

  • hipotetska liga s momčadima jednake snage  prosječno 11/8 bodova svake momčadi po utakmici te se dobiva

  • ako N=38 (liga s 20 momčadi) dobije se standardna devijacija od otprilike 8,1 bodova

  • realno: veća  (niža i šira krivulja funkcije gustoće)


Literatura

Literatura

  • A. Beutelspacher In Mathe war ich immer schlecht, Vieweg, 2000.

  • P. Maidment Do The Math: Soccer More Exciting Than Football, http://www.forbes.com/2006/01/04/soccer-football-baseball-cx_pm_0104soccer.html

  • J. Richter Erste Bundesliga mathematisch, http://www.zahlensalat.de/_bl.htm

  • L. E. Sadovskiĭ, A. L. Sadovskiĭ Mathematics and Sports, AMS, 1993.

  • J. Wesson Fußball – Wissenschaft mit Kick, Elsevier, 2006.

  • D. Zeillinger Wie wählt man eine Fußballmanschaft? Spektrum der Wissenschaft Online http://www.wissenschaft-online.de/spektrum/index.php?action=rubrik_detail&artikel_id=6991

  • The Math & Physics of Soccer, http://www.oceansiderevolution.com/EINSTEIN.HTM

  • Fachhochschule Stuttgart, Hochschule für Technik: World Mathematical Year – Ideen und Anregungen zur Umsetzung an Schulen, Stuttgart, 1999.

  • The Official Soccer Site for Officials, Referees, Players, and Fans – Laws of the Game, http://www.drblank.com/slaws.htm

  • Dynamische Sport-Analyse (DSA)http://www.rogerkaufmann.ch/dsa.htm


  • Login