Geometría de las Pompas de Jabón

1. Geometría de las Pompas de Jabón Hellín 30 de enero de 2007

2. Primera Pregunta • ¿Por qué las pompas de jabón son redondas?

3. ¿Por qué las pompas de jabón son redondas? • Porque la esfera tiene simetría perfecta. • Porque la esfera es la superficie compacta que tiene menor área entre todas las superficies compactas que encierran el mismo volumen. • Porque la curvatura de una película de jabón es proporcional a la diferencia de presión. • Porque el anillo utilizado para hacer las pompas de jabón es redondo.

4. Segunda Pregunta • ¿Qué forma tienen las pompas de jabón dobles?

5. ¿Qué forma tienen las pompas de jabón dobles? A B C

6. La Ley de Laplace Las películas y las líneas son curvas en general: la curvatura media de las películas está determinada por la diferencia de presión entre el gas en cada lado de la película.

7. Si la diferencia de presión es constante, la curvatura media es también constante.

8. ¿Qué es la curvatura de una curva? • La curvatura de una curva mide la variación de la recta tangente a una curva.

9. ¿Qué es la curvatura media?

10. Teorema de Aleksandrov • La única superficie compacta con curvatura media constante y sin auto-intersecciones es la esfera.

11. Tercera Pregunta • ¿Qué sucede cuando se sumerge una malla de alambre con forma de prisma triangular en una solución jabonosa?

12. ¿Sumergiendo un prisma triangular en una solución jabonosa? A B C

13. Cuarta Pregunta • ¿Qué sucede cuando se sumerge una malla de alambre con forma de cubo en una solución jabonosa?

14. ¿Sumergiendo un cubo en una solución jabonosa? A B C

15. Quinta Pregunta • ¿Qué sucede cuando se sumergen en una solución jabonosa dos anillos circulares de alambre y se separan?

16. ¿Sumergiendo dos anillos circulares? A B C

17. Sexta Pregunta • ¿Qué sucede cuando dos películas de jabón planas se cortan?

18. ¿Qué sucede cuando dos películas de jabón planas se cortan? • En la intersección aparece una tercera película de jabón. • En la intersección hay siempre un agujero. • La intersección es un segmento de línea recta sin agujeros.

19. Plateau: Un ciego en el reino de los que ven • Las películas sólo pueden encontrarse de tres en tres, y lo hacen de un modo simétrico de modo que los ángulos entre ellas son de 120º. • Las líneas de intersección entre las películas se cortan entre sí en vértices que son la intersección sólo de cuatro líneas. De nuevo son simétricas de modo que el ángulo entre las líneas tiene el valor arccos(-1/3) o aproximadamente 109º (el ángulo del tetraedro regular llamado también ángulo de Maraldi). Las películas y las líneas son curvas en general: la curvatura media de las películas está determinada por la diferencia de presión entre el gas en cada lado de la película.

20. ¿Sumergiendo un cubo en una solución jabonosa? A B C

21. ¿Sumergiendo un prisma triangular en una solución jabonosa? A B C

23. Demostrando las leyes de Plateau • Aunque Plateau no era contrario al Análisis Matemático, el método principal que él usó fue el de la generalización a partir de la observación de la naturaleza. • Ernest Lamarle, un matemático belga –que era un experto en Geometría Diferencial- fue el que obtuvo algunas de las demostraciones matemáticas en los años 1860. Lamarle demostró que de el principio de área mínima se deducían todas las leyes que Plateau había observado. • Para los matemáticos rigurosos la historia no termina aquí: en particular volvió a aparecer en la agenda de Fred Almgren, 100 años después de Lamarle. Fred Almgren emprendió la tarea de perfeccionar las demostraciones de Lamarle y de otros en el estudio de las superficies minimales. • Otra parte de la herencia de Almgren se puede encontrar en las sucesivas generaciones de sus estudiantes de doctorado (Jean Taylor, Frank Morgan, …).

24. El Teorema de la pompa doble A B ¿ Cual es la mejor?

25. ¿Cuál es la pompa de jabón más grande que se ha hecho?

26. ¿Cuál es la pompa de jabón más grande que se ha hecho? • El Profesor Bubbles ha conseguido hacer una pompa que encierre a 5 personas dentro. • El procedimiento es usar un aro (hula-hoop) y llenar con una solución jabonosa una piscina infantil.

27. ¿Cuál es la pompa de jabón más grande que se ha hecho? • Otra técnica es construir un gran arco de película jabonosa de modo que encierre a dos personas de pie que estén separadas aproximadamente metro y medio.

28. ¿Cuál es la pompa de jabón más grande que se ha hecho? • En el libro Guiness de los records figura la pompa más larga construida por David Stein que tiene unos 14 metros de larga y medio metro de diámetro.

29. Espumas Reticulo hexagonal con obstaculo Reticulo hexagonal

30. Panales de abejas

31. Alas de insecto

32. La celda de Kepler y la celda de Fejes Toth

33. Tres teselaciones regulares

34. Teselaciones Arquimedianas

35. Lord Kelvin

36. La conjetura de Lord Kelvin.

37. El contraejemplo de Wearie y Phelan (1).

38. El contraejemplo de Wearie y Phelan(2)

39. El contraejemplo de Wearie y Phelan(3)

41. Empaquetamientos.

42. Cuántas bolas unitarias se pueden empaquetar en una caja de tamaño y forma fija?

43. Empaquetamientos infinitos.

44. Distribución óptima de 6 esferas. • ¿Qué empaquetamien-to de seis bolas es más denso y cuál es ópti-mo, si se busca que el volumen de su envol-tura convexa sea míni-mo?

45. Un empaquetamiento denso de 56 bolas, pero no el más denso.

46. Empaquetando 56 bolas. • El empaquetamiento en forma de “octae-dro” de arriba es más denso que el e forma “piramidal”.