Ekonometria predn ka 2
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 23

EKONOMETRIA PREDNÁŠKA 2 PowerPoint PPT Presentation


  • 75 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

EKONOMETRIA PREDNÁŠKA 2. LINEÁRNY EKONOMETRICKÝ MODEL S DVOMI PREMENNÝMI. Obsah prednášky:. LINEÁRNY EKONOMETRICKÝ MODEL S DVOMI PREMENNÝMI 2.1 Predpoklady lineárneho ekonometrického modelu s dvomi premennými 2.2 Odhad parametrov lineárneho ekonometrického modelu s dvomi premennými

Download Presentation

EKONOMETRIA PREDNÁŠKA 2

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Ekonometria predn ka 2

EKONOMETRIAPREDNKA 2

LINERNY EKONOMETRICK MODEL SDVOMI PREMENNMI


Ekonometria predn ka 2

Obsah prednky:

LINERNY EKONOMETRICK MODEL SDVOMI PREMENNMI

2.1 Predpoklady linerneho ekonometrickho modelu sdvomi premennmi

2.2 Odhad parametrov linerneho ekonometrickho modelu sdvomi

premennmi

2.3 tatistick vlastnosti odhadovej funkcie najmench tvorcov

Otzky k2. PREDNKE


Ekonometria predn ka 2

Najjednoduchm ekonometrickm modelom je linerny model, vktorom je jedna premenn Y zvisl iba od jednej nezvisle premennej X aaditvnej nhodnej poruchy:

(2.1)

Pri modelovan ekonomickch vzahov sa len mlokedy stretneme stakmto jednoduchm modelom, budeme sa nm podrobne zaobera hlavne kvli jeho jednoduchosti,nzornosti amonosti grafickho znzornenia. Zmodelu (2.1) vyplva, e podmienen stredn hodnota endognnej premennej Y je linernou funkciou exognnej premennej X:

(2.2)

Zo vzahu (2.2) je zrejm, e srastom premennej X rastie vpriemere aj premenn Y. Oznaenie vpriemere znamen, e niektor pozorovania endognnej premennej nemusia nutne rs srastom premennej X. Odchlky endognnej premennej od podmienenej strednej hodnoty t.j. od hodnoty endognnej premennej leiacej na skutonej regresnej priamke, mono vyjadri:

(2.3)


Ekonometria predn ka 2

(2.4)

kde ui je nhodn premenn, ktor sa nazva nhodnou poruchou, nhodnou chybou. Zo vzahov (2.2) a(2.4) vyplva:

(2.5)

Zo vzahu (2.5) vyplva, e i - t hodnota endognnej premennej Y sa rovn priemernej hodnote Y vetkch pozorovan shodnotou exognnej premennej Xi plus nhodn odchlka ui, ktor me ma kladn aj zporn hodnotu:

(2.6)

Zo vzahu vyplva e rovnica plat ako rovnos len vtedy ak :

(2.7)

to znamen, e podmienen stredn hodnota nhodnej poruchy sa rovn nule, a vyplva zpredpokladu, e regresn priamka prechdza cez podmienen stredn hodnoty endognnej premennej. Onhodnej poruche sme zatia predpokladali, e vyjadruje shrnn vplyv tch premennch, ktor neboli do modelu zrznych dvodov zaraden. Mnoho znezaradench premennch (hoci meratench) psobia navzjom protichodne, take ich vsledn efekt na endognnu premenn, zahrnut do nhodnej zloky je mal a zanedbaten anesystematick.


Ekonometria predn ka 2

Vchovan endognnej premennej (aj pri zaraden vetkch vysvetujcich premennch), existuje urit nhodnos, ktor sa ned vysvetli. Ekonometrick modeli s vkonenom dsledku modelmi sprvania ud vrznych ekonomickch lohch, ako spotrebiteov, vrobcov, investorov... . Ich sprvanie nie je plne racionlne abez zvyku vysvetliten apredvdaten. Nhodn porucha obsahuje teda vplyv vetkch nezaradench vysvetujcich premennch, ale aj tto ist nhodnos vsprvan ekonomickch subjektov.


Ekonometria predn ka 2

2.1 Predpoklady linerneho ekonometrickho modelu sdvomi premennmi

Ak predpokladme, e ekonomick hypotza je formulovan ekonometrickm modelom vtvare linerneho regresnho modelu, amme kdispozcii n pozorovan hodnt premennch Y aX, meme model (2.1) prepsa do tvaru:

(2.8)

i = 1,2, ... , n

Komplexn pecifikcia linerneho regresnho modelu predpoklad okrem pecifikcie linerneho vzahu, aj pecifikciu rozdelenia pravdepodobnosti nhodnch porch ui, ako aj predpoklad otom, ako s generovan hodnoty exognnej premennej X. Tieto informcie je mon sformulova do zkladnch, tzv. klasickch predpokladov linerneho modelu:

Predpoklad 1: Nhodn poruchy maj vo vetkch pozorovaniach nulov stredn hodnotu:

i = 1,2, ... , n

(2.9)

Predpoklad 2: Rozptyl nhodnch porch je vo vetkch pozorovaniach rovnak (kontantn):

i = 1,2, ... , n

(2.10)


Ekonometria predn ka 2

Predpoklad 3: Nhodn poruchy nie s navzjom korelovan, tz. ich kovariancie s rovn nule

i = 1,2, ... , n

(2.11)

Predpoklad 4: Exognna (vysvetujca) premenn X je nenhodn, t.j. jej hodnoty Xi s vopakovanch vberoch fixn, rozptyl jej hodnt okolo priemeru je nenulov.

Predpoklad 5: Nhodn poruchy maj normlne rozdelenie:

(2.12)

Splnenia tchto predpokladov zaruuje, e metdy odhadu parametrov linerneho modelu maj urit dobr vlastnosti, ak nie s splnen, odhady parametrov strcaj niektor z tchto dobrch vlastnost. Predpoklady 1 a 5 predstavuj poiadavky klasickej tatistiky, ktor vak vekonometrii nemusia by vdy splnen, pretoe ekonomick dta nie s generovan kontrolovanm experimentom. Metdy klasickej tatistiky boli vyvinut pre ely analzy experimentlnych dt, ktor predpoklady 1 a 5 spaj.


Ekonometria predn ka 2

Splnenie predpokladu 1 znamen, e nhodn premenn ui m vo vetkch pozorovaniach nulov stredn hodnotu. Predpoklad 2 sa oznauje ako predpoklad homoskedasticity. Poda neho maj nhodn poruchy vo vetkch pozorovaniach rovnak rozptyl , ktor vak nepoznme. Linerny model (2.8) m teda nie dva, ale tri neznme parametre a . Variabilitu nhodnch porch je mon vypota:

(2.13)

V prpade poruenia tohto predpokladu (ak neplat), nhodn poruchy nemaj kontantn rozptyl model je heteroskedastick. Heteroskedasticita je typick najm pre prierezov dta, uasovch radov sa vyskytuje vmenej miere.

Predpoklad 3 sa vzahuje kvlastnosti nhodnch porch oich vzjomnej neskorelovanosti, (nulovej kovariancie):

(2.14)

Ak plat vzah (2.14), znamen to, e pre nhodn poruchy zrznych pozorovan s nezvisl. Vopanom prpade, ak vzah (2.14) neplat, hovorme o sriovej korelcii nhodnch porch resp. autokorelcii.

Autokorelcia (podobne ako heteroskedasticita) teda oznauje situciu, ke vsprvan nhodnch porch je prtomn urit systematick prvok.


Ekonometria predn ka 2

Predpoklad 4 definuje poiadavku pre vysvetujcu premenn, pre ktor plat, e nie je generovan nhodnm procesom. Znamen to, e vysvetujca premenn je nestochastick, alebo ak aj jestochastick, nie je korelovan snhodnou poruchou tj.:

(2.15)

Posledn predpoklad 5 onormlnom rozdelen nhodnch porch, vyplva zchyby pecifikcie vysvetujcich premennch achb merania, priom obidve chyby s stom vekho potu nhodnch premennch, ktor spsobuj mal odchlky endognnej premennej od jej nenhodnej asti .

Rozdelenie takto definovanch nhodnch porch vyplva zcentrlnej limitnej vety, poda ktorej rozdelenie stu nhodnch premennch konverguje srastom potu lenov stu knormlnemu rozdeleniu. Normalita rozdelenia nhodnch porch je vchodiskom pre tatistick indukciu modelu (testovanie parametrov modelu aj modelu ako celku, intervalov odhady parametrov...).


Ekonometria predn ka 2

2.2 Odhad parametrov linerneho ekonometrickho modelu sdvomi

premennmi

Odhady parametrov linerneho modelu (2.1) budeme oznaova . . Hodnoty skutonch parametrov nepoznme, ale na zklade nhodnho vberu dvojc pozorovan premennch Y, X je mon ich tatisticky odhadn vtvare vberovej regresnej priamky

(2.16)

Rozdiel medzi skutonou hodnotou endognnej premennej Yi avyrovnanou (leiacou na priamke) , budeme oznaova ei anazva reziduly:

(2.17)

Pre odhad parametrov je zrejme najdleitejie vybra kritrium pre odhad vberovej regresnej priamky. Od takejto priamky oakvame, e najlepie vyrovn (vystihne) skuton zvislos medzi premennmi Y a X, priom by bolo elaten, aby kad odchlka vprocese minimalizcie bola penalizovan merne k jej vekosti. Tto vlastnos spa metda najmench tvorcov zaloen na kritriu minimalizcie stu tvorcov odchlok:


Ekonometria predn ka 2

(2.18)

minimum

Toto kritrium vyhovuje poiadavke, aby penalizcia vch odchlok bola prsnejia ako uodchlok mench. Ak napr. urit odchlka je p krt via ako in, posudzuje sa a dvadsap krt prsnejie.

loha (2.18) je zmatematickho hadiska hadanie vonho extrmu funkcie :

(2.19)

Extrm funkcie (2.18) resp. (2.19) obvykle rieime formulciou podmienok existencie extrmu: prv parcilne derivcie poda neznmych parametrov polome rovn nule t.j.:

(2.20)


Ekonometria predn ka 2

(2.21)

pravou sstavy (2.21) zskame tzv. normlne rovnice metdy najmench tvorcov:

(2.22)

Vydelenm prvej rovnice potom pozorovan n dostaneme

(2.23)

(2.24)


Ekonometria predn ka 2

To znamen, e regresn priamka prechdza bodom so sradnicami rovnmi priemerom premennch Y aX t.j. ().

Rieenm sstavy (2.22) zskame odhady parametrov linerneho ekonometrickho modelu

tak, e vynsobme prv rovnicu adruh rovnicu vynsobme potom pozorovan n

(2.25)

aodpotame prv rovnicu od druhej:

(2.26)

Zo vzahu (2.26) po prave dostaneme:


Ekonometria predn ka 2

(2.27)

Vypotan hodnotu parametra b1 zo vzahu (2.27), dosadme do rovnice (2.23), zktorej po prave dostaneme vzah pre vpoet druhho parametra b0:

(2.28)


Ekonometria predn ka 2

2.3 tatistick vlastnosti odhadovej funkcie najmench tvorcov

Bodov odhady parametrov, ktor sme zskali vyie popsanm spsobom, s linernymi funkciami pozorovan nhodnej endognnej premennej Y apozorovan fixnej exognnej premennej X. Odhadnut regresn priamka je len jednou zmnohch priamok, ktormi je mon preloi korelan pole dajov (Xi, Yi) kde i = 1, 2, ... , n.

Vsledkom metdy najmench tvorcov s estimtory parametrov linernej regresnej funkcie vo forme bodovch odhadov , ktor sa mu od skutonch hodnt li. Je preto potrebn overi, i estimtory maj poadovan vlastnosti, ktor musia spa.

Pripomeme si niektor zkladn teoretick poiadavky tatistickej indukcie ovlastnostiach estimtorov. Predpokladajme, e odhadujeme neznmy parameter

zvberovho sboru dajov

aozname jeho hodnotu


Ekonometria predn ka 2

Pri posudzovan vlastnost estimtorov sa najastejie vyuvaj tieto charakteristiky:

  • Stredn hodnota

  • Rozptyl

  • Vberov chyba = , vyjadruje rozdiel medzi skutonou hodnotou parametra ajej odhadom.

  • Skreslenie, t.j. rozdiel medzi strednou hodnotou estimtora askutonou hodnotou parametra:

  • Stredn tvorcov chyba MSE (Mean Square Error), ktor meria rozptyl estimtora okolo skutonej hodnoty parametra:

  • Aby mohli by estimtory vyuiten vekonometrickej analze ekonomickch javov musia spa urit poadovan tatistick vlastnosti:

    • neskreslenos (nestrannos, nevychlenos)

    • vdatnos, efektvnos

    • konzistentnos

    • asymptotick neskreslenos

    • asymptotick vdatnos


Ekonometria predn ka 2

Neskreslenos je zkladnou poiadavkou bodovch odhadov, vyjadrujcou vlastnos, kedy stredn hodnota odhadovanho parametra sa rovn skutonej hodnote parametra:

resp. pre parametre linerneho modelu

Niekedy sa neskreslenos oznauje ako odhad bez systematickej chyby, kedy odhad nepodhodnocujeme ani nenadhodnocujeme. Naopak skreslen odhady s zaaen systematickou chybou. Samotn vlastnos vak ete nezaruuje, e neskreslen odhad je dobr. Je preto iaduce, aby sme okrem skreslenosti posudzovali aj jeho rozptyl, lebo asto neskreslen estimtor me ma tak vek rozptyl, e konkrtny odhad je prli vzdialen od skutonej hodnoty. Dokonca estimtor smalm skreslenm avemi malm rozptylom by sme niekedy preferovali.


Ekonometria predn ka 2

Vdatnos (efektvnos) estimtora nazvame vlastnos, kedy jeho rozptyl je men alebo rovnak, ako rozptyl akhokovek inho neskreslenho estimtora. Ozname ubovon nestrann estimtor , potom je vdatn estimtor ak plat:

resp. pre parametre linerneho modelu je mon ich variabilitu uri:


Ekonometria predn ka 2

Rozptyly estimtorov b0 a b1s priamo mern rozptylu nhodnch porch a nepriamomern sume tvorcov odchlok exognnej premennej Xi ad jej priemeru. Znamen to, e m je men rozptyl nhodnch porch, tm presnejie bud odhady parametrov, naopak m via bude variabilita exognnej premennej, tm presnejie odhadneme parametre modelu.

Konzistentnos je vlastnos estimtora, kedy poadujeme aby srastom pozorovan , platilo pre pravdepodobnos, e odhad sa od skutonho parametra bude li, konverguje knule, resp. pravdepodobnos, e odhad sa od skutonho parametra li nebude, konverguje kjednej. Inmi slovami estimtor je konzistentn, ak jeho rozdelenie pravdepodobnosti srastom vekosti vberovho sboru sa degeneruje do jednho bodu, ktorm je skuton parameter .

Asymptotick neskreslenos, je vlastnos estimtora, kedy srastom vberu konverguje jeho stredn hodnota kskutonmu parametru t.j. plat:

Ak je parameter neskreslen, je aj asymptoticky neskreslen, naopak to plati nemus.


Ekonometria predn ka 2

Asymptoticky vdatn je estimtor ak je konzistentn, jeho asymptotick rozdelenie pravdepodobnosti m konen stredn hodnotu akonen rozptyl aneexistuje iadny in konzistentn estimtor, ktor m men asymptotick rozptyl ako tento estimtor. Ak vyuijeme podobn symboliku ako pri vdatnosti, mus plati:

Linerny regresn model m okrem parametrov aj al neznmi parameter rozptyl nhodnch porch

Pri jeho vpote vyjdeme z odpotania spriemerovanej rovnice (2.24) od pvodnej rovnice (2.8), priom po prave dostaneme:

(2.29)

ak plat:

(2.30)

(2.31)

vypotame stredn hodnotu stu tvorcov rezidulov ztvaru (2.31) a po prave dostaneme:


Ekonometria predn ka 2

Na zklade tohto postupu je mon odvodi odhad rozptylu nhodnch porch pomocou neskreslenho estimtora s2 :

(2.32)


Ekonometria predn ka 2

aodhady rozptylov parametrov:

(2.33)

PRLOHA K PREDNKE 2: Prklad 2.1


Ekonometria predn ka 2

  • Otzky k2. PREDNKE

  • Uvete strune definciu klasickch predpokladov linerneho ekonometrickho modelu.

  • Popte problmy nesplnenia predpokladov linerneho ekonometrickho modelu.

  • Charakterizujte odhad parametrov linerneho ekonometrickho modelu metdou najmench tvorcov.

  • Formulujte tatistick vlastnosti odhadovej funkcie najmench tvorcov.

  • Ktor charakteristiky sa najastejie pouvaj pri posudzovan vlastnost estimtorov najmench tvorcov .

  • Ak vlastnosti musia spa estimtory aby boli pouiten vekonometrickej analze ekonomickch javov.

  • Charakterizujte neskreslenos.

  • Charakterizujte vdatnos.

  • Charakterizujte konzistentnos.

  • Dokte, e tvorcov chyba estimtora je stom jeho rozptylu atvorca jeho skreslenia.


  • Login