Distribuição Gama

1. Distribuição Gama • Qual é a distribuição do tempo em que ocorre a 3a chegada em um Processo de Poisson de taxa l?

2. Distribuição Gama • A distribuição Gama com parâmetros a e l tem densidade f(x) = laxa–1e–lx/G(a), para x>0. • No caso em que a é inteiro, G(a) = (a-1)! e X tem a distribuição da soma de a variáveis independentes com distribuição exponencial de parâmetro l.

3. Distribuição Normal • A distribuição normal padrão é a distribuição da variável aleatória Z de densidade • Notação: Z ~ N(0, 1) EZ = 0, Var Z = 1

4. Distribuição Normal • Uma variável X tem distribuição normal com parâmetros m (média) e s2 (variância) quando é da forma X = sZ + m, onde Z~N(0,1) • Notação: X~N(m, s2)

5. Distribuição Normal • Qual é a densidade da distribuição X~N(m, s2)? • De modo geral, qual é a densidade de g(X), onde g é uma função inversível e X é uma v. a. de densidade f?

6. Transformando uma v. a. • A densidade de Y = g(X) é dada por onde x é tal que g( x) = y.

7. Transformando uma v.a. • Caso particular: Se X tem densidade f, então Y = aX + b (a>0) tem densidade X X= Y/2 Y = 2X Y

8. Densidade da distribuição normal • A densidade da v.a. X com distribuição normal N(m, s2) é

9. Exemplo • As notas dos alunos em um teste têm distribuição normal com média 70 e desvio padrão 10. • Se um aluno for escolhido ao acaso, qual é a probabilidade de que sua nota seja maior que 85? • Qual é a nota correspondente ao percentil 95%?

10. V. A. Multidimensionais • Exemplo: moeda honesta lançada 3 vezes X = número de caras Y = número de transições Qual é a probabilidade de que X = 2 e Y =1?

11. V. A. Multidimensionais • Não se pode responder (em geral) a partir das distribuições individuais (marginais) de X e Y. • Pode-se responder com base na distribuição de (X, Y), também chamada de distribuição conjunta de X e Y.

12. Distribuição Conjunta

13. Distribuição Conjunta

14. Distribuição Conjunta P(X=2 e Y =1) = 2/8

15. Distribuição Conjunta • A distribuição conjunta de X = (X1, X2, ..., Xn) completamente caracteriza probabilidades envolvendo X1, X2, ..., Xne quaisquer subconjuntos delas (distribuições marginais).

16. Distribuição Conjunta

17. Distribuição Conjunta

18. Função de Distribuição Acumulada • A distribuição conjunta de X = (X1, X2, ..., Xn)é completamente caracterizada pela sua função de distribuição acumulada. FX1, X2, ... Xn (x1, x2, ..., xn) = P(X1  x1, X2  x2, ..., Xn xn) • Exemplo FX1(x1) = ?

19. Função de Distribuição Acumulada • A distribuição conjunta de X = (X1, X2, ..., Xn)é completamente caracterizada pela sua função de distribuição acumulada. FX1, X2, ... Xn (x1, x2, ..., xn) = P(X1  x1, X2  x2, ..., Xn xn) • Exemplo FX1(x1) = limx2, ..., xn FX1, X2, ... Xn (x1, x2, ..., xn)

20. Tipos de distribuição conjunta • Discretas Quando existe um conjunto enumerável A = {x1, x2, ...} tal que P(XA) = 1. Neste caso, P(XB) = xiB P(X = xi)

21. Tipos de distribuição conjunta • Discretas Quando existe um conjunto enumerável A = {x1, x2, ...} tal que P(XA) = 1. Neste caso, P(XB) = xiB P(X = xi) • Contínuas Quando existe uma função de densidade f tal que Neste caso:

22. Exemplo • Um ponto (X, Y) é escolhido no quadrado unitário com densidade proporcional a x+y. • Qual é a função de densidade? • Qual é a probabilidade de que X seja menor que 1/2?

23. Propriedades • Esperança de funções de v.a. multidimensionais E(g(X)) = Sig(xi) P(X=xi) (discreta) E(g(X)) = Rng(x) fX(x) dx(contínua) • Casos particulares: • EX = R2x fX,Y(x,y) dy dx • E(X+Y) = R2(x+y) fX,Y(x,y) dy dx == R2x fX,Y(x,y) dy dx + R2y fX,Y(x,y) dy dx = EX +EY

24. Propriedades • Em geral, E (XY)  EX EY • Mas E(XY) = EX EY se X e Y são independentes.

25. Observação • X, Y independentes  E(XY) = EX EY • E(XY) = EX EY  X, Y independentes não correlacionadas

26. Covariância e Correlação • Cov(X, Y) = E(X–EX)(Y–EY) = = E(XY) – EX EY • r(X, Y) = Cov(X,Y)/s(X)s(Y) • Teorema: –1 ≤ r(X, Y) ≤ 1

27. Exemplo • As variáveis aleatórias X e Y têm distribuição conjunta de densidade fX,Y(x,y) = x+y, para 0 < x, y < 1 • Quais são as distribuições marginais de X e Y? • Qual é a covariância de X e Y? • Qual é o coeficiente de correlação de X e Y? • Qual é a distribuição condicional de X dado Y? • X e Y são independentes?