La teoría de la gravitación universal: una revolución científica

1. Pitágoras nació en Samos hacia el año 569 a.C. La teoría de la gravitación universal: una revolución científica La concepción pitagórica del universo y el modelo aristotélico  La escuela pitagórica explicó la estructura del universo en términos matemáticos  El gran fuego central, origen de todo, se relacionaba con el Uno, origen de los números  A su alrededor girarían la Tierra, la Luna, el Sol y los planetas  El periodo de revolución de la Tierra en torno al fuego central era de 24 horas, a quien le ofrecía siempre su cara oculta  Los periodos de la Luna y el Sol eran un mes y un año respectivamente  El universo concluiría en una esfera celeste de estrellas fijas, y más allá se encontraba el Olimpo  El número de cuerpos que formaban el universo era de 10 (obsesión por los números)  Como solo observaban nueve, suponían que el décimo estaba situado entre la Tierra y el gran fuego, al que llamaron Antitierra

2. La teoría de la gravitación universal: una revolución científica El modelo de Aristóteles  El universo estaba constituido por dos regiones esféricas, separadas y concéntricas  La Tierra que ocupaba el centro del universo, era la región de los elementos, fuego, aire, agua y tierra  Más allá de la esfera lunar se encontraba la región etérea de los cielos, cuyo único elemento era la incorruptible quinta esencia  Los movimientos de todos los astros situados en esferas concéntricas con la Tierra eran perfectos  El universo concluía con la esfera de las estrellas fijas

3. Estrella lejana  ’ Sol Tierra Paralaje anual de las estrellas fijas La teoría de la gravitación universal: una revolución científica El geocentrismo de Ptolomeo  Vivió en Alejandría en el siglo II y fue el más célebre astrónomo de la antigüedad  Las causas más importantes de los modelos geocéntricos frente a los heliocéntricos fueron: - La falta de cálculos y predicciones cuantitativas sobre las trayectorias de los planetas - Si la Tierra no fuese el centro del universo, a lo largo de su recorrido habría estrellas que tendrían que verse bajo distintos ángulos. Este fenómeno se denomina paralaje de las estrellas fijas  Ptolomeo justificó su modelo calculando los movimientos planetarios y predi-ciendo eclipses de Sol y de Luna

4. Luna Tierra La teoría de la gravitación universal: una revolución científica El modelo de Ptolomeo. Excentricidad de las trayectorias  Las estrellas se describen como puntos en la esfera celeste que giran en torno a la Tierra y mantienen las distancias fijas entre ellos, lo que justifica que pertenezca a una única esfera hueca  El Sol y la Luna presentan un movimiento diferente  Ptolomeo introdujo la excentricidad de las trayectorias, es decir, un desplazamiento del centro de la órbita (Ex) respecto al centro de la Tierra t  La velocidad angular de las trayectorias debía se constante respecto de un punto fuera del centro de la trayectoria, artificio que denominó ecuante (Ec) Ec Ex  Estos ajustes explican las diferencias de brillo y tamaño que se observan en el Sol y la Luna, y los cambios de velocidad del Sol a lo largo de su trayectoria

5. La teoría de la gravitación universal: una revolución científica El modelo de Ptolomeo. Eclíptica y epiciclos  Ptolomeo observó que los planetas realizaban movimientos retrógrados, volviendo sobre su trayectoria formando lazos en la esfera celeste  Para justificarlo utilizó un movimiento compuesto por dos rotaciones  El planeta giraba alrededor de un punto que era el que en realidad rotaba con respecto a la Tierra  La órbita alrededor de la Tierra se denomina eclíptica y la del planeta epiciclo  Un modelo sencillo de epiciclos no daba respuesta a las caprichosas órbitas de algunos planetas, por lo que hubo que introducir varios epiciclos, e incluso epiciclos dentro de otros epiciclos

6. I I H H I G G D C F F H E E E B D D G F C C B B A A A La teoría de la gravitación universal: una revolución científica Copérnico. Movimiento retrógrado de los planetas  Desde la Tierra se apreciaba que planetas como Mercurio y Venus, que están más cercanos al Sol, tenían un brillo variable a lo largo del año, lo que parecía indicar que las distancias con respecto a la Tierra variaban y por tanto no podían girar alrededor de esta; se llegó a la conclusión que todos los planetas tenían que girar alrededor del Sol  Este planteamiento le permitió justificar el movimiento retrógrado de los planetas para el que Ptolomeo había introducido los epiciclos

7. Galileo nació en Pisa en 1564 La teoría de la gravitación universal: una revolución científica Galileo  Galileo consiguió observar las fases de Venus con la ayuda de un telescopio, convirtiéndose así en el primer defensor a ultranza del sistema copernicano  Encontró infinidad de estrellas nunca vistas hasta entonces y llegó a descubrir la deformidad de la Luna y su superficie rugosa  En 1610 Galileo descubrió los satélites de Júpiter, confirmando así que la Tierra no era el centro del universo  En 1632 publicó en Florencia su obra Diálogo sobre los dos grandes sistemas del mundo  Un año después fue procesado por la Inquisición

8. Perihelio Afelio Foco Eje menor    Sol b  La posición del extremo del semieje mayor más alejada del Sol se llama afelio a Eje mayor  La posición más cercana, es el perihelio Primera ley:Los planetas describen órbitas elípticas alrededor del Sol, estando situado este, en uno de sus focos La teoría de la gravitación universal: una revolución científica Las leyes de Kepler. Primera ley  Tras cuatro años de observaciones sobre Marte, llegó a la conclusión de que los datos colocaban las órbitas ocho minutos de arco fuera del esquema circular de Copérnico  Comprobó que este hecho se repetía para todos los planetas  Descubrió que la elipse era la curva que podía definir el movimiento planetario

9. A A Segunda ley:El radiovector dirigido desde el Sol a los planetas, barre áreas iguales en tiempos iguales Sol  El módulo del producto vectorial de 2 vectores es el área del paralelogramo que forman. 1 de enero 30 de julio Para un triángulo:  Como en el sistema podemos considerar que no hay fuerzas externas, entonces y por tanto . A partir de aquí se deduce que la velocidad areolar también es constante ya que es: 1 de julio 30 de enero siendo dA/dt la velocidad areolar La teoría de la gravitación universal: una revolución científica Segunda ley de Kepler  Kepler observó que la velocidad de los planetas dependía de su posición en la órbita

10. Tercera ley:Los cuadrados del periodo de revolución de los planetas alrededor del Sol (T) son proporcionales a los cubos de los semiejes mayores, o radios medios, de sus órbitas (a), T2 = Kr3 siendo K una constante igual para todos los planetas  Como el sistema solar es un sistema aislado de fuerzas,  = 0, por tanto se conserva el momento angular = cte La teoría de la gravitación universal: una revolución científica Tercera ley de Kepler  Sirvió como base de la ley de Newton de la gravitación universal, y permitió calcular la masa de los planetas  Cada planeta, parecía tener su órbita propia y su velocidad independiente del resto. Buscó la regla y encontró la solución en las medidas de Tycho Brahe  Esta ley muestra la relación entre los tamaños de las órbitas y el tiempo empleado por los planetas en recorrerlas  La conservación de la dirección y el sentido obliga a que los planetas siempre giren en el mismo sentido y en órbitas planas  La conservación del módulo justifica la ley de las áreas

11. Video leyes de Kepler

12. m h r R La teoría de la gravitación universal: una revolución científica Newton y la gravitación universal  La atracción de la esfera actúa como si toda su masa estuviese concentrada en el centro  Si M es la masa de la Tierra y R su radio, la fuerza ejercida sobre un cuerpo de masa m situado a una altura h sobre su superficie responde a la ley de Newton:  A partir de esta ley, Newton pudo explicar fenómenos tales como: - la protuberancia de la Tierra y de Júpiter a causa de su rotación - el origen de las mareas - las trayectorias de los planetas - la variación de la gravedad con la altura - el cambio en el eje de rotación de la Tierra, etc

13. (1) (2) La teoría de la gravitación universal: una revolución científica Aplicaciones de la ley de la gravitación Cavendish verificó experimentalmente el valor de la constante G, y a partir de su valor, se puede deducir la tercera ley de Kepler de la gravitación universal de Newton  En el sistema formado por un planeta en su giro en torno al Sol, la única fuerza que mantiene a los planetas en su órbita es la fuerza centrípeta  Despejando v resulta: que es la velocidad de un planeta o satélite girando en una órbita de radio r alrededor de un cuerpo de masa M  Como v es aproximadamente constante:  Igualando (1) y (2):  Este resultado permite calcular la masa de cualquier planeta conocido el período y el radio de uno se sus satélites  Si M es la masa del Sol, el valor de la constante coincidirá con el valor que calculó Kepler

14. Calcula la masa del Sol, sabiendo que la distancia media de la Tierra al Sol es de 1,496.1011 m Datos: G = 6,67.10-11 Nm2/kg2 ; T = 1 año = 365,25 días La teoría de la gravitación universal: una revolución científica Aplicación al cálculo de la masa del Sol  Cálculo del período de la Tierra alrededor del Sol: T = 1 año = 365,25 días/año . 24 (horas/día) . 60 (min/h . 60 (s/min) = 31557600 s  Aplicación de la 3ª ley de Kepler:  Sustituyendo datos: Msol = 1,98.1030 kg

15. Un satélite artificial gira en torno a la Tierra a una distancia del centro igual a tres veces el radio de esta. Sabiendo que la masa de la Tierra es 5,98.1024 kg, ¿cuál es el período del satélite? Datos: G = 6,67.10-11 Nm2/kg2 ; R = 6370 km 2R R Dado que T = 2,63.104 s = 7,3 horas La teoría de la gravitación universal: una revolución científica Aplicación al cálculo del período de un satélite El radio de la órbita es r = 3R La fuerza de atracción es la fuerza centrípeta, es decir: FG = Fc

16. Las 3 masas de m1, m2, y m3 de la figura tienen 100 g cada una. La escala de la gráfica está en centímetros. Calcular la fuerza que se ejerce sobre m3 y Datos: G = 6,67.10-11 Nm2/kg2 m2 m1 m3 x X = 2 X = - 3 En total: FT = F1, 3 + F2, 3 = 1,934.10-9 N  FT = 1,934.10-9 N La teoría de la gravitación universal: una revolución científica Aplicación al cálculo de la fuerza de atracción sobre una masa La masa m1 está 0,05 cm de la masa m3 y ejerce sobre ella la fuerza La masa m2 está 0,02 cm de la masa m3 y ejerce sobre ella la fuerza

17. Cuatro masas de 2 kg cada una están situadas en los vértices de un cuadrado de 1 m de lado. Calcular la fuerza que se ejerce sobre cada masa como resultado de las interacciones de las otras Datos: G = 6,67.10-11 Nm2/kg2 1 m m m F1 = F2 cuya suma es F’ = F1 y por tanto: F’ = 4 G m m luego: F3 = 2 G FT = F’ + F3 FT = 4 G + 2G = 7,66 G FINAL FT = 7,66 G (N) La teoría de la gravitación universal: una revolución científica Aplicación al cálculo de la fuerza ejercida sobre cada masa Por la geometría de la figura, se cumple que: La primera fuerza es: La tercera fuerza es: La fuerza total será: