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Magnetooszillationen Shubnikov-de-Haas Oszillation Vera Gramich und Caroline Clement, 20.11.2008

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Magnetooszillationen Shubnikov-de-Haas Oszillation Vera Gramich und Caroline Clement, 20.11.2008. Gliederung:. 1. Motivation 2. Einführung Voraussetzungen Oszillation der Gesamtenergie Shubnikov-de-Haas Effekt (SdH) De-Haas-van-Alphen Effekt (dHvA) Ausblick QHE Zusammenfassung.

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Presentation Transcript
magnetooszillationen shubnikov de haas oszillation vera gramich und caroline clement 20 11 2008
Magnetooszillationen

Shubnikov-de-Haas Oszillation

Vera Gramich und Caroline Clement, 20.11.2008

gliederung

Gliederung:

1. Motivation

2. Einführung

Voraussetzungen

Oszillation der Gesamtenergie

Shubnikov-de-Haas Effekt (SdH)

De-Haas-van-Alphen Effekt (dHvA)

Ausblick QHE

Zusammenfassung

1 motivation
1. Motivation

SdH-Oszillation

2 einf hrung
2. Einführung
  • Magnetooszillationen:

z.B. SdH: Widerstand rxx oszilliert mit

dHvA: magnetisches Moment m oszilliert mit

QHE: keine Oszillationen, sondern Peaks im Widerstand rxx

Wichtig: Oszillation nicht mit B, sondern mit !!!

slide5
Grund: Gesamtenergie (Fermi-Energie) oszilliert mit

 jede aus der Energie ableitbare Größe oszilliert ebenfalls !!

  • Experimentelle Bestimmung der Fermiflächen aus diesen Effekten
3 voraussetzungen

3. Voraussetzungen

e-

B

Elektron muss mindestens eine Kreisbahn vollenden (klassisch)

 wct >> 1

dazu benötigt man: - hohes B-Feld

- lange Stoßzeit t

- tiefe Temperaturen T

QM: scharfe Besetzung der Energieniveaus 

4 oszillation der gesamtenergie 4 1 bahnquantisierung im ortsraum
QM :

e- durch Wellenfunktion beschrieben

 „Enden“ der Wellenfunktion

müssen „aufeinander“ passen

 Semiklassísche Behandlung:

Fläche und Radius der Bahn müssen quantisiert werden !!

Klassisch:

e- im B-Feld auf Kreisbahn

4. Oszillation der Gesamtenergie4.1 Bahnquantisierung im Ortsraum
hamiltonoperator l sen der station ren schr dingergleichung energieeigenwerte e n weg motiviert

von 2 Seiten aus gesehen 2-dim harmonischer Oszillator in x-y Ebene

  • Energieeigenwerte bekannt:

Quantisierte Energieeigenwerte:

.

e-

Hamiltonoperator:

 Lösen der stationären Schrödingergleichung Energieeigenwerte En

Weg motiviert:

.

Beobachter

Beobachter

Landau-Niveaus

slide9

B = 0:

B ≠ 0:

Umordnung der Zustände

Zustände bleiben aber erhalten !!

4 2 semiklassischer ansatz von onsager lifschitz
4.2 Semiklassischer Ansatz von Onsager & Lifschitz

Wie sehen die Elektronenbahnen aus?

  • kanon. Impuls:
  • Bohr-Sommerfeld-Quantisierung:
  • Kinetischer Term integriert:

Phasenkorrektur

feldimpuls term integriert insgesamt erhalten wir quantisierung des magnetischen flusses
Feldimpuls-Term integriert:

Insgesamt erhalten wir:

Quantisierung des magnetischen Flusses:

Flußquantum

Resultat:

Fluß in Einheiten von f0~ 4,14*10-15Tm2quantisiert !!

slide12

Im Ortsraum quantisierte Bahnen

Zwischenergebnis:

Bahn hat diskrete Fläche

Quantisierung des Flusses

Wie sieht quantisierte Bahn im k-Raum aus ?

4 3 bahnquantisierung im k raum

4.3 Bahnquantisierung im k-Raum

Experimenteller Befund: - Bahn in Ortsraum ~ B

- Bahn in k-Raum ~

Transformationsvorschrift:

Integration

Vorschrift für die Transformation der Länge eines Vektors vom Ortsraum in den k-Raum

slide14
Im k-Raum überstrichene Fläche:
  • Um welchen Betrag muss B zunehmen, dass 2 benachbarte Bahnen Sn-1 und Sn gleiche Flächen im k-Raum umschließen?

Fläche im k-Raum

Fläche im Ortsraum

  • Gleiche Zunahmen von D
  • Identische Bahnen im k-Raum
slide15
Merke:

Im Ortsraum quantisierte Bahnen ~ B

Im k-Raum quantisierte Bahnen ~

Physikalische Eigenschaften oszillieren mit

Wie wirkt sich das auf die Gesamtenergie des Systems aus?

4 4 umverteilung der zust nde im k raum
4.4 Umverteilung der Zustände im k-Raum
  • B = 0:
  • diskrete Punkte
  • Energieeigenwerte:
  • 1 Zustand hat Fläche :

Dichte der Punkte:

durch 2 Quantenzahlen bestimmt!

slide17
B ≠ 0: (hohes B-Feld)
  • diskrete Landau-Zylinder (3-dim)

diskrete Landau-Kreise (2-dim)

  • Energieeigenwerte:

nur noch durch eine Quantenzahl bestimmt!

slide18

 Zustände bleiben erhalten

  • Umverteilung:

zu festem n:

kx2 + ky2 = const

 Zahl der Zustände pro Quantenzahl n = Entartung:

mit

4 5 oszillation der gesamtenergie qualitativ
4.5 Oszillation der Gesamtenergie (qualitativ)

B = 0

B = B1≠ 0

Zustände bis EF besetzt

Energie erniedrigt um ins Niveau zu kommen

Energie erhöht um ins Niveau zu kommen

=

Gesamtenergie bleibt gleich !!

EF(B = 0)

EF(B = B1)

slide20

B = 0

B ≠ 0 = B2 > B1

B-Feld steigt an  Abstand der Landau-Niveaus wird größer

Keine Zustände, die Energie erniedrigt haben !!!

<

EF( B = 0)

Gesamtenergie erhöht !!!

EF( B = B2)

slide21

B = 0

B ≠ 0 = B3 > B2

Nur noch 2 Landau-Niveaus besetzt

=

EF( B = 0)

Gesamtenergie bleibt gleich !!!

EF( B = B3)

slide22

Teilweise besetzte Niveaus

 Gesamtenergie oszilliert als Funktion von B !!

vollständig besetzte Niveaus

4 6 oszillation der gesamtenergie quantitativ
4.6 Oszillation der Gesamtenergie (quantitativ)

Feld B0: s Landau-Niveaus besetzt;

Niveau s+1 teilweise besetzt

 EF liegt in Niveau s+1

B > B0: Entartung nimmt in den Niveaus s zu  aus Niveau s+1 wandern Zustände in niedrigere Niveaus s  wenn Niveau s+1 leer  EF springt ins Niveau s !

 bei bestimmten kritischen Feldern springt EF ins niedrigere Niveau !

slide24

Gesamtzahl der e-

- „kritische“ Felder, an denen EF springt:

- Gesamtenergie für Feld B:

Entartung

Zahl der besetzten Niveaus

slide25

Nur voll besetzte Niveaus

 Minimum der Gesamtenergie

teilweise besetzte LN

Voll besetzte LN

  • Gesamtenergie oszilliert mit
  • damit oszilliert jede aus der Energie ableitbare thermodyn.

Größe auch mit

5 shubnikov de haas effekt
5. Shubnikov-de-Haas Effekt

Gesamtenergie oszilliert mit

  • Zustandsdichte oszilliert ebenfalls
  • elektrische Leitfähigkeit hängt ab von Zustandsdichte an Fermienergie bzw. Widerstand r hängt ab von Streuprozessen nahe Fermienergie
  • Streuprozesse finden statt, falls Fermienergie in Landau-Niveau liegt
  • Widerstand r oszilliert mit :

mit

slide27
Starke Näherung: nur (s = 1)-Term

Oszillation des Widerstandes rxx

~1/B

Dämpfungsterm

Die Oszillationen sind demnach periodisch mit 1/B, ihre Amplitude wird für kleiner werdendes B-Feld exponentiell gedämpft !!!

slide29
Experimentelle Bestimmung der Fermiflächen:
  • aus Messungen der Oszillationen des Widerstandes mit (1/B) kann man die Extremalfläche S (Fermifläche) bestimmen:
  • Rekonstruktion der Fermiflächen möglich !
6 de haas van alphen effekt
6. De-Haas-van-Alphen Effekt

Gesamtenergie oszilliert mit 1/B

  • magnetisches Moment m oszilliert ebenfalls mit 1/B, da:
8 zusammenfassung
8. Zusammenfassung
  • semiklassische Betrachtung:

Bahn-Quantisierung im Ortsraum (2-dim. harmonischer Oszillator)

- Landau-Niveaus

  • Fluss hat quantisierte Einheit (hc/e)
  • entsprechende Bahn-Quantisierung im k-Raum,

d.h. Umordnung der Zustände auf Landau-Zylinder

  • mit steigendem B-Feld wird die Entartung größer
  • Gesamtenergie oszilliert mit 1/B

- dann oszilliert auch jede aus der Energie ableitbare Größe mit 1/B

z.B. SDH-Effekt: Widerstand oszilliert mit 1/B

dHvA-Effekt. Magnetische Moment oszilliert mit 1/B

ad