整体把握数学课程提高日常教学效率 —— 从高考视角说起

整体把握数学课程提高日常教学效率 ——从高考视角说起首都师范大学王尚志

问题 • 1、新课标卷的变化及应对。 • 2、数学教师应该具备什么样的素质，采取哪些教学策略，带出更多的数学高分学生？ • 3、湖南卷最后一道题如何分解难度？ • 4、文科学生要学习到什么程度才能突破填空题最后一题的最后一问和最后一个解答题？ • 5、怎样调节文科学生在感性思维和理性思维培养之间的矛盾? • 6、数学课是学校开课最多的科目，怎样才能从繁重的工作中解脱出来？ • 7、在高考题中解答题有可能出现哪些变化？ • 8、新课标中对数列、不等式、圆锥曲线中的双曲线等内容的要求明显降低，针对这些内容高考在命题方式上可能做哪些调整？

问题 • 高考复习 • 知识梳理——忘了？ • 专题深入 • 查漏补缺 • 攻关冲刺 • 心理疏导

问题 • 不增加学习时间和强度，有什么办法提高学习、教学效率？ • 如何让学生喜欢您——喜欢数学？ • 如何调动学生学习激情、主动精神？ • “做得快”是数学教育主要价值追求？ • 如何帮助学生学会学习？

目录 一、“重视基础”——高考试题趋势二、整体把握高中数学课程三、抓住数学本质四、通性通法五、帮助学生养成好习惯

一、“重视基础”——高考试题趋势 高考试题分类 1、基本题 2、把关题 3、难题 ——以数列试题为例

一、“重视基础”——基本题 • 高考的招生人数已达到70%的前提下，试卷的选拔功能必然发生变化，至少要能区分70% 以上的考生，淘汰不到30%的考生．数学优秀的考生会有其他的渠道选拔(如自主招生)，这样的选拔机制将得到不断的完善，高考不是选拔数学优秀学生主要渠道。 • 高考的“基本试题”应让全体考生都能入手，这些试题应该以实现高中数学课程目标的基本内容为载体，这些内容不仅是基本的，也是重要的，同时，在不同水平层面上显示学生数学学习水平。 • 在今年的试题中，这些“基本试题”在试卷中占有很大比例，以下选择一些典型的试题，分析其基本、重要，以及学习、理解时的差异，这些差异自然产生区分。

一、“重视基础”——基本题 • 例1，(2013年湖北理18)(12分) • 已知等比数列{an}满足：│a2﹣a3│=10，a1a2a3=125． • (Ⅰ)求数列{an}的通项公式； • (Ⅱ)是否存在正整数m，使得 • 若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由． • 例2，(2013年陕西理17). (本小题满分12分) • 设是公比为q的等比数列. • (Ⅰ) 推导的前n项和公式; • (Ⅱ) 设q≠1，证明数列不是等比数列. • 例3，(2013年陕西文19) 设Sn表示数列{an}的前n项和． • (Ⅰ) 若{an}为等差数列，推导Sn的计算公式； • (Ⅱ) 若a1=1，q≠0，且对所有正整数n，有 • 判断{an}是否为等比数列，并证明你的结论．

一、“重视基础”——基本题 • 在高中课程中，“函数内容”是主线之一，数列是最基本函数形式，其中，数列核心内容是对等差、等比数列认识。 • 以上三道数列的试题都是考察数列基本内容。（包括：知识认识、技能使用、思想渗透）

一、“重视基础”——基本题 • 例1，(2013年湖北理18)(12分) • 已知等比数列{an}满足： • │a2﹣a3│=10，a1a2a3=125． • (Ⅰ)求数列{an}的通项公式； • (Ⅱ)是否存在正整数m，使得 • 若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由．

一、“重视基础”——基本题 • 例3第一问是基本要求 • 问题的条件是等比数列{an}满足：│a2﹣a3│=10，a1a2a3=125，进而讨论等比数列的其他结果。 • 什么是反映等比数列的本质？ • 等比数列首项a1和公比q是最本质条件。为什么？ • 等比数列的定义：an =qan-1（n>2）。 • 这个式子又称为迭代公式，只要知道首项，就可求出任意一项的值，这个思想是求解绝大多数微分方程和差分方程基本思路。 • 在某些特定条件下，可以求出通项an的解析表达式，例如，等差、等比。 • 哪些数列能求出通项公式，可以查阅选修课“数列与差分”。 • 我们要使学生学会：用a1和q表示出条件中其它量。这个问题就变成由两个条件（方程）求两个未知数a1和q，如何求出a1和q，就会有区分，例如，有的学生会做的比较直接，可以从第二条件（a1q）3＝125求出a1q=5，第一个条件就变成q的一元方程，即（a1q）q；求出q ＝3、－1；a1 = 5/3、－5； • 故或an = 5(1)n1．

一、“重视基础”——基本题 • 例3第一问是基本要求 • 在日常教学中，一定要使学生学会：用a1和q表示出条件中其它量。一般我们称为“知三求二”，即在首项、等比值、项数n、通项、前n项和“知三求二” 。 • 这个问题就变成由两个条件（方程）求两个未知数a1和q，如何求出a1和q，就具有区分度。例如，有的学生会做的好一些，例如，可以先求出a1q，从第二条件（a1q）3＝125求出a1q=5； • 再由第一个条件，求解q的一元绝对值方程；求出q ＝3、－1；a1 = 5/3、－5。

一、“重视基础”——基本题 • 第二问需要两步思考. • 第一步，等比数列每一项倒数组成的数列仍是等比数列，虽然不难，会产生区分， • 第二步的思路：或否定以下不等式，或求解不等式，找出满足不等式的n值。 • 本题是前者。分两种情况：

一、“重视基础”——基本题

一、“重视基础”——基本题 • 例2，(2013年陕西理17)(本小题满分12分) • 设是公比为q的等比数列. • (Ⅰ) 推导的前n项和公式; • (Ⅱ) 设q≠1，证明数列不是等比数列. • 例3，(2013年陕西文19) (本小题满分14分) • 设Sn表示数列{an}的前n项和． • (Ⅰ) 若{an}为等差数列，推导Sn的计算公式； • (Ⅱ) 若a1=1，q≠0，且对所有正整数n，有 • 判断{an}是否为等比数列，并证明你的结论．

一、“重视基础”——基本题 • 例1和例2的第一问是基本内容不会有异议。 • 但是，这样问题仍会有区分度，有相当多的学生都不能推导出这些基本的公式。 • 有一些老师会质疑这不是鼓励“死记硬背”吗？恰恰相反，我们需要反复、深入理解这些基本内容含义，学好这些不是为了做题，做题是为了更好理解这些基本的内容，掌握高中数学，数学最重要的思想都是通过这些基本内容体现的。

一、“重视基础”——基本题 • 例1和例2的第二问也都是考察等比数列的概念，要求学生会使用等差、等比数列的定义进行判断。 • 例1的第二问容易一些，需要了解比的基本性质，两个数比值不为1时，两个分别加一个数，它们和的比值与原比值不等，这是分数不等性质一个推广。 • 例2的第二问要难一些，首先需要理解通项an与前n项和Sn的关系，即an＝Sn－Sn－1；前者反映了后者的变化，后者是前者的积累，用分析的术语，后者是前者的积分，前者是后者的“导数”。 • 在日常教学时，不是形式地介绍这些术语，而是用学生可以理解语言解释其意义；求解第二问还需要用到一个推理常识，否定一个结论，只需要举出一个反例，讨论一下：a2：a1 和a3：a2就可以了，通过简单因式分解就可以得到结果。这些要求应该是高中数学的基本要求。

一、“重视基础”——基本题 • 高考一个重要方向——考察基本结果 • 余弦定理 • 向量基本定理

一、“重视基础”——把关题 • 每份试卷都一些把关题，分布在选择题、填空题和解答题中，能否用基础内容设计好的数学试卷的把关题，是反映命题者命题水平高低的试金石． • 有些试卷把课程中一些非主干、次要的内容，超越一般性“理解”的范围作为载体考查，题目的难度也往往很高．这样做导向不好，应该导引教学回归课程基础内容、核心内容，让学生把这些基础的、核心的内容掌握得更好，重点掌握原理、思想、方法． • 因此，在高考命题中，对基础和核心内容的考查，无论是在内容比例还是分数权重上都应该是重点．即便是把关题，也最好是尽量难在基础和核心内容的考查上． • 数学试题难度可以反映在技巧上，也可以反映在思想理解上，希望命题者在后者下些功夫，这很具挑战。今年不少高考数学试卷中，都有一些很好的把关题．我们选了一道数列题进行分析。

一、“重视基础”——把关题

一、“重视基础”——把关题 • 本题以等比数列的部分项的和、积为背景，生成两个新数列。 • 首先，需要判断这两个新数列都是由原等比数列的连续m项构成，前一个是连续m项的和构成，后一个是连续m项的积构成； • 进而，分析两个新数列相邻两项有什么特点和关系，对等比数列连续m项和、积的认识是基础，等比数列连续m项和仍是等比数列和，仅仅是首项和项数不同，其和是个分式，很自然会分析数列{bn}相邻两项的比都不会是常数，不需要做具体计算，这是一种直觉，选项A、B显然错误。

一、“重视基础”——把关题 • 等比数列的连续项的积仍是指数幂的形式，底数不变，指数是连续m项等差数列的和，在等差数列日常教学，认识等差数列概念时，应该强调相邻项差一个公差d，间隔一项的两项差2d，首项与通项an（间隔n-2项）差（n－1）d，新数列每一项的指数为项的数列仍是等差数列（公差是m2），新数列一定是等比数列； • 最后，需要算一下公比，指数的公差m2产生的幂qm2，选前两项算一次就可以，这是考试技巧。

一、“重视基础”——难题 • 高考试卷中必然会有难题，用来区分高端考生．2013年多数高考试卷中都有好的、严格遵循课程标准和考试大纲的难题．以数学的核心内容、核心方法、核心思想可以命制不超纲区分高端考生的难题．

一、“重视基础”——难题

一、“重视基础”——难题 • 这道题是一道“难题”，“难”在考察数学分析问题能力——思维能力，题目依托的“内容”是基本的。题目的条件是从一个给定的非负整数数列制造三个数列：，，dn；由于是由非负整数（即自然数）组成，自然数最基本性质是“自然数任何非空子集有最小元”，后面论证中，多次用到，这个性质确保这三个数列一定是存在的，没有这些条件不一定存在。

一、“重视基础”——难题 • 在回答(Ⅰ)之前，一定根据(Ⅰ)的条件，写出这三个数列，这对以下问题思考是有用的。 • ：2，2，4，4，4，4，…4，… • ：1，1，1，1，1，1，…1，… • dn ：1，1，3，3，3，3，…3，… • 故(Ⅰ)的答案，

一、“重视基础”——难题

二、整体把握高中数学课程 整体把握数学课程课程目标课程结构——数学、高中数学高中数学教学特点学生学习规律整体把握评价——过程评价、高考

结构——课程 • 课程结构： • 必修课程必修一、必修二、必修三、必修四、必修五 • 选修系列一：两个模块 • 选修系列二：三个模块 • 选修系列三：六个专题 • 选修系列一：十个专题

结构 • 必修 • 数学1：集合、函数概念与基本初等函数I • （指数函数、对数函数、幂函数）； • 数学2：立体几何初步、平面解析几何初步； • 数学3：算法初步、统计、概率； • 数学4：基本初等函数II（三角函数）、平面上的向量、三角恒等变换； • 数学5：解三角形、数列、不等式。

结构 • ◆系列1：由两个模块组成。 • 选修1-1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用； • 选修1-2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数的引入、框图。 • ◆系列2：由三个模块组成。 • 选修2-1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间中的向量与立体几何； • 选修2-2：导数及其应用、推理与证明、数系的扩充与复数的引入； • 选修2-3：计数原理、统计案例、概率。

结构 • ◆系列3：由六个专题组成。 • 选修3-1：数学史选讲； • 选修3-2：信息安全与密码； • 选修3-3：球面上的几何； • 选修3-4：对称与群； • 选修3-5：欧拉公式与闭曲面分类； • 选修3-6：三等分角与数域扩充。

结构 • ◆系列4：由十个专题组成。 • 选修4-1：几何证明选讲； • 选修4-2：矩阵与变换； • 选修4-3：数列与差分； • 选修4-4：坐标系与参数方程； • 选修4-5：不等式选讲； • 选修4-6：初等数论初步； • 选修4-7：优选法与试验设计初步； • 选修4-8：统筹法与图论初步； • 选修4-9：风险与决策； • 选修4-10：开关电路与布尔代数。

联系 • 与义务教育数学内容接轨 • 数与代数 • ——数、字母与运算 • ——量、关系与模型 • 图形与几何 • ——图形分类与基本图形 • ——图形基本关系 • ——研究图形基本方法 • ——图形应用 • 统计与概率 • ——统计 • ——概率 • 综合与实践

联系 • 分析类数学课程：研究函数以及与函数有关的问题的课程 • 数学分析， • 复变函数， • 实变函数， • 常微分方程， • 偏微分方程， • 数值计算， • 泛函分析， • 与这些课程有联系的拓展类课程：三角级数，调和分析，函数逼近论等等。

联系 • 代数类数学课程：运算以及与运算有关的课程 • 高等代数（线性代数、多项式理论）， • 抽象代数， • 群伦， • 有限群及其应用， • 环论， • 域论， • 与这些课程有联系的拓展类课程：交换代数，非交换代数，半论，等等。

联系 • 几何类数学课程：研究图形以及与图形有关课程 • 解析几何， • 射影几何（高等几何）， • 微分几何， • 点集拓扑， • 代数拓扑， • 微分拓扑， • 微分流形， • 许多相关课程：代数几何，旋论，形论，等

联系 • 统计、概率类数学课程： • 统计， • 概率，许多相关课程：随机微分方程，等等

联系 • 应用类数学课程运筹学——线性规划、整数规划、非线性规划优化课程离散数学课程——图论、离散数学学科应用课程——生物数学、经济、金融类数学类课程计算类课程理论物理类数学课程图像识别类数学课程等等

突出结构主线——基本结构 • 辅助内容 • 集合、算法、常用逻辑用语、推理与证明 • 内容主线 • 函数主线 • 运算主线 • 几何主线 • 统计、概率主线 • 应用主线 • 应用贯穿始终——数学建模与数学探究 • 文化渗透

结构突出主线——内容、趋势说明 • 内容主线 ——函数主线 • 函数概念 • ——函数概念整体认识 • ——具体函数与抽象函数 • 函数基本性质 • ——单调性 • ——周期性 • ——对称性：奇、偶

结构突出主线——基本内容及趋势说明 • 内容主线 ——函数主线 • 基本的函数模型 • ——简单幂函数： • ——指数函数与对数函数 • ——三角函数 • ——基本数列：等差、等比数列 • ——简单分段函数

突出结构主线——基本内容及趋势说明 • 内容主线 ——函数主线 • 函数进一步研究 • ——变化再认识：平均变化－导数概念 • ——基本函数求导 • ——导函数的基本运算 • ——用导数研究函数变化 • ——导数实际应用 • ——积分初步认识 • ——微积分基本定理及初步应用

突出结构主线——基本内容及趋势说明 • 内容主线 ——函数主线 • 函数应用 • ——方程近似求解：二分法 • ——求解不等式：一元二次不等式 • ——简单线性规划 • ——算法中函数思想 • ——简单函数最值

突出结构主线——基本内容及趋势说明 • 内容主线 ——运算主线 • 运算对象－运算法则 • ——指数、对数运算 • ——三角运算（三角恒等变形） • ——向量代数 • ——矩阵与变换 • ——复数 • ——函数及导数运算

突出结构主线——基本内容及趋势说明 • 内容主线 ——运算主线 • 运算应用 • ——向量应用－向量几何 • 讨论位置关系：平行、垂直 • 讨论度量关系：距离、角度（三角恒等变形） • ——向量应用－解三角形 • ——向量的物理应用 • ——矩阵与几何变换

突出结构主线——基本内容及趋势说明 • 内容主线 ——运算主线 • 运算通性通法 • ——运算程序化（算法） • ——待定系数 • ——换元 • ——配方 • ——消元

整体把握数学课程 提高日常教学效率 —— 从高考视角说起