風險值 Value at Risk (VaR)

風險值 Value at Risk (VaR) 區國強

定義: VaR是在一指定的信賴水準下，在某一固定期間內，投資可能產生的最大損失 • 步驟:1. 資產組合市場計價(mark-to-market)2. 計算風險因子的波動3. 確定資產組合的持有期4. 決定信賴水準5. 根據以上資料計算 VaR

例子 • 資產組合市價 = $100M資產組合年報酬率的標準差 = 15%預定持有期 = 10(天)信賴水準 = 99%VaR:

期初投資 W0報酬率 R預期期未投資 W=W0 (1 + R)報酬率的預期值 μ報酬率的標準差 σ信賴水準 c期未投資可能的最低值 W* =W0 (1 + R*)

相對 VaR: 相對於預期值的損失 • 絕對 VaR: 相對於期初投資值的損失 • 如果持有期很短，則μ很小，兩者無甚差異，否則，相對 VaR 較妥當

也可以用機率來表示此機率表示方式適用任何分配也可以用機率來表示此機率表示方式適用任何分配

若報酬率為常態分配，則計算 VaR等於找出臨介值α，使在α左面的面積等於1 – cΦ(ε)為標準常態分配的 pdf，

亦可用累加標準常態分配函數表示(CDF): 找出d， • 根據α，可以直接計算可能最低的報酬率

通常一般參數是以年為計算單位(請回顧一年級微積分的「有效利率」) ，假定不同期的報酬率之間無相關，則若資產組合的持有期為△t，

決定 VaR 的因素 • 期限與信賴水準的選擇依不同產業及資產組合的內容而定 • Basel Committee規定: 銀行必需持有以99%信賴水準計算的10天 VaR 的3倍現金為流動準備金

即使以99%信賴水準計算的10天 VaR，即平均四年，銀行會列破產一次，故需三倍該 VaR以確保銀行健全 • 根據 Chebyshev不等式: 任何有「有限變異數」的隨機變數 x，其跌出某指定區間之機率為:

隨機變數 x 的分配是對稱的，則 x 小過其平均數μ的機率為: • 若我們設定該機率不大過1%，則 r 的上限為 7.071σ，而 99%的 VaR 為 2.33 σ

對數常態分配 Lognormal distribution • 若一隨機變數 X，其對數 Y = ln(X)為常態分配，則X為對數常態分配。最常見為連續複利報酬率。