FUNDAMENTOS DO CÁLCULO
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FUNDAMENTOS DO CÁLCULO Aluno: Reinaldo Ançay Junior ¹ Orientadora: Ximena Mujica Serdio ² PowerPoint PPT Presentation


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FUNDAMENTOS DO CÁLCULO Aluno: Reinaldo Ançay Junior ¹ Orientadora: Ximena Mujica Serdio ² Departamento de Matemática ¹ [email protected] ² [email protected] Resumo

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Presentation Transcript


Fundamentos do c lculo aluno reinaldo an ay junior orientadora ximena mujica serdio

FUNDAMENTOS DO CÁLCULO

Aluno: Reinaldo Ançay Junior ¹

Orientadora: Ximena MujicaSerdio ²

Departamento de Matemática

¹ [email protected] ² [email protected]

Resumo

Este trabalho versa sobre vários assuntos que fundamentam o estudo de resultados sobre funções reais. Iniciando com operações sobre conjuntos, relações binárias e seu uso para definir o conceito de função, o uso de funções para estudar a cardinalidade de conjuntos e, em particular, o uso de sequências para o estudo de conjuntos infinitos. Finalmente, no conjunto do reais, as consequências do axioma do supremo.

  • 1. Operações sobre conjuntos

  • Sejam e dois conjuntos:

  • Reunião: ;

  • Interseção: ;

  • Diferença: ;

  • Dizemos que é subconjunto de , e escrevemos , se para cada em , está em ; se e dizemos que é subconjunto próprio de .

  • 2. Relações binárias

  • Sejam e dois conjuntos não vazios, uma relação binária entre e , é um subconjunto de . Por exemplo se

  • e ,

  • algumas relações entre e são:

  • ,

  • ,,

  • , , ,

  • Se , dizemos que é uma relação em .

  • 2.1 Propriedades das relações binárias

  • Reflexiva:, para cada em;

  • Simétrica: Se então ;

  • Antissimétrica: Se e (, então ;

  • Transitiva: Se , , então ;

  • Se , , então .

  • Diremos que é uma relação de equivalência sobre um conjunto se satisfaz as propriedades transitiva, simétrica e reflexiva. Já uma relação de ordem sobre um conjunto é uma relação que satisfaz as propriedades transitiva, antissimétrica e pode ou não ser reflexiva. Dizemos que um conjunto é totalmenteordenadose existe uma relação de ordem definida sobre e para cada , têm-se ou . Dizemos que é uma função se satisfaz a propriedade v.

  • 3. Funções

  • No item 2.1 definimos função, mas a notação acima é pouco utilizada de modo que vamos redefini-la. Sejam e dois conjunto não vazios. Uma função de em é uma regra que associa a cada elemento um único elemento , denotado por . Algumas nomenclaturas são:

  • Domínio: o conjunto recebe o nome de domínio de e é denotado por ;

  • Contradomínio: o conjunto recebe o nome de contradomínio de e é denotado por ;

  • Imagem: a imagem de , denotada por ,define-se como o conjunto

  • Gráfico: o gráfico de é definido por:

  • ,

  • Note que corresponde à relação definida em 2.1. Uma notação usual para a dada função é

  • 3.1 Funções injetivas, sobrejetivas e bijetivas

  • Considere uma função . Dizemos que é uma função injetiva se, para quaisquer , .

  • A função é dita sobrejetiva se .

  • No caso de ser, ao mesmo tempo, injetiva e sobrejetiva, diz-se que é uma função bijetiva.

  • 3.2 Imagem direta por uma função

  • A imagem direta de um conjunto pela função é definida por

  • 5.2 Conjuntos infinitos

  • Um conjunto é infinito quando não é vazio e não existe uma função bijetiva com .

  • 5.3 Conjuntos enumeráveis

  • Dizemos que um dado conjunto é enumerável se é equivalente ao conjunto ,isto é, se existe uma função bijetora .

  • 5.4 Conjuntos não enumeráveis

  • Suponha que determinado conjunto assume a seguinte propriedade: todo subconjunto enumerável de é subconjunto próprio de (). Neste caso, diz-se que é um conjunto não enumerável. Note que, isto equivale a não existir função bijetiva de em nem de em .

  • 6. Conjuntos limitados

  • Sejam um conjunto ordenado e com . Dizemos que é limitado superiormente se existe tal que . é chamado cota (ou limitante) superior. De forma análoga, dizemos que é limitado inferiormente se existe tal que . A chamamos de cota inferior.

  • Denomina-se como um conjunto limitado se possui limitantes superior e inferior.

  • 6.1 Mínimo, máximo, ínfimo e supremo

  • Seja . Dizemos que é um mínimo de se é uma cota inferior de e . Da mesma forma, dado um , diz-se que é um máximo de se for uma cota superior de e .

  • Denotam-se, respectivamente, o máximo e o mínimo de por e .O máximo e o mínimo de determinado conjunto, quando existem, são únicos.

  • Considere um elemento . é dito ínfimo de (denotado por ) se:

  • é cota inferior de ;

  • Se é cota inferior de , então, ( é a maior das cotas inferiores de ).

  • De forma análoga, é dito supremo de () se:

  • é cota superior de ;

  • Se é cota superior de , então, ( é a menor das cotas superiores de ).

  • Assim como no caso do máximo e mínimo, o supremo e o ínfimo, quando existem, são únicos.

  • 7. O axioma do supremo

  • Todo conjunto não vazio de , limitado superiormente, possui supremo.

  • 7.1 Consequências do axioma do supremo

  • não é limitado superiormente;

  • Propriedade de Arquimedes: se e são dois números reais quaisquer, então existe pelo menos um número natural tal que ;

  • Propriedade dos intervalos encaixantes: sejam intervalos fechados e limitados tais que , então

  • 8. Tópicos de estudo futuro

  • Como este projeto ainda está em andamento, estudaremos ainda o uso de sequências para estudar a continuidade de funções reais e também estudaremos alguns teoremas, como o teorema do confronto e o teorema do valor médio.

  • 9. Referências

  • 1. DOMINGUES, HyginoHugueros. Espaços Métricos e Introdução à Topologia. Atual Editora LTDA, 1982.

  • 2. GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um Curso de Cálculo Volume 1. LTC Editora, 2001.

  • Sejam uma função, e conjuntos. A imagem direta assume as seguintes propriedades:

  • ;

  • Se é não vazio, também o é;

  • Se , então, ;

  • ;

  • .

  • 3.4 Imagem inversa por uma função

  • A imagem inversa de um conjunto pela função é definida por

  • Sejam uma função, e conjuntos. A imagem inversa assume as seguintes propriedades:

  • ;

  • Se , então, ;

  • ;

  • ;

  • .

  • 4. Os números reais

  • No conjunto dos números reais (denotado por ) estão definidas duas operações, adição () e multi-plicação () e uma relação de ordem ().

  • 4.1 Propriedades da adição e multiplicação

  • Nos reais, adição e a multiplicação, respectivamente, seguem as propriedades abaixo. Dados e :

  • Associatividade:

  • e

  • Comutatividade:

  • e

  • Distributiva:

  • Existência de elemento neutro:

  • e

  • Existência de elemento oposto / inverso:

  • e ,

  • Compatibilidade da ordem com as operações:

  • e

  • 4.2 O corpo ordenado dos reais

  • Admitiremos que a quádrupla é um corpo ordenado, isto é, satisfaz todas as propriedades descritas no item 4.1 e possui uma relação de ordem definida sobre si.

  • 5. Sequências numéricas

  • Uma sequência numérica é uma função , onde e é um conjunto numérico previamente definido.

  • 5.1 Conjuntos finitos

  • Um conjunto é finito se ou se existe uma função com (sequência) bijetiva. Note que as funções bijetivas definem uma relação de equivalência no conjunto de todos os conjuntos.


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