Proiezioni per sviluppo modificate matematicamente carta di mercatore
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Proiezioni per sviluppo modificate matematicamente Carta di Mercatore. A cura: S.T.V. Giuseppe FIORINI. Proiezione Cilindrica Centrale. Per ben comprendere il principio di costruzione della Carta di Mercatore è indispensabile conoscere la Proiezione Cilindrica Centrale.

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Presentation Transcript


Proiezioni per sviluppo modificate matematicamente carta di mercatore

Proiezioni per sviluppo modificate matematicamenteCarta di Mercatore

A cura: S.T.V. Giuseppe FIORINI


Proiezioni per sviluppo modificate matematicamente carta di mercatore

Proiezione Cilindrica Centrale

Per ben comprendere il principio di costruzione della Carta di Mercatore indispensabile conoscere la Proiezione Cilindrica Centrale.

In tale proiezione il punto di vista collocato al centro della sfera rappresentativa mentre il quadro un cilindro tangente lungo lEquatore.

I meridiani ed i paralleli vengono rappresentati con due fasci di rette ortogonali fra loro; i meridiani distano fra di loro tutti di una stessa quantit, mentre i paralleli sono rappresentati da rette tanto pi distanti fra di loro e dallequatore quanto pi cresce la latitudine. I poli sono proiettati allinfinito e qui ndi non sono rappresentabili.


Proiezioni per sviluppo modificate matematicamente carta di mercatore

Un carattere generale delle carte il seguente:

ad un punto della sfera (,) corrisponde un unico punto della carta, e viceversa

Il punto della carta dato dai valori cartesiani (x,y)

In termini pi tecnici si pu dire che tra i punti obbiettivi della sfera ed i punti immagini della carta c corrispondenza biunivoca.

Per semplicit le Relazioni di Corrispondenza che legano (,) con (x,y) sono ottenute in generale col metodo geometrico per mezzo delle proiezioni.


Le relazioni di corrispondenza per questa carta sono x r y r tg vedi figura

Le RELAZIONI di CORRISPONDENZA per questa carta sono:x = R y = R tg(vedi figura)


Proiezioni per sviluppo modificate matematicamente carta di mercatore

La proiezione cilindrica centrale non ISOGONA in quanto non conserva la similitudine fra le piccole figure della carta e della Terra.

Infatti gli angoli formati fra le diverse direzioni sulla terra non sono rappresentati con angoli uguali sulla carta.

Si dimostra inoltre che la funzione (tgR), in cui R un angolo sulla carta corrispondente ad un angolo R sulla Terra, uguale al prodotto (tgR*cos)

tgR = tgR*cos

In altri termini , se consideriamo sulla Terra una Lossodromia che formi langolo di rotta R costante con tutti i meridiani che incontra , tale angolo verr deformato sulla proiezione cilindrica centrale del fattore cos

Con il crescere della latitudine, la funzione cos diminuisce e di conseguenza langolo R sulla carta diventa sempre pi piccolo mano a mano che la lossodromia si avvicina ai poli.


La proiezione isogona solo per 0 circa 10 n o s

La proiezione isogona solo per = 0 (circa 10 N o S )

La Proiezione cilindrica non possedendo i requisiti di isogonismo e di rettifica delle lossodromie, non pu essere impiegata come carta nautica, tuttavia partendo da essa e modificando la legge di distribuzione dei paralleli (Relazioni di Corrispondenza ) si ottiene una carta con i requisiti richiesti:

isogonismo

rettifica delle lossodromie

e possibilit di rappresentare zone estese di superficie per i percorsi oceanici.

Tale la Carta di Mercatore


Carta di mercatore

Carta di Mercatore

La Carta di Mercatore (nautica o marina) non altro che una Proiezione cilindrica centrale modificata matematicamente

Vediamo come si arriva alla formulazione matematica della carta di mercatore.

Consideriamo uno spicchio sferico terrestre limitato da due meridiani distanti fra loro di una quantit infinitesima dy e su di esso larchetto infinitesimo di lossodromia dm passante per i punti A e B e formante langolo di rotta R nel punto A.


Consideriamo la stessa situazione rappresentata sulla carta di mercatore

Consideriamo la stessa situazione , rappresentata sulla carta di Mercatore.

Volendo conservare gli angoli, senza cambiare la legge di distribuzione dei meridiani, Mercatore impose matematicamente la condizione di isogonismo rendendo simili il triangolo infinitesimo ABC sulla sfera ed il corrispondente triangolo abc sulla carta.

In altri termini costru una carta in cui si verificava per ogni latitudine la proporzionalit fra i lati corrispondenti dei due triangoli.

Il triangolo infinitesimo ABC della sfera rappresentativa pu, a causa della sua piccolezza, essere considerato Piano.


Proiezioni per sviluppo modificate matematicamente carta di mercatore

Imponendo la proporzionalit fra i lati dei due triangoli si ha:

dx =dyda cui si ricava dy = dx d

dpd dp

Ricordando che dx = d per costruzione, in quanto si vuole conservare la legge di distribuzione dei meridiani, e dp = d cos , in quanto un elemento di parallelo uguale al simile elemento di equatore per il coseno della latitudine, si ha con la sostituzione:

dy = dd= d sec

d cos

Volendo ottenere la lunghezza dellarco di meridiano che va dallequatore al parallelo di latitudine che si vuole rappresentare si dovr integrare (sommare) la precedente formula fra i valori di 0 e , cio:

y = d sec

0


Proiezioni per sviluppo modificate matematicamente carta di mercatore

Con i procedimenti dellanalisi si dimostra che tale integrale dato dalla relazione:

y = ln tg (45 + /2)

Il simbolo y detto latitudine crescente per la sfera e si indica con c.

Per quanto detto le relazioni di corrispondenza della Carta di Mercatore per la Terra sferica sono:

x = R

y = c

Volendo esprimere y in primi di equatore si avr:

y = c = (10800/ ) ln tg (45 + /2)


Proiezioni per sviluppo modificate matematicamente carta di mercatore

Le carte nautiche sono generalmente costruite per la Terra ellissoidica, pertanto la formula della latitudine crescente e dissimile da quella della Terra sferica.

Le tavole Nautiche dellI.I. (Tav.4) forniscono i valori di queste latitudini crescenti per lEllissoide (o latitudini isoterme).

La differenza fra i valori delle latitudini crescenti per la sfera e per lellissoide consiste nel fatto che:

- i primi sono sempre maggiori delle corrispondenti latitudini geografiche (espresse in primi darco)

- i secondi cominciano ad essere pi grandi delle corrispondenti latitudini geografiche solo fra l11 e il 12 parallelo.

Nella zona equatoriale le lat. Isoterme sono minori delle lat. Geografiche e ci dipende dal raggio di curvatura del meridiano.


Proiezioni per sviluppo modificate matematicamente carta di mercatore

  • La carta di Mercatore isogona ma non n equivalente n equidistante, cio non conserva n le aree n le distanze.

  • Queste ultime vengono deformate col variare della latitudine di un fattore sec ed appunto per questo motivo che la misura delle distanze sulla carta di Mercatore viene effettuata servendosi delle scale laterali delle latitudini

    (anch esse variabili con la sec )

  • Il grigliato della carta di Mercatore si presenta, apparentemente, come quello della proiezione cilindrica, cio a maglie rettangolari.

    la differenza consiste appunto nella legge di distribuzione dei paralleli la cui distanza dallequatore dipende dal valore della secante della latitudine, mentre nella proiezione cilindrica centrale dipende dal valore della tangente della latitudine.


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