บทที่ 8 ตัวแบบมาร์คอฟ

1. บทที่ 8ตัวแบบมาร์คอฟ

2. บทนำ ในการตัดสินใจของผู้บริหารเกี่ยวกับปัญหาทางธุรกิจนั้น ย่อมจะมีความไม่แน่นอนเกิดขึ้นได้เสมอ ดังนั้นผู้บริหารจึงจำเป็นจะต้องมีการเตรียมพร้อมที่จะรับมือและจัดการกับความไม่แน่นอนที่จะเกิดขึ้นเหล่านั้น เพื่อทำให้การตัดสินใจในปัจจุบันเป็นไปอย่างเหมาะสม ซึ่งเครื่องมือที่จะนำมาใช้ในการจัดการกับความไม่แน่นอนที่จะกล่าวในบทนี้คือ ตัวแบบเชิงปริมาณที่จะช่วยให้ข้อมูลของสิ่งที่จะเกิดขึ้นในอนาคต เพื่อใช้ในการตัดสินใจในด้านต่างๆ เช่น ปัญหาด้านการผลิต การเงิน การบัญชี การตลาด บุคลากร ฯลฯ ตัวแบบที่จะช่วยในการตัดสินใจนี้คือ ตัวแบบมาร์คอฟ (Markov model)

3. ตัวแบบมาร์คอฟ (Markov model) เป็นตัวแบบที่นำแนวความคิดในเรื่องความน่าจะเป็นมาใช้ในการพยากรณ์โดย จะพยากรณ์โอกาสหรือความน่าจะเป็นที่จะเกิดเหตุการณ์ในอนาคต โดยใช้ข้อมูลของเหตุการณ์ในปัจจุบัน เช่น การพยากรณ์หรือประมาณส่วนแบ่งตลาดของสินค้ายี่ห้อ Aในเดือนหน้า และประมาณโอกาสที่ลูกค้าที่เคยซื้อยี่ห้อ A จะเปลี่ยนไปซื้อยี่ห้อ Bแทน หรือประมาณว่าโอกาสที่เครื่องจักรจะใช้งานได้ในสัปดาห์หน้าจะยังคงใช้ได้ดีในสัปดาห์หน้าหรือไม่

5. ความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนแปลงความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนแปลง ความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนแปลง (Transition Probability) เป็นตัวแบบที่ใช้ในการพยากรณ์หรือประมาณสถานการณ์ในอนาคต โดยต้องทราบสถานการณ์ปัจจุบัน และต้องทราบความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนแปลงจากสถานะหนึ่งไปเป็นอีกสถานะหนึ่ง เช่น ทราบความน่าจะเป็นที่ลูกค้าเคยซื้อแชมพูสระผมยี่ห้อ Aในเดือนนี้ ยังคงจะซื้อยี่ห้อเดิมในเดือนหน้าหรือจะเปลี่ยนไปซื้อยี่ห้อ C

6. ตัวอย่างที่ 1 ณ หมู่บ้านเล็กๆ แห่งหนึ่งมีร้านขายของชำ 2 ร้าน คือ ร้านสะดวกและร้านสบาย จากการเก็บรวบรวมข้อมูลลูกค้า 100 คน พบว่า 80% ที่ซื้อสินค้าจากร้านสะดวกในสัปดาห์ที่ 1 ยังคงซื้อสินค้าจากร้านเดิม ในสัปดาห์ที่ 2 ในขณะที่ 20% ของลูกค้าที่เคยซื้อจากร้านสะดวกในสัปดาห์ที่ 1 จะเปลี่ยนไปซื้อสินค้าจากร้านสบายในสัปดาห์ที่ 2 และ 70% ของลูกค้าที่เคยซื้อจากร้านสบายในสัปดาห์ 1 ยังคงซื้อสินค้าจากร้านสบายในสัปดาห์ที่ 2 ขณะที่ 30% ของลูกค้าที่ซื้อสินค้าจากร้านสบายในสัปดาห์ที่ 1 จะเปลี่ยนไปซื้อสินค้าจากร้านสะดวก ตัวเลขดังกล่าวจะแสดงถึงความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนแปลงโดยจะแสดงในรูปเมทริกซ์ที่แสดงความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนแปลง (Transition Probability Matrix) ซึ่งใช้สัญลักษณ์ P

7. สะดวก สบาย สะดวก P = โดยทางด้านแนวนอนหมายถึงสัปดาห์แรก ส่วนทางด้าน แนวตั้งหมายถึงสัปดาห์ที่ 2ในรูปทั่วไป ถ้ามี 2 สถานะ (2 ร้าน ดังตัวอย่างที่ 1) เมทริกซ์ที่แสดงการเปลี่ยนแปลงของสถานะจะเป็น สบาย

8. P= โดยที่ Pij = ความน่าจะเป็นในการเปลี่ยนแปลงจากสถานะที่ i ในปัจจุบันเป็นสถานะที่ j ในอนาคต ; ij = 1,2 เช่น P21 = ความน่าจะเป็นในอนาคตจะอยู่ในสถานะที่ 1 โดยที่ปัจจุบันอยู่ในสถานะที่ 2 และ P11+ P12 = 1 , P21 + P22 = 1 หรือผลบวกความน่าจะเป็นทางด้านแนวนอนเท่านกับ 1

9. เงื่อนไขของตัวแปรแบบมาร์คอฟเงื่อนไขของตัวแปรแบบมาร์คอฟ 1. จำนวนสถานะจะต้องจำกัดและนับได้ (Finite) เช่น จำนวนร้านค้าในหมู่บ้านต้องมีจำนวนจำกัด 2. ขนาดของระบบจะต้องไม่มีการเปลี่ยนแปลง เช่น ไม่มีลูกค้าใหม่ หรือไม่มีลูกค้าเก่าออกจากระบบ 3. เมทริกซ์ที่แสดงการเปลี่ยนแปลงสถานะจะคงที่ 4. การพยากรณ์การเกิดสถานะในอนาคตขึ้นกับสถานะในปัจจุบันและความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนแปลงเท่านั้น 5. แต่ละหน่วยต้องอยู่ในสถานะใดสถานะหนึ่งเพียงสถานะเดียว ณ เวลาใดเวลาหนึ่ง

10. การแก้ปัญหาด้านเทคนิคมาร์คอฟการแก้ปัญหาด้านเทคนิคมาร์คอฟ การแก้ปัญหาคือ การนำคำนวณหาความน่าจะเป็นที่ระบบจะอยู่ในสถานะต่างๆ ในอนาคต โดยจะคำนวณได้จากสถานะปัจจุบัน และเมทริกซ์แสดงการเปลี่ยนแปลง กำหนดให้ P = เมทริกซ์แสดงการเปลี่ยนแปลงสถานะ (n) = ความน่าจะเป็นของการอยู่ในสถานการณ์ต่างๆ ในงวดที่ n ; n= 0, 1, 2,… (n +1) = ความน่าจะเป็นของการอยุ่ในสถานการณ์ต่างๆ ในงวดที่ n + 1 โดย (0) = ความน่าจะเป็นของการอยู่ในสถานการณ์ต่างๆ ตอนเริ่มต้น

11. การหาความน่าจะเป็นของการอยู่ในสถานการณ์ต่างๆ ของงวดที่ n + 1 คือ (n +1) =  (n) . P (1) =(0) .P (2) =(1) . P

12. ตัวอย่างที่ 2 จากตัวอย่างที่ 1 ถ้าในส่วนแบ่งตลาดต่อสัปดาห์เป็นดังนี้ ลูกค้าซื้อสินค้าจากร้านสะดวก 90% และจากร้านสบาย 10% ซึ่งหมายถึง 2 สถานะคือ (1) สถานะที่ 1 : ซื้อสินค้าจากร้านสะดวก (2) สถานะที่ 2 : ซื้อสินค้าจากร้านสบายซึ่งหมายถึง P (สะดวก) = 0.9 P (สบาย) = 0.1 ต้องการหาส่วนแบ่งตลาดในสัปดาห์หน้า โดยใช้เมทริกซ์แสดงความเปลี่ยนแปลงจากตัวอย่างที่ 1 คือ P=

13. ถ้าให้ปัจจุบันหรือสัปดาห์ คือสัปดาห์เริ่มต้น (n = 0) ส่วนแบ่งตลาดของสัปดาห์คือ  (0) = (0.9 0.3) และส่วนแบ่งของสัปดาห์หน้า คือ  (1)  (1) = (0).P = (0.9 0.1) หลักการคูณของเวกเตอร์ (0.9 0.1)และเมทริกซ์ P เป็นดังนี้ แถวนอนที่ 1 คูณแถวตั้งที่ 1 (0.9 0.1) = (0.9) (0.8) + (0.1) (0.3) = 0.75 ส่วนแบ่งตลาดของร้านสะดวกในสัปดาห์หน้า = .75หรือ 75%

14. แถวนอนที่ 1 คูณแถวตั้งที่ 1 (0.9 0.1) = (0.9) (0.2) + (0.1) (0.7) = 0.25 ส่วนแบ่งตลาดของร้านสะดวกในสัปดาห์หน้า = .25หรือ 25% ผลรวมของส่วนแบ่งตลาดของร้านสะดวกและร้านสบายในสัปดาห์หน้า = .75 + .25 = 1

15. ตัวอย่างที่ 3ถ้ามีกระเป๋านักเรียน 3 ยี่ห้อวางขายในท้องตลาด เพื่อศึกษาการเปลี่ยนแปลงของพฤติกรรมการซื้อกระเป๋านักเรียนของนักเรียน จึงทำการสำรวจการใช้กระเป๋านักเรียน โดยสอบถามนักเรียนจำนวน 1,000 คน ได้ข้อมูลดังนี้ มีนักเรียนใช้กระเป๋านักเรียนยี่ห้อ Bag 370 คน มีนักเรียนใช้กระเป๋านักเรียนยี่ห้อ Shine 450 คน มีนักเรียนใช้กระเป๋านักเรียนยี่ห้อ Magic 180 คน ก. จงหาส่วนแบ่งตลาดของกระเป๋านักเรียนในงดต่อไป ข. ถ้ามีนักเรียนจำนวน 100,000 คน จงพยากรณ์จำนวนกระเป๋า นักเรียนที่แต่ละยี่ห้อจะขายได้ในงวดหน้า

16. ส่วนแบ่งตลาดในงวดที่ (0) หรือปัจจุบันเป็นดังนี้ ยี่ห้อ Bag มีส่วนแบ่ง = = .37 หรือ 37% ยี่ห้อ Shine มีส่วนแบ่ง= = .45 หรือ 45% ยี่ห้อ Magic มีส่วนแบ่ง= = .18 หรือ 18% โดยในที่นี้กำหนดให้ยี่ห้อ Bag เป็นสถานะที่ 1 ส่วนยี่ห้อ Shine และ Magic เป็นสถานะที่ 2 และ 3 ตามลำดับ  (0)=(.37 .45 .18)

17. ถ้าเมทริกซ์ซึ่งแสดงการเปลี่ยนแปลงเป็นถ้าเมทริกซ์ซึ่งแสดงการเปลี่ยนแปลงเป็น BagShineMagic Bag .5 .2 .3 P = Shine .2 .7 .1 Magic .1 .3 .6 จงหาส่วนแบ่งตลาดของกระเป๋านักเรียนทั้ง 3 ยี่ห้อในงวดถัดไป

18. วิธีทำ ก่อนจะคำนวณส่วนแบ่งตลาดของกระเป๋านักเรียนทั้ง 3 ยี่ห้อในงวดถัดไป ขออธิบายความหมายของตัวเลขในแมทริกซ์ P ดังนี้ แถวนอนที่ 1 P11 = .5 หมายถึง ในงวดหน้ากระเป๋านักเรียน Bag สามารถรักษาลูกค้าของตนเองไว้ได้ 50% P12 = .2 หมายถึง ในงวดหน้ากระเป๋านักเรียน Bag เสียลูกค้าให้ยี่ห้อ Shine 20% ของลูกค้าที่เขามีในงวดนี้ P13 = .3 หมายถึง ในงวดหน้ากระเป๋านักเรียน Bag เสียลูกค้าให้ยี่ห้อ Magic 30% ของลูกค้าที่เขามีในงวดนี้

19. แถวนอนที่ 2 P21 = .2 หมายถึง ในงวดหน้ากระเป๋านักเรียน Shine เสียลูกค้าให้ยี่ห้อ Bag 20% ของลูกค้าที่เขามีในงวดนี้ P22 = .7 หมายถึง ในงวดหน้ากระเป๋านักเรียน Shine สามารถรักษาลูกค้าของตนเองไว้ได้ 70% P13 = .1 หมายถึง ในงวดหน้ากระเป๋านักเรียน Shine เสียลูกค้าให้ยี่ห้อ Magic 10% ของลูกค้าที่เขามีในงวดนี้

20. แถวนอนที่ 3 P31 = .1 หมายถึง ในงวดหน้ากระเป๋านักเรียน Magic เสียลูกค้าให้ยี่ห้อ Bag 10% ของลูกค้าที่เขามีในงวดนี้ P32 = .3 หมายถึง ในงวดหน้ากระเป๋านักเรียน Magic เสียลูกค้าให้ยี่ห้อ Shine 30% ของลูกค้าที่เขามีในงวดนี้ P33 = .6 หมายถึง ในงวดหน้ากระเป๋านักเรียน Magic สามารถรักษาลูกค้าของตนเองไว้ได้ 60%

21. คำนวณหาส่วนแบ่งตลาดของกระเป๋านักเรียนคำนวณหาส่วนแบ่งตลาดของกระเป๋านักเรียน ส่วนแบ่งตลาดของกระเป๋านักเรียนในงวดหน้า คือ (1) = (0) .P .5 .2 .3 = (.37 .45 .18) .2 .7 .1 .1 .3 .6

22. การหาส่วนแบ่งตลาดในงวดถัดไปของ Bag .5 แถวนอนที่ 1 x แถวตั้งที่ 1 = (.37.45.18) .2 .1 = (.37)(.5) + (.45)(.2) + (.18)(.1) = .293 ส่วนแบ่งตลาดของ Bag ในงวดถัดไป = .293 หรือ 29.3%

23. การหาส่วนแบ่งตลาดในงวดถัดไปของ Shine .2 แถวนอนที่ 1 x แถวตั้งที่ 2 = (.37.45 .18).7 .3 = (.37)(.2) + (.45)(.7) + (.18)(.3) = .443 ส่วนแบ่งตลาดของ Shine ในงวดถัดไป = .443 หรือ 44.3%

24. การหาส่วนแบ่งตลาดในงวดถัดไปของ Magic .3 แถวนอนที่ 1 x แถวตั้งที่ 3 = (.37 .45.18) .1 .6 = (.37)(.3) + (.45)(.1) + (.18)(.6) = .264 ส่วนแบ่งตลาดของ Shine ในงวดถัดไป = .264 หรือ 26.4%  (1) = (.293 .443.264)

25. ข. ถ้ามีนักเรียนทั้งหมด 100,000 คน จำนวนกระเป๋านักเรียนยี่ห้อ Bag ที่จะขายได้ในงวดหน้า= (.293)(100,000) = 29,300 ใบ จำนวนกระเป๋านักเรียนยี่ห้อ Shine ที่จะขายได้ในงวดหน้า= (.443)(100,000) = 44,300 ใบ จำนวนกระเป๋านักเรียนยี่ห้อ Magic ที่จะขายได้ในงวดหน้า= (.264)(100,000) = 26,400 ใบ

26. สรุป ในงวดหน้าคาดว่าส่วนแบ่งตลาดของ Bag เป็นส่วน 29.3% หรือขายได้ 29,300 ใบ ส่วนแบ่งตลาดของ Shine เป็น 44.3% หรือคาดว่าจะขายได้ 44,300 ใบ และ Magic จะมีส่วนแบ่งตลาด 26.4% หรือคาดว่าจะขายได้ 26,400 ใบ โดยในงวดปัจจุบัน Bag มีส่วนแบ่งตลาด 37% งวดหน้าเหลือเพียง 29.3% หรือคาดว่าส่วนแบ่งตลาดของ Bag ลดลง 7.7% ทาง Bag จะต้องเพิ่มกลยุทธ์ทางด้านการตลาด เพื่อรักษาส่วนแบ่งตลาดของตนไว้ ส่วน Shine ส่วนแบ่งตลาดลดลงเล็กน้อย โดย Shine ได้ลดลงจากเดิม 45% เป็น 44.3% หรือลดลง 0.7% ในขณะที่ Magic เพิ่มขึ้นจาก 18% เป็น 26.4% หรือเพิ่มขึ้น 8.4%

27. สถานะคงที่ (Steady State) จากตัวอย่างที่ 1 – 3 จะพบว่าพฤติกรรมในการซื้อสินค้าและกระเป๋านักเรียนของลูกค้าเปลี่ยนไปเมื่อเวลาเปลี่ยนไปทำให้ส่วนแบ่งตลาดของ Bag ลดลง ส่วน Shine ลดลงในช่วงแรกในขณะที่ Magic มีส่วนแบ่งเพิ่มขึ้น และเมื่อเวลาผ่านไปนานเข้าก็จะทำให้ส่วนแบ่งตลาดของ Bag ลดลง และของ Shine และ Magic เพิ่มขึ้น ถ้า P คงที่

28. ส่วนแบ่งตลาดในงวดที่ 2 คือ (2) = (1).P ในที่นี้(1) = (.293.443.264) .5.2 .3 เพราะฉะนั้น(2) = (.293 .443 .264) .2 .7.1 .1 .3.6 = (.2615 .4479.2906) จะพบว่าส่วนแบ่งตลาดในงวดที่ 2 ของ Bag ลดลงจากงวดที่ 1 เหลือเพียง 26.15% และในขณะที่ ของ Shine และ Magic เพิ่มขึ้นเป็น 44.79% และ 29.06% และส่วนแบ่งตลาดของ Bag จะลดลงเรื่อยๆ ในขณะที่ของ Shine และ Magic จะเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ เมื่อเวลาผ่านไปจนกระทั่งถึงช่วงเวลาหนึ่งในระยะยาวส่วนแบ่งตลาดของแต่ละยี่ห้อจะคงที่

29. ส่วนแบ่งตลาดของแต่ละยี่ห้อจะเท่าเดิมเมื่อเปลี่ยนจากงวดที่ n เป็นงวดที่ n + 1, n + 2 เช่น n = 20 งวด เป็นต้น กรณีนี้ถือว่าเป็นสถานะคงที่โดยทำการคำนวณส่วนแบ่งตลาดในระยะยาว หรือในสถานะคงที่ได้ดังนี้ (n) = (n – 1).P หรือ = P และ ๅ+ 2 +…+k = 1 กรณีที่มี k สถานะ

30. ตัวอย่างที่ 4จากตัวอย่างที่ 3 จงหาส่วนแบ่งตลาดของกระเป๋านักเรียนทั้ง 3 ยี่ห้อในระยะยาว กำหนดให้ i = ส่วนแบ่งตลาดกระเป๋านักเรียนของยี่ห้อที่ i ;i = 1, 2, 3 = P .5 .2 .3 (ๅ23)= (ๅ23) .2 .7 .1 .1 .3 .6

31. แกนนอนที่ 1 X แถวตั้งที่ 1 ได้ ๅ= .5ๅ + .22 + .13 ………………….(1) แกนนอนที่ 1 X แถวตั้งที่ 2 ได้ 2 = .2ๅ + .72 + .33 ………………….(2) แกนนอนที่ 1 X แถวตั้งที่ 3 ได้ 3 = .3ๅ + .12 + .63 ………………….(3) และ = ๅ + 2 + 3= 1 ………………….(4)

32. ในที่นี้มี 4 สมการ และต้องการหาค่าตัวแปร 3 ตัว (ๅ23) จึงตัดสมการออกได้ 1 สมการสมมติให้ตัดสมการที่ (1) ออกเหลือ (2), (3) และ (4) จาก (4) จะได้ว่า ๅ= 1 - 2 - 3 แทนค่าลงในสมการที่ (2) และ (3) ได้ด้วย ดังนี้ จากสมการที่ (2) 2 = .2(1 - 2 - 3) + .72 + .33 หรือ.52 - .13 = .2 …………………(5) จากสมการที่ (3) 3 = .3(1 - 2 - 3) + .12 + .63 หรือ.22 - .73 = .3 …………………(6)

33. แก้สมการที่ (5) และ (6) โดยนำ 7 คูณที่สมการที่ (5) ได้ดังสมการที่ (7) 3.52 - .73 = 1.4 ………………….(7) (6) + (7) จะได้ 3.52 = 1.7 2 == .4595 แทนค่า 2 = .459 ในสมการที่ (7) จะได้ 3.5(.4595) - .73 = 1.4 3 = .2975 1 = 1 - 2 - 3 = 1 - .4595 - .2975 = .243 ดังนั้นในสถานะคงที่หรือในระยะยาว ส่วนแบ่งตลาดของ Bag, Shine และ Magic จะเป็น 24.3% , 45.95% และ 29.75% ตามลำดับ