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第一小组第五次讨论. 人口问题是全世界非常关注的重要问题之一。 1840 年，比利时数学家 Verhulst 提出了 Logistic 模型。他认为“人口之增长不能超过有其地域环境所决定的最大容量 M ”。因此，他提出了以下数学模型：. 其中， N(t) 是某一时刻某一地区的人口总数， r 是人口净增长率。 由中国统计年鉴可以知道 2008 年中国人口总数为 13.28 亿，假如未来的人口净增长为 0.01 ，中国资源环境能容纳的最大人口数量为 27.8 亿，请你设计方案预测未来 10 年中国的人口数量，并评价你的方法。.
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人口问题是全世界非常关注的重要问题之一。1840年，比利时数学家Verhulst提出了Logistic模型。他认为“人口之增长不能超过有其地域环境所决定的最大容量M”。因此，他提出了以下数学模型：人口问题是全世界非常关注的重要问题之一。1840年，比利时数学家Verhulst提出了Logistic模型。他认为“人口之增长不能超过有其地域环境所决定的最大容量M”。因此，他提出了以下数学模型： 其中，N(t)是某一时刻某一地区的人口总数，r是人口净增长率。 由中国统计年鉴可以知道2008年中国人口总数为13.28亿，假如未来的人口净增长为0.01，中国资源环境能容纳的最大人口数量为27.8亿，请你设计方案预测未来10年中国的人口数量，并评价你的方法。
将r 与M代入微分方程，按照习惯，将未知数替换为x，函数名替换为y，由题意得到微分方程组如下： 根据微分方程求解 y(n) 即可 (n = 2009,2010…2018)
为了方便将来各算法的比较，首先用MATLAB求出原题的解析解：为了方便将来各算法的比较，首先用MATLAB求出原题的解析解： 值得指出的是，并不是所有的微分方程都能容易地求得原函数，所以研究数值解法是有意义的。
Milne格式 Hamming格式 Adams显式格式 Adams隐式格式 Adams预测－校正系统 Taylor级数法 二阶Runge-Kutta方法 三阶Runge-Kutta方法 四阶Runge-Kutta方法 Euler格式 后退的Euler格式 梯形格式 改进的Euler格式 Euler两步格式 Euler方法 基于数值积分的构造方法 基于Taylor展开的构造方法 从数值解法考虑，可选用下列一些算法 单步法 Runge-Kutta方法 多步法
前向Euler格式 取h＝1,即
后退的Euler格式 迭代公式如下：
梯形格式 迭代公式如下：
Euler两步格式 用中心差商 替代原方程左端的导数项 用Euler两步格式与梯形格式相匹配，得到如下预测校正系统 预测
用Taylor方法分析其截断误差，可得到如下两式 由此可导出下列事后估计式：
利用这样估计出的误差作为计算结果的一种补偿，有可能使精度得到改善利用这样估计出的误差作为计算结果的一种补偿，有可能使精度得到改善 以pn和cn分别表示第n步的预测值和校正值，按上式可以将 分别取作 pn+1和 cn+1的改进值 在cn+1尚未求出之前，可用 pn - cn 代替 pn+1-cn+1 来改进预测值 pn+1
综上可得到如下预测校正系统： 预测 改进 计算 校正 改进 计算
Taylor级数法 对于原题有：
Adams预测－校正系统 预测 改进 计算 校正 改进 计算
Hamming预测-校正系统 预测 改进 计算 校正 改进 计算
