Dane informacyjne

2. Dane informacyjne • Nazwa szkoły: Zespół Szkół Usługowo-Gospodarczych w Pleszewie • ID grupy: 97/18_MF_G1 • Kompetencja: Matematyczno-fizyczna • Temat projektowy: Różne własności liczb naturalnych • Semestr/rok szkolny: Semestr II / 2011/2012

3. Różne wŁasNości Liczb naturalnych

4. Liczby naturalne Liczby służące podawaniu liczności (trzy osoby, zob. liczebnik główny/kardynalny) i ustalania kolejności (trzecia osoba, zob. liczebnik porządkowy), poddane w matematyce dalszym uogólnieniom (odpowiednio: liczby kardynalne, liczby porządkowe). Badaniem własności liczb naturalnych zajmują się arytmetyka i teoria liczb. Według finitystów, zwolenników skrajnego nurtu filozofii matematyki, są to jedyne liczby, jakimi powinna zajmować się matematyka - słynne jest stwierdzenie propagatora arytmetyzacji wszystkich dziedzin matematyki Leopolda Kroneckera: Liczby całkowite stworzył dobry Bóg. Reszta jest dziełem człowieka. To czy zero jest liczbą naturalną jest kwestią umowy. W matematyce nie przyjęto ogólnie żadnej konwencji dotyczącej przynależności zera lub jej braku do liczb naturalnych. Interesujące, że z punktu widzenia matematyki obie definicje można uważać w gruncie rzeczy za równoważne. Za konkretnym stanowiskiem decydują często przypadki szczególne, takie jak uproszczenie zapisu pewnych symboli, ograniczenie przypadków szczególnych itp

5. Trochę historii… • Pierwsze systematyczne, abstrakcyjne studia nad liczbami przypisuje się starożytnym Grekom: Pitagorasowi, Euklidesowi i Archimedesowi. Poza Grecją niezależne rozważania prowadzono w rejonie Indii, Chin i Ameryki Środkowej. • Pierwszym krokiem do wyabstrahowania liczb naturalnych było stworzenie sposobu ich zapisu. W Babilonii stosowano na przykład cyfry o wartościach od 1 do 10, gdzie o wartości liczby decydowała pozycja kolejnych cyfr w szeregu. W starożytnym Egipcie stosowano odpowiednie hieroglify o wartościach 1, 10 i kolejnych potęgach 10, aż do miliona. • Choć wydawałoby się, że liczby naturalne są podstawowym pojęciem matematycznym i ich definicja była jedną z wcześniejszych, to jednak jest inaczej. Przykładowo bardziej skomplikowane liczby rzeczywiste (używane już w starożytności przez Eudoksosa, ok. 408 p.n.e. – ok. 355 p.n.e.) zostały zdefiniowane formalnie przez Dedekinda w połowie XIX w, podczas gdy definicję liczb naturalnych podał Giuseppe Peano pod koniec XIX w.

6. Zero • Pierwotnie zero było wykorzystywane jako pomoc w oznaczeniu "pustego miejsca". Już w VII w. p.n.e. Babilończycy stosowali zero jako cyfrę w zapisie pozycyjnym, ale nigdy nie występowało ono samodzielnie jako liczba. W cywilizacji Majów zero było znane jako liczba już w I w. p.n.e. (być może znali je już w IV wieku p.n.e. wchłonięci przez Majów Olmekowie). W kulturze zachodniej zero, jako oddzielna, pełnoprawna wartość, pojawiło się znacznie później. • W roku 130 zera używał Klaudiusz Ptolemeusz. Współczesne pojęcie zera przypisuje się Hindusowi Brahmagupcie, pierwsze wzmianki pochodzą z roku 628. Zero stosowano niekonsekwentnie również w średniowieczu, nie miało ono jednak swojej reprezentacji w cyfrach rzymskich - stosowano łacińskie słowo nullae.

7. Liczby złożone

8. Liczby złożone to takie liczby naturalne n które są iloczynem co najmniej dwóch liczb naturalnych większych od 1. • Liczb naturalnych złożonych jest nieskończenie wiele 4, 6, 8, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, ..

9. Liczby pierwsze

10. Liczby pierwszeto liczby naturalne, które posiadają dokładnie dwa dzielniki (liczbę 1 i samą siebie). • Oto kilka początkowych liczb pierwszych: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 ... • Największą znalezioną dotąd liczbą pierwszą jest liczba: 213466917-1. Rekordzistkę odkryto 14 listopada 2001 roku. Liczba ta składa się z 4053946 cyfr!

11. Istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych (twierdzenie to udowodnił w IV w. p.n.e. matematyk grecki Euklides). Każda liczba naturalna większa od 1 jest albo liczbą pierwszą, albo iloczynem liczb pierwszych. W III w. p.n.e. matematyk grecki Eratostenes z Cyreny podał metodę wyznaczania liczb pierwszych, zwaną sitem Eratostenesa.

12. Na czym polega sito Eratostenesa? Wypisuje się dowolnej długości ciąg liczb naturalnych zaczynając od dwójki np.: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25... z którego najpierw wykreślamy liczby podzielne przez 2 oprócz dwójki i tak zostaje nam: 2, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25..... następnie przez trzy (bez trójki), przez pięć (bez piątki) zostaje nam 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23. I to już mamy same liczby pierwsze mniejsze od dwudziestu pięciu. Biorąc dostatecznie długi ciąg wyjściowy i wykonując czysto mechaniczne eliminowanie (łatwe dla komputera) co drugiej, co piątej i tak dalej „odsiejemy" w efekcie wszystkie liczby pierwsze. 

13. Liczb pierwszych można poszukiwać zespołowo. Na tym polega projekt GIMPS (Great Internet MersennePrimeSearch), w ramach Którego Joel Armengaud Jako pierwszy, odkrył nową liczbę pierwszą Mersenne`a: 2n-1 gdzie n=1398269 ( liczby Mersenne`a są to liczby które da się zapisać w postaci 2n-1 gdzie n musi być liczbą pierwszą; niektóre z nich też są pierwsze. Liczby Mersenne`a dość łatwo poddają się testowaniu). Dokonał tego, używając opracowanego przez George`a Woltmana algorytmu Lucasa-Lehmera i pracując wspólnie z ponad 700 matematykami, komunikującemu się przez Internet. Obecnie w projekcie GIMPS bierze udział już około 2 tysięcy entuzjastów liczb pierwszych.

14. Największe znane dotychczas liczby pierwsze

15. Program w języku Pascal który sprawdza czy liczba n jest pierwsza VAR d,k:longint; p:real;BEGINreadln(k);if k<4 then writeln('tak')else if k=4 then writeln('nie')else  begin  p:=sqrt(k)+1;  d:=2;  while (d<p) AND ((k mod d)<>0) DO d:=d+1;   if (k mod d)=0 then writeln('nie')   else writeln('tak');  end;readln;END.

16. Typy liczb pierwszych

17. Liczby palindromiczne pierwsze- to liczby pierwsze, które nie zmieniają się, gdy ich cyfry dziesiętne zapiszemy w odwrotnej kolejności. Przykłady: 11, 101, 131, 191, 929. Liczby pierwsze lustrzane- to pary liczb pierwszych, z których jedna powstaje przez zapisanie cyfr dziesiętnych drugiej w odwrotnej kolejności. Przykłady: 13 i 31, 17 i 71, 37 i 73, 79 i 97, 107 i 701,...

18. Liczby pierwsze Fermata - są to liczby pierwsze postaci . Jak dotąd znanych jest pięć liczb Fermata które są pierwsze: 3, 5, 17, 257 i 65537 5 65537 17 257

19. Liczby doskonałe

20. Liczba doskonała to taka liczba, która jest równa sumie wszystkich swoich dzielników mniejszych od niej samej, np. 28=1+2+4+7+14. • Zagadnieniem liczb doskonałych zajmował się Euklides. Podał on  regułę odnajdowania parzystych liczb doskonałych: N=2k-1(2k-1) gdzie (2k-1) musi być liczbą pierwszą dla k>1 (naturalnego).

21. Metody znajdowania • Poniższa tabela ilustruje znajdowanie liczb doskonałych według powyższej reguły:

22. Znane dotychczas liczby doskonałe • Pierwsza liczba doskonała to 6.D6 = { 1, 2, 3, 6 }6 = 1 + 2 + 3 • Druga liczba doskonała to 28. D6 = { 1, 2, 4, 7, 14, 28 }28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 • Te dwie liczby znane były w starożytności. Kabaliści utrzymywali, że nie przypadkiem Bóg stworzył świat w sześć dni, a Księżycowi kazał obiegać Ziemię w ciągu 28 nocy. • Dwie kolejne liczby doskonałe znalazł Euklides: 496 i 8128. On też zauważył, że jeśli liczby p i 2p - 1 są pierwsze, to liczba postaci 2p-1(2p - 1) jest liczbą doskonałą.

23. Piątą liczbę doskonałą znaleziono ponad tysiąc lat później. Kolejne dwie liczby odkrył Cataldi na początku XVII w. Później liczby doskonałe odkrywali Fermat, Mersenne i Euler. • Dziś znamy 39 liczb doskonałych. Ostatnią znalezioną "ręcznie" (w 1911 roku) jest 2288 × (2289 − 1). Historia największych liczb doskonałych związana jest z odkrywaniem coraz to większych liczb pierwszych Mersenna. Największą znaleziono w 2001 roku i jest ona równa 23466917 − 1 co daje największą znaną dziś liczbę doskonałą 213466916 × (213466917 − 1).

24. Liczby doskonałe drugiego rodzaju

25. Liczbą doskonałą drugiego rodzajunazywamy liczbę naturalną większą od 1, która jest iloczynem wszystkich swoich dzielników. • Np. dzielnikami właściwymi liczby 27 są 1, 3 i 9, a więc 27 jest liczbą doskonałą drugiego rodzaju: 1* 3 *9 = 27. • Inne przykłady:6=1*2*38=1*2*410=1*2*5

26. Wszystkie sześciany liczb pierwszych oraz wszystkie iloczyny dwu różnych liczb pierwszych są jedynymi liczbami doskonałymi drugiego rodzaju.

27. Liczby zaprzyjaźnione

28. Liczbami zaprzyjaźnionyminazywamy dwie liczby naturalne m i n o tej własności, że suma wszystkich mniejszych od m dzielników tej liczby równa jest n i jednocześnie suma wszystkich mniejszych od n dzielników liczby n równa jest m. Oczywiście, każda liczba doskonała jest zaprzyjaźniona sama ze sobą.

29. Znane dotychczas liczby doskonałe • Gdy zapytano Pitagorasa: "Co to jest przyjaciel?" - odpowiedział: "Przyjaciel to drugi ja; przyjaźń, to stosunek liczb 220 i 284". Stąd podobno pochodzi owa niezwykła nazwa liczb zaprzyjaźnionych. W starożytności liczbom zaprzyjaźnionym przypisywano znaczenie mistyczne. • Najmniejszą parę liczb zaprzyjaźnionych stanowią 220 i 284. Znanych jest około 8 tysięcy takich par; nie wiadomo, czy jest ich nieskończenie wiele. Nie znamy również żadnej takiej pary, w której jedna liczba byłaby parzysta, a druga nieparzysta.

30. Przykłady:

31. Liczby najbardziej złożone

32. Liczba jest najbardziej złożona o ile dla wszystkich . • Przykłady: • Istnieje nieskończenie wiele liczb najbardziej złożonych.

33. Bibliografia • http://www.math.edu.pl • http://sciaga.nauka.pl • http://portalwiedzy.onet.pl • http://www.serwis-matematyczny.pl • http://www.mimuw.edu.pl • http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/mon/mon19/mon1905.pdf • http://forum.dobreprogramy.pl

34. Dziękujemy za uwagę  Koniec