Sterowanie – działanie całkujące
Sponsored Links
This presentation is the property of its rightful owner.
1 / 56

Sterowanie – działanie całkujące PowerPoint PPT Presentation


  • 102 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

Sterowanie – działanie całkujące. Zastosowanie macierzy kompensacji M pozwala zapewnić wzmocnienie w torze wartość zadana – wartość aktualna wyjścia równą jeden, inaczej mówiąc równość tych dwóch wielkości.

Download Presentation

Sterowanie – działanie całkujące

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Sterowanie – działanie całkujące

Zastosowanie macierzy kompensacji M pozwala zapewnić wzmocnienie w torze wartość zadana – wartość aktualna wyjścia równą jeden, inaczej mówiąc równość tych dwóch wielkości

Wada: rozwiązanie takie nie gwarantuje zerowej wartości uchybu ustalonego, np. w sytuacjach, kiedy model systemu nie jest dokładnie znany

Alternatywa: dodanie jednego lub kilku integratorów (elementów całkujących) w pętli sterowania


Rozwiązanie

Przypadek ciągły:

Dla zlikwidowania uchybu ustalonego,

- wprowadzamy integratory w liczbie na wyjściu komparatora (elementu porównującego)

wartości zadanej (referencyjnej) i aktualnej wielkości wyjściowej systemu – po jednym

dla każdej składowej wektora wielkości referencyjnej

- poprzez macierz zamykamy sprzężenie zwrotne (ujemne)

- sprzężenie od wektora stanu realizowane jest jak poprzednio za pomocą macierzy

oznaczonej


Pojawiają się nowe zmienne stanu będące skutkiem wprowadzenia integratorów

Niech system jest dany jako

Nowe zmienne stanu

Łącząc zmienne stanu otrzymujemy system rozszerzony

Równania stanu systemu rozszerzonego


Pełny opis systemu rozszerzonego (otwartego)

Macierz wzmocnień dla działania regulacyjnego wprowadzamy jak poprzednio


Równania stanu systemu po zamknięciu sprzężenia

Pełny opis systemu po zamknięciu sprzężenia


Projektowanie sterowania ze sprzężeniem od stanu

Opis systemu rozszerzonego może być dany

gdzie


Problem polega teraz na określeniu rozszerzonej macierzy wzmocnień sprzężenia zwrotnego od stanu

tak, aby system zamknięty realizujący prawo sterowania

i mający macierz systemu

posiadał wymagane własności dynamiczne


Rozwiązanie problemu – jedna z przedstawionych uprzednio metod

Warunek: system określony parą macierzy jest sterowalny

Warunek ten jest równoważny trzem następującym

1.

2. Para jest sterowalna

3. , to znaczy liczba wejść sterujących musi być co najmniej równa liczbie

wyjść sterowanych


Likwidacja uchybu ustalonego w odniesieniu do wartości zadanej w stanie równowagi

W stanie ustalonym rozszerzonego systemu

Drugie równanie

oznacza

zatem


Eliminacja stałych zakłóceń w stanie równowagi

Dodanie integratorów w pętli sterowania powinno również powodować likwidację uchybu ustalonego wynikającego z istnienia stałych zakłóceń pomiarowych lub występowania stałych zakłóceń obciążenia, ponieważ integratory są ulokowane pomiędzy wyjściem komparatora (uchyb sterowania) a punktami przyłożenia tych zakłóceń

Zaburzenie obciążenia

Zaburzenie pomiaru


Uzupełniony w ten sposób system rozszerzony spełnia równania stanu i wyjścia postaci

Równanie stanu systemu zamkniętego przyjmie postać


W stanie równowagi jak poprzednio

czyli dwa warunki

Stałe zakłócenia są eliminowane w stanie równowagi


Przykład 1.

Kontynuacja Przykładu 2 z poprzedniego wykładu

System trzeciego rzędu

Zatem system rozszerzony


Otrzymamy

System rozszerzony jest sterowalny – sprawdzić!

Jak poprzednio, będziemy wymagali wartości własnych


Wykorzystamy wzór Ackermann’a do obliczenia macierzy wzmocnień – dla obliczeń numerycznych można skorzystać z funkcji acker przybornika Control System środowiska MATLAB

Otrzymamy

Wyniki symulacji:

Wartość zadana - sygnał skokowy

Zakłócenia: brak


Wyniki symulacji:

t [s]


Wyniki symulacji:

t [s]


Przykład 2.

Dany jest system opisany macierzami

Opis – postać kanoniczna sterowalności

Wielomian charakterystyczny systemu otwartego

Wartości własne wielomianu charakterystycznego systemu otwartego

Stabilny asymptotyczne, słabo tłumiony system rzędu trzeciego


Wyniki symulacji

System otwarty:

Odpowiedź wyjścia na skok jednostkowy

System zamknięty:

y [m]

Chcemy poprawić jakość charakterystyki dynamicznej systemu

Otwarty

Zamknięty

Czas [s]


System zamknięty

Chcemy:

 Dominujące wartości własne (człon drugiego rzędu oscylacyjny)

- Przeregulowanie procentowe: 6%

- Czas ustalania się: 3 [s]

W oparciu o Pomocnik możemy dla tak sformułowanych warunków obliczyć

Postulowane wartości własne odpowiadające tym parametrom

 Trzecia wartość własna (człon pierwszego rzędu)

- ujemna, dziesięć razy większa od części rzeczywistej dominujących wartości własnych


Wielomian charakterystyczny systemu zamkniętego

Macierz wzmocnień sprzężenia zwrotnego od stanu

Prawo sterowania – działanie regulacyjne i śledzące (M = 0)


Macierz stanu

Macierze systemu zamkniętego

Macierz sterowania

Macierz wyj scia


Wyniki symulacji

System zamkniety:

Odpowiedź wyjścia na skok jednostkowy

System zamknięty:

y [m]

- Przeregulowanie procentowe: 5.9%

Otwarty

Zamknięty

- Czas ustalenia 2%: 3.09 [s]

Ale:

Odpowiedź na skok jednostkowy nie osiąga wartości 1.0

Dla systemu zamkniętego oznacza to stan ustalony nie osiąga poziomu zadanego (referencyjnego)

Czas [s]


Sprawdzenie uzyskanego wyniku z wykorzystaniem wzoru Ackermann’a

Dla systemu danego w postaci kanonicznej sterowalności, macierz sterowalności dana jest (patrz: Dodatek 1 do Zadań Lab T1

Zatem:


Dla pożądanego wielomianu charakterystycznego systemu zamkniętego

policzymy

Macierz wzmocnień

Wynik jak poprzednio


Zmodyfikujemy prawo sterowania wprowadzając macierz kompensacji wzmocnienia statycznego M

Transmitancja systemu otwartego

System w postaci kanonicznej sterowalności


Odpowiadająca mu transmitancja systemu otwartego

Zatem dla przykładu transmitancja ta wynosi


Wzmocnienie statyczne

System zamknięty opisany macierzami

Odpowiadająca mu transmitancja


Wzmocnienie statyczne systemu zamkniętego

Wzmocnienie kompensacji wzmocnienia statycznego

Wzmocnienie statyczne systemu zamkniętego będzie równe wzmocnieniu systemu otwartego jeżeli wzmocnienie kompensacji wyniesie

Dla takiego wzmocnienia kompensacji prowadzimy symulację


Wyniki symulacji

y [m]

Otwarty

Zamknięty

Czas [s]


Zastosujemy teraz rozwiązanie z działaniem całkującym

Warunki stosowalności

1.

Sprawdzimy warunek 1

2. Para jest sterowalna

3. , to znaczy liczba

wejść sterujących jest co najmniej równa liczbie wyjść sterowanych


Wprowadzamy jeden integrator

Macierze systemu rozszerzonego

Wybierzemy wartości pożądane wartości własne w oparciu o kryterium ITAE (Integral of Time multipying the Absolute value of Error)


Tablica wielomianów charakterystycznych ITAE

Rząd systemu Wielomian charakterystyczny

Pierwszy

Drugi

Trzeci

Czwarty

Piąty

Szósty

- pożądana wartość pulsacji drgań nietłumionych; im większa, tym szybsza odpowiedź


Wybieramy

Pożądany wielomian charakterystyczny systemu zamkniętego

Wartości własne tego wielomianu

System rozszerzony o integrator nie jest już postaci kanonicznej sterowalności


Korzystają np. z wzoru Ackermann’a policzymy macierz wzmocnień sprzężenia zwrotnego od stanu

Prawo sterowania

Pełny opis systemu po zamknięciu sprzężenia


Pełny opis systemu po zamknięciu sprzężenia


Pokażemy krzepkość rozwiązania sterowania z działaniem całkującym

Niech zaburzona macierz stanu


Wielomian charakterystyczny systemu otwartego

Wartości własne wielomianu charakterystycznego systemu otwartego

Stabilny (krytycznie), system rzędu trzeciego

Stosując prawo sterowania znalezione dla modelu nominalnego


Pełny opis systemu po zamknięciu sprzężenia


Wartości własne wielomianu charakterystycznego systemu zamknietego

Stabilny asymptotycznie, system rzędu czwartego


Wyniki symulacji (odpowiedzi wyjścia na skok jednostkowy wielkości referencyjnej)

y [m]

Nominalny

Zaburzony

Czas [s]


Rozwiązanie

Przypadek dyskretny:

Opóźnienie

Opóźnienie


Wyście integratora (dyskretnego)

gdzie, zmienne reprezentują dodatkowych zmiennych stanu

Równania systemu rozszerzonego

Pełny opis systemu rozszerzonego (otwartego)


Sterowanie przez sprzężenie zwrotne od stanu

Prawo sterowania

System z zamkniętą pętlą sterowania

Uchyb sterowania w stanie równowagi

Stan równowagi


Przykład 1.

Weźmy system z Przykładu 2 z poprzedniego wykładu

System trzeciego rzędu

Zdyskretyzujemy system stosując metodę

gdzie,


Wykorzystując np. funkcję c2d MATLAB’a znajdziemy, przyjmując

System dyskretny

System trzeciego rzędu, jednowymiarowy


Przyjmiemy takie same pożądane położenie wartości własnych systemu zamknietego

Stąd pożądane położenie wartości własnych systemu zamkniętego dyskretnego

Pożądany wielomian charakterystyczny systemu zamkniętego

Wielomian charakterystyczny macierzy stanu (zastosujemy wzór Ackermann’a)


Sprawdzamy sterowalność systemu otwartego (możemy skorzystać z funkcji ctrb MATLAB’a)

Wyznacznik macierzy sterowalności

Złe uwarunkowanie numeryczne!

Zastosujemy (jednak) wzór Ackermann’a do obliczenia macierzy wzmocnień sprzężenia zwrotnego od stanu (możemy wykorzystać np. funkcję acker MATLAB’a)


Sprawdzimy wartości własne systemu zamkniętego (sprawdzenie wpływu uwarunkowania numerycznego na wynik obliczenia macierzy wzmocnień)

Uzyskany wynik wskazuje, że odwracanie macierzy (wzór Ackermann’a) odbyło się beż numerycznych problemów z powodu złego uwarunkowania

Problemy mogą jednak pojawić się, jeżeli wyznacznik będzie zbyt mały

Np. dla

Powtarzając powyższą procedurę dostaniemy macierz sterowalności

o wyznaczniku


Macierz wzmocnień dla tego przypadku

Wzmocnienia do kilku tysięcy razy większe niż poprzednio!

Problemy …

Symulacja

Zerowe warunki początkowe


Wyniki symulacji

Amplituda odpowiedzi!

Numer próbki


Dla uzyskania odpowiedniej amplitudy odpowiedzi wyjścia zastosujemy rozwiązanie z działaniem całkującym

System rozszerzony


Rozważymy dwa przypadki

Przypadek 1.

Zastosujemy wybór wartości własnych jak poprzednio i wyznaczymy macierze wzmocnień za pomocą wzoru Ackermann’a

Przypadek 2.

Aby zmniejszyć wartości wzmocnień przesuwamy dyskretne wartości własne dalej od początku układu współrzędnych i wyznaczymy macierze wzmocnień za pomocą wzoru Ackermann’a

Np.


Wyniki symulacji (wymuszenie: skok o amplitudzie 0.1)

Przypadek 1

Przypadek 2

Numer próbki


Wyniki symulacji (wymuszenie: skok o amplitudzie 0.1)

Przypadek 1

Przypadek 2

Numer próbki


Dziękuję za uczestnictwo w wykładzie i uwagę


  • Login