Matematyka nie jest trudna
Download
1 / 138

Matematyka nie jest trudna - PowerPoint PPT Presentation


  • 506 Views
  • Uploaded on

Matematyka nie jest trudna. SPIS TREŚCI. SYMETRIE. Symetria jest rozumiana jako przekształcenie figury na tą samą figurę . Na płaszczyźnie wyróżniamy symetrię osiową (symetrie względem prostej- odbicie lustrzane) i symetrie środkową (względem punktu). Czym jest Symetria ?.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about ' Matematyka nie jest trudna' - idra


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
Matematyka nie jest trudna

Matematykanie jest trudna

SPIS TREŚCI



Czym jest symetria

Symetria jest rozumiana jako przekształcenie figury na tą samą

figurę . Na płaszczyźnie wyróżniamy symetrię osiową (symetrie względem prostej- odbicie lustrzane) i symetrie środkową (względem punktu).

Czym jest Symetria ?


Figury osiowosymetryczne
figury osiowosymetryczne samą

Prosta względem której figura jest symetryczna sama do siebie nazywa się osią figury symetrii.

O figurze, która ma oś symetrii mówimy, że jest figurą osiowosymetryczną. Jeżeli figurę osiowosymetryczną przekształcimy przez symetrię względem jej osi to figura ta nałoży się sama na siebie.


Przyk ady figur osiowosymetrycznych
Przykłady figur samą osiowosymetrycznych


Czym jest rodek symetrii figury

Punkt względem którego figura jest symetryczna sama do siebie nazywa się środkiem symetrii figury. O figurze która ma środek symetrii mówimy, że jest figurą środkowo symetryczną. Jeżeli figurę środkowo symetryczną przekształcimy przez symetrię środka symetrii (obrócimy ją o kąt 180 ˚) to figura ta nałoży się sama na siebie

Czym jest środek symetrii figury ?


Przyk ady figur rodkowo symetrycznych
Przykłady figur środkowo symetrycznych siebie nazywa się środkiem symetrii figury. O figurze która ma środek symetrii mówimy, że jest figurą środkowo symetryczną. Jeżeli figurę środkowo symetryczną przekształcimy przez symetrię środka symetrii (obrócimy ją o kąt 180 ˚) to figura ta nałoży się sama na siebie


Przyk ady figur rodkowo symetrycznych1
Przykłady figur środkowo symetrycznych siebie nazywa się środkiem symetrii figury. O figurze która ma środek symetrii mówimy, że jest figurą środkowo symetryczną. Jeżeli figurę środkowo symetryczną przekształcimy przez symetrię środka symetrii (obrócimy ją o kąt 180 ˚) to figura ta nałoży się sama na siebie


Przyk ady symetrii wzgl dem punktu
Przykłady symetrii względem punktu siebie nazywa się środkiem symetrii figury. O figurze która ma środek symetrii mówimy, że jest figurą środkowo symetryczną. Jeżeli figurę środkowo symetryczną przekształcimy przez symetrię środka symetrii (obrócimy ją o kąt 180 ˚) to figura ta nałoży się sama na siebie


Przyk ady symetrii przez punkt
Przykłady symetrii przez punkt siebie nazywa się środkiem symetrii figury. O figurze która ma środek symetrii mówimy, że jest figurą środkowo symetryczną. Jeżeli figurę środkowo symetryczną przekształcimy przez symetrię środka symetrii (obrócimy ją o kąt 180 ˚) to figura ta nałoży się sama na siebie


Przyk ady symetrii przez punkt1
Przykłady symetrii przez punkt siebie nazywa się środkiem symetrii figury. O figurze która ma środek symetrii mówimy, że jest figurą środkowo symetryczną. Jeżeli figurę środkowo symetryczną przekształcimy przez symetrię środka symetrii (obrócimy ją o kąt 180 ˚) to figura ta nałoży się sama na siebie


Sprawdź swoją wiedzę o symetriach : siebie nazywa się środkiem symetrii figury. O figurze która ma środek symetrii mówimy, że jest figurą środkowo symetryczną. Jeżeli figurę środkowo symetryczną przekształcimy przez symetrię środka symetrii (obrócimy ją o kąt 180 ˚) to figura ta nałoży się sama na siebie


Kt ra z figur jest rodkowo symetryczna
Która z figur jest środkowo symetryczna? siebie nazywa się środkiem symetrii figury. O figurze która ma środek symetrii mówimy, że jest figurą środkowo symetryczną. Jeżeli figurę środkowo symetryczną przekształcimy przez symetrię środka symetrii (obrócimy ją o kąt 180 ˚) to figura ta nałoży się sama na siebie


Ile osi symetrii ma tr jk t r wnoboczny
Ile osi symetrii ma trójkąt równoboczny? siebie nazywa się środkiem symetrii figury. O figurze która ma środek symetrii mówimy, że jest figurą środkowo symetryczną. Jeżeli figurę środkowo symetryczną przekształcimy przez symetrię środka symetrii (obrócimy ją o kąt 180 ˚) to figura ta nałoży się sama na siebie

a) 0

b) 2

d) 3

c) 4



Kt ra z tych figur ma dok adnie 4 osie symetrii
Która z tych figur ma dokładnie odbiciem lustrzanym?4 osie symetrii?



Funkcje
Funkcje względem prostej?


Pojęcie funkcji względem prostej?

jest jednym z podstawowych pojęć matematyki współczesnej. Z pojęciem tym spotykamy się coraz częściej. W prasie codziennej, w czasopismach i telewizji często prezentowane są wykresy różnych zależności. Przykładami Są choćby notowania kursów walut czy tez akcji na giełdzie papierów wartościowych. Wykresem funkcji liniowej jest prosta.


Pojęcie funkcji: względem prostej?

Jeżeli dane są dwa zbiory X i Y i każdemu elementowi

x przynależnemu do zbioru X przyporządkowany jest dokładnie jeden element y przynależny do zbioru Y, to takie przyporządkowanie nazywamy funkcją określoną w zbiorze X o wartościach w zbiorze Y.

f: x→y

Zbiór X nazywamy zbiorem argumentów lub dziedziną funkcji. Zbiór wszystkich y przynależnych do zbioru Y takich, że istnieje x przynależne do zbioru X,

dla którego y=f(x)

nazywamy zbiorem wartości tej funkcji.


Zadanie 1: względem prostej?

W skład zespołu pewnego domu kultury liczy 6 osób, z czego Asia gra na pianinie, Andrzej

i Zosia grają na gitarze, Karol i Ewelina grają na bębnach, a Maciej gra na skrzypcach. Wykonaj rysunek (graf) przyporządkowujący każdej osobie instrument na którym gra.


Zadanie 2: względem prostej?

W stałym składzie drużyny koszykowej z Inowrocławia jest 5 mężczyzn. Jest to Krzysztof który ma 189 cm wzrostu, Witold 173 cm, Jerzy 178 cm, Jerzy 170 cm oraz Aleksander który ma 180 cm wzrostu. Wykonaj rysunek (graf ) przyporządkowujący każdemu zawodnikowi jego wzrost.


Wykresem funkcji względem prostej?o dziedzinie X jest zbiór wszystkich punktów płaszczyzny o współrzędnych (x,y) spełniających waruneky=f(x), gdzie x należy do zbioru X

W życiu codziennym możemy zastosować funkcje w wielu przypadkach:

np. każda osoba:

- lubi różne gatunki filmów


- różne kolory włosów względem prostej?


- różne zainteresowania względem prostej?


Sposoby określania funkcji: względem prostej?

Funkcję możemy określić za pomocą:

  • - opisu słownego

  • - grafu

  • - tabelki

  • - wzoru

  • - wykresu


Zadanie 1: względem prostej?

Dane są dwa zbiory:

X = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Y = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}

Zbiór X jest zbiorem argumentów, a Y jest zbiorem wartości pewnej funkcji. Każdemu elementowi ze zbioru X jest przyporządkowany tylko jeden element ze zbioru Y, tak że wartością funkcji dla argumentu 0 jest liczba 2, dla argumentu 1 liczba 3 itd. Opisz różnymi sposobami tę funkcję.

Opis słowny:

Każdej liczbie naturalnej mniejszej od 10 jest przyporządkowana liczba ze zbioru y większa o 2.


Tabelka

Graf: względem prostej?

Wykres:

Tabelka:


Wzór: względem prostej?

y= x+2

Każdej liczbie ze zbioru x przyporządkowana jest

liczba y taka, że:

y = x + 2

Wzór ten możemy zapisać:

x→ x + 2 lub f(x ) = x+ 2


W asno ci funkcji

Wykres funkcji zależy od dziedziny funkcji. względem prostej?

Miejscem zerowym funkcji jest taki argument, dla którego wartość funkcji jest równa zero.

Własności funkcji:


Zadanie 1: względem prostej?

Dana jest funkcja y = x – 1.

Sporządź wykres na podstawie danych z tabelki.

y = -2 -1 = -3

y = -1 -1 = -2

y = 0 -1 = -1

y = 1 -1 = 0

y = 2 -1 = 1


Funkcja względem prostej?

może mieć jedno miejsce zerowe, wiele miejsc zerowych, lub nie mieć żadnego miejsc a zerowego.


Zadanie: względem prostej?

Funkcja określona jest wzorem

y = 3(x-1) dla x = { -2, -1, 0, 1, 2}

Narysuj graf, sporządź tabelkę i wykres tej funkcji oraz podaj taki argument tej funkcji, dla którego wartość funkcji jest równa 0.

y = 3*(-2 -1)= -9

y = 3*(-1 -1)= -6

y = 3*(0 -1)= -3

y = 3*(1-1)= 0

y= 3*(2-1)= 3


graf: względem prostej?

tabelka:

wykres:

Funkcja przyjmuje wartość 0 dla argumentu x = 1.

Mówimy że x=1 jest miejscem zerowym tej funkcji.


Odczytywanie względem prostej?i interpretowanie informacji

z wykresów funkcji.


Zadanie: względem prostej?

Funkcja y = ax + b dla x należącego do R,

Jej wykres i własność.

Funkcją liniową jest każda funkcja określana wzorem

y= ax+b i x przynależne do zbioru R

gdzie a i b są dowolnymi liczbami rzeczywistymi.

Wykresem funkcji liniowej y = ax + b jest prosta przecinająca oś OY w punkcie ( 0, b)

Wykres funkcji liniowej y = ax + b, gdzie a≠0 przecina oś OX

W punkcie o współrzędnych -

a oś OY w punkcie o współrzędnych (0, b).

Zwróć uwagę, że

jest miejscem zerowym funkcji.


Wykres każdej funkcji y = względem prostej?ax jest prostą, która przechodzi przez początek układu współrzędnych oraz przez punkt (1, a).

Jeżeli:

a >0, to wykres funkcji przechodzi przez I i III ćwiartkę,

a < 0, to wykres funkcji przechodzi przez II i IV ćwiartkę,

a = 0, to wykres pokrywa się z osią odciętych ( OX)

  • Funkcja liniowa y = ax + b jest:

  • rosnąca, gdy a > 0,

  • malejąca, gdy a < 0,

  • stała, gdy a = 0.


Zadanie : względem prostej?

Dziedzinę funkcji y= x- 1 jest zbiór liczb rzeczywistych. Sporządź częściową tabelkę tej funkcji i zaznacz w układzie współrzędnych wybrane punkty należące do jej wykresu. Oblicz miejsce zerowe tej funkcji.


Miejsce zerowe
Miejsce zerowe: względem prostej?

y = -2 -1 = -3

y= -1 -1= -2

y=0 -1= -1

y= 1 -1= 0

y= 2-1= 1

a= -2

b= -3

=


Wzory skróconego mnożenia względem prostej?


  • (a+b)2= a2 +2ab+b2

  • KWADRAT RÓŻNICY

  • (a-b)2= a2-2ab+b2

  • RÓŻNICA KWADRATÓW

  • a2-b2= (a-b)(a+b)


  • SZEŚCIAN SUMY względem prostej?

    (a+b)3= a3+3a2b+3ab2+b3

    SZEŚCIAN RÓŻNICY

    (a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3



    ROZKŁADANIE względem prostej?SUMALGEBRAICZNYCH NA CZYNNIKI

    Aby rozłożyć sumę algebraiczną na czynniki, czyli przedstawić ja w postaci iloczynu co najmniej dwóch czynników, należy:

    - pogrupować wyrazy- wyłączyć wspólny czynnik przed nawias- zastosować wzory skróconego mnożenia

    PRZYKŁAD:

    2a2+4ab+2b2=2(a2+2ab+b2)=2(a+b)2


    POZBYWANIE względem prostej?SIĘNIEWYMIERNOŚCIZMIANOWNIKA

    Jeżeli w mianowniku ułamka pojawia się jako składnik sumy pierwiastek, korzystamy z wzoru na różnicę kwadratów.

    PRZYKŁAD:


    • ZADANIA: względem prostej?

    • Rozłóż na czynniki wyrażenie x2-y2.

    • x2-y2= (x-y)(x+y)

    • Rozłóż na czynniki wyrażenie 24a2-24a+3, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.

    • 24a2-24a+3= 3(8a2-8a+1)

    • Oblicz.

    • (3+4√2)2= (3)2+2*3*4√2+(4√2)2=9+24√2+32=41+24√2

    • 4√2*4√2=4(2)2=32


    • Oblicz. względem prostej?

    • (√5-1)3= (√5)3- 3*(√5)2*1 +3√5*(1)2-(1)3= 5√5-15+3√5-1=-16+8√5

    • Rozwiąż równanie korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.

    • (3-x)2-(x+1/3)2=2/9

    • 32-2*3*x+x2-x2-2x*1/3-(1/3)2=2/9

    • 9-6x-2/3x-1/9=2/9

    • -6x-2/3x=2/9-9+1/9

    • -20/3x=-9+3/9

    • -20/3x=-9+1/3

    • -20/3x=-26/3|*(-3)

    • 20x=26

    • X=26/20

    • X=16/20

    • X=1,3

    • Odp. Rozwiązaniem równania jest x=1,3


    Rozwiązywanie układów równań względem prostej?

    I stopnia z dwiema niewiadomymi


    I Metoda podstawiania względem prostej?

    x+ 2y = 5 Wyznaczamy niewiadomą x z pierwszego równania

    2x -5y = -8

    x = 5 - 2y Układ jest równoważny poprzedniemu układowi2x – 5y = -8

    x = 5 – 2 y Podstawiamy do drugiego równania miejsce

    2( 5 – 2y) – 5y = -8 niewiadomej x wyrażenie 5 – 2y. Otrzymany układ równań jest równoważny poprzedniemu

    x = 5- 2y = -8 Przepisujemy pierwsze równanie i rozwiązujemy drugie 10 – 4y – 5y = -8 równanie z jedną niewiadomą

    x = 5 – 2y-4y – 5y = -8 -10x = 5 – 2y-9y = -18 | : (-9)

    x = 5- 2y Wstawiamy do równania pierwszego w miejsce y y = 2 wyznaczoną z drugiego równania liczbę 2x = 5-2 • 2y = 2x = 1y = 2 Odp Para liczb x = 1 i y = 2 jest rozwiązaniem tego układu równań.


    x- 2y = 1 względem prostej?y = -2x - 2• (-2) = 1y = -2

    x + 4 = 1y = -2x = 1 – 4y = -2x = -3y = -2Odp : Rozwiązaniem tego układu równań jest para liczb x = -3 i y = -2


    3x + y = -6 + y względem prostej?

    x + y = 2

    3x + y – y = -6y = 2 - x

    3x = -6 | :3y = 2 – x x = -2y= 2 – (-2)x = -2 y = 2 + 2x = -2y = 4Odp : Rozwiązaniem tego układu równań jest para liczb x = -2 i y = 4


    Metoda przeciwnych współczynników względem prostej?Rozwiązanie układu równań metodą przeciwnych współczynników polega na :* przekształceniu obu równań układu tak aby otrzymać przy tej samej niewiadomej współczynniki będące liczbami przeciwnymi

    *dodaniu stronami równań układu, eliminując

    w ten sposób jedną z niewiadomych* rozwiązaniu równania z jedną niewiadomą* obliczeniu drugiej niewiadomej


    Równania układu równań dodajemy stronami. (Współczynniki przy niewiadomej y są liczbami przeciwnymi 1 i -1.+_______________ Rozwiązujemy otrzymane równanie. x + x +y – y = 8 +2 2x = 10 | :2 x = 5x = 5 Tworzymy nowy układ równań równoważny układowi danemu, x + y = 8 którego jednym równaniem jest x = 5, a drugie dowolne równanie układu początkowego.x = 5 Liczbę 5 podstawiamy w miejsce niewiadomej x do drugiego 5 + y = 8 równania i rozwiązujemy to równie

    x = 5y= 8 – 5x = 5y = 3Odp Rozwiązaniem tego układu równań jest para liczb x = 5 i y = 3


    -x + 3y = 4 | • 3 (Współczynniki 3x – 2y = 2 -3x + 9y = 12 3x -2y = 2+____________7y = 14 | :7y = 2-x + 3y = 4y= 2 -x + 3•2 = 4y = 2-x = -2| : (-1)y = 2x = 2 y = 2Odp : Rozwiązaniem tego układu równań jest para liczb x = 2 i y = 2


    4( x+ 2) = 1 – 5y (Współczynniki 3( y + 2) = 3 – 2x4x + 8 = 1 – 5y3y + 6 = 3- 2x4x + 5y = 1 – 82x + 3y = 3 – 64x + 5y = -72x + 3y = -34x + 5y = -72x + 3y = -3 | • (-2)4x+ 5y = -7-4x -6y = 6+___________-y = - 1y = 1y=12x + 3y = -3

    y = 12x + 3 = -3y=1 2x = -6 |:2x = -3y = 1Rozwiązaniem tego układu równań jest para liczb x = -3 i y = 1


    Zadanie 1
    ZADANIE 1: (Współczynniki

    Przed 10 laty ojciec był 4 razy starszy od syna. Za 10 lat ojciec i syn będą mieli razem 100 lat. Ile lat ma obecnie ojciec a ile syn ?

    x –wiek synay – wiek ojcay- 10 – wiek ojca z przed 10 laty4(x-10) – wiek syna z przed 10 laty100 –suma lat ojca i syna za 10 lat

    y – 10 = 4x – 40y + 10 + x + 10 = 100y – 10= 4x – 40y + x = 100 -20 y – 4x = -40 + 10y + x = 80 |• (-1)y – 4x = -30-y – x = - 80+____________- 5x = -110 | : (-5)x= 22

    y – 10 = 4(x-10)x= 22y – 10= 4(22-10)x =22y = 58x = 22

    Odp : Obecnie ojciec ma 58 lat a syn 22


    ZADANIE 2: (Współczynniki Suma dwóch liczb jest równa 92. Jakie to liczby jeżeli 40% pierwszej liczby jest równe ¾ liczby drugiej.x- pierwsza liczba y druga liczba40 %x = ¾ y – 40% pierwszej liczby jest równe ¾ drugiej liczbyx+ y = 9240%x = ¾ y x + y = 922/5 x = ¾ y | • 20x + y = 92 8x = 15y

    x = 92 – yy = 32x=60y = 32

    x = 92 – y8 (92 – y) = 15y

    x = 92 – y

    736 – 8y = 15 yx = 92 – y23y = 736 | :23


    ZADANIE 3: (Współczynniki Ile kilogramów 15- procentowego roztworu kwasu siarkowego I ile kilogramów 30- procentowego roztworu kwasu siarkowego należy zmieszać , aby otrzymać 18 kg roztworu kwasu siarkowego o stężeniu 20%x + y = 1815% 30% 20%x + y = 1815%x + 30%y = 20% •18x + y = 183/20x + 3/10y = 3,6 | • 10x + y = 18 | • -36x + 3y = 34-3x – 3y = -546x + 3y = 36+____________3x = -18 | : 3 x =- 6

    x+ y = 18x = -6y=24x =-6


    ZADANIE 4: (Współczynniki

    Na obóz do Krynicy Morskiej wyjechało 120,a do Łeby 128 sportowców. W Łebie było 30% więcej dziewcząt i o 10% mniej chłopców niż w Krynicy. Ile dziewcząt i ilu chłopców było na obozie w Krynicy morskiej ?x – liczba dziewcząt na obozie w Krynicyy – liczba chłopców na obozie w Krynicyx + y = 120 – liczba sportowców na obozie w Krynicyx + 0,3x = 1,3x – liczba dziewcząt na obozie w Łebiey – 0,1y = 0,9y – liczba chłopców na obozie w Łebie1,3x + 0,9y = 128 – liczba sportowców na obozie w Łebie x +y = 1201,3x + 0,9y = 128| • 10x + y = 120

    13x + 9y = 1280y = 120 – x13x + 9 (120-x) = 1280y = 120 – x13x + 1080 – 9x =1280

    x = 50y = 120 – 50x = 50y = 70Odp : Na obozie w Krynicy Morskiej było 50 dziewcząt i 70 chłopców.

    y = 120 – x 4x + 1080 = 1280y = 120 – x4x = 1280 – 1080y = 120 – x4x = 200 | :4y = 120 – xx = 50


    Procenty

    Procenty (Współczynniki


    Jeden procent (1%) to jedna setna (0,01) część całości.

    1% = 1/100 = 0,01

    Dziesiąta część procenta to promil (‰) albo jeden procent to 10 promili.

    1% = 10‰


    Przyk ady

    2 = 200%

    0,75 = 75%

    1,25 = 125%

    0,30 = 30%

    0,89 = 89%

    0,01 = 1%

    0,15 = 15%

    4,78 = 478%

    Przykłady:


    Obliczanie procentu danej liczby

    Aby obliczyć procent danej liczby, należy procent przedstawić

    w postaci ułamka i otrzymany ułamek pomnożyć

    przez daną liczbę

    Przykład:

    20% liczby 60 = 0,20 · 60 = 12

    Można tez obliczyć 1% (10%) danej wielkości, a następnie żądany procent.

    Przykład:

    30% liczby 20

    100% liczby: 20

    10% liczby: 2 (dziesięciokrotnie mniej)

    30% liczby: 6 (trzykrotnie więcej)

    Obliczanie procentu danej liczby


    Zadanie 11

    Oblicz, ile wynosi 60% liczby 120. przedstawić

    0,60 * 120 = 72

    Zadanie 2.

    Oblicz ile wynosi 17% liczby 110.

    0,17 * 110 = 18,7

    Zadanie 1.


    Obliczanie jakim procentem jednej liczby jest druga liczba

    Żeby obliczyć, jakim procentem pierwszej liczby jest druga liczba, należy obliczyć, jakim ułamkiem pierwszej

    liczby jest druga liczba i ułamek ten przedstawić w postaci procentu.

    Obliczanie jakim procentem jednej liczby jest druga liczba


    Przyk ady1

    1. Jakim procentem liczby 75 jest liczba 5? liczba, należy obliczyć, jakim ułamkiem pierwszej

    5/75 * 100% = 6 2/3 %

    2. Jakim procentem liczby 40 jest liczba 25?

    25/40 * 100% = 62, 5 %

    3. Jakim procentem liczby 60 jest liczba 15?

    15/60 * 100% = 25%

    Przykłady:


    Obliczanie liczby z danego jej procentu

    Przykład: liczba, należy obliczyć, jakim ułamkiem pierwszej

    Oblicz liczbę której 50% stanowi 50

    I sposób:

    Należy zamienić procent na ułamek

    Obliczamy na podstawie danego jej ułamka

    Obliczanie liczby z danego jej procentu


    II sposób: liczba, należy obliczyć, jakim ułamkiem pierwszej

    Jeżeli 50% stanowi 50, to 1% stanowi 50/50

    A 100% stanowi

    Odp. Liczba, której 50% stanowi 50 to 100.


    Zadanie 1. liczba, należy obliczyć, jakim ułamkiem pierwszej

    W Klasie 3G jest 15 dziewcząt. Stanowi to 60 procent uczniów tej klasy. Ile jest chłopców?

    Obliczamy ilu jest wszystkich uczniów

    Obliczamy ilu jest chłopców:

    25-15=10


    Zadanie 2

    Rodzina Kowalskich wybrała się na wycieczkę rowerową. Na trzecim postoju zauważyli, że przejechali już 12km, co stanowi 45% całej zaplanowanej trasy. Ile kilometrów pozostało im to końca planowanej trasy?

    Zadanie 2.


    Obliczamy długość całej trasy: trzecim postoju zauważyli, że przejechali już 12km, co stanowi 45% całej zaplanowanej trasy. Ile kilometrów pozostało im to końca planowanej trasy?

    Obliczamy długość całej trasy:

    26,6 – 12 = 14,6


    Oprocentowanie oszcz dno ci i kredyt w

    Przykład: trzecim postoju zauważyli, że przejechali już 12km, co stanowi 45% całej zaplanowanej trasy. Ile kilometrów pozostało im to końca planowanej trasy?

    Oblicz odsetki od kwoty 1500zł złożonej w banku na 5% na okres dwóch lat.

    Odp. Odsetki wynoszą 75 zł.

    Oprocentowanie oszczędności i kredytów


    Zadanie 12

    Pani Ania założyła lokatę terminową na kwotę 5200zł w banku z rocznym oprocentowaniem 8%. Oblicz jaką kwotę na swoim koncie będzie miała pani Ania po upływie roku.

    Zadanie 1.


    Obliczamy odsetki, jakie będą doliczone: banku z rocznym oprocentowaniem 8%. Oblicz jaką kwotę na swoim koncie będzie miała pani Ania po upływie roku.

    Obliczamy stan konta pani Ani po dodaniu odsetek

    5200 + 416 = 5614


    Zadanie 21

    Pan Janusz wziął kredyt w banku w kwocie 5000 zł o oprocentowaniu 9%. Jaką kwotę będzie musiał oddać banku po doliczeniu odsetek?

    Obliczamy ile będą wynosiły odsetki:

    Obliczamy ile będzie wynosiła kwota do zapłaty:

    5000 + 450 = 5450

    Zadanie 2.


    Twierdzenie talesa

    Twierdzenie Talesa oprocentowaniu 9%. Jaką kwotę będzie musiał oddać banku po doliczeniu odsetek?


    Twierdzenie talesa1

    Jeżeli ramiona kąta przetniemy prostymi równoległymi, to odcinki wyznaczone na jednym ramieniu kąta są proporcjonalne do odpowiednich odcinków wyznaczonych na drugim ramieniu kąta.

    Twierdzenie Talesa


    Jeżeli dwie proste przecięte są kilkoma prostymi równoległymi, to stosunek każdych dwóch odcinków utworzonych na jednej prostej jest równy stosunkowi odpowiednich dwóch odcinków utworzonych na drugiej prostej.


    Jeżeli dwie proste przecięte są kilkoma prostymi równoległymi, to odcinki utworzone na jednej prostej są proporcjonalne do odpowiednich odcinków utworzonych na drugiej prostej.


    Twierdzenie odwrotne od twierdzenia talesa

    Jeżeli odcinki wyznaczone przez proste na jednym ramieniu kąta są proporcjonalne do odpowiednich odcinków wyznaczonych przez te proste na drugim ramieniu kąta, to te proste są równoległe.

    Twierdzenie odwrotne od twierdzenia Talesa


    Twierdzenie o odcinkach proporcjonalnych na prostych r wnoleg ych
    Twierdzenie o odcinkach proporcjonalnych na prostych równoległych

    Jeżeli ramiona kąta (lub ich przedłużenia) przecięte są prostymi równoległymi, to odcinki utworzone na prostych równoległych są proporcjonalne do odpowiednich odcinków każdego ramienia, których początkiem jest wierzchołek kąta.


    Zadanie 1 oblicz d ugo ci odcink w oznaczonych literami
    Zadanie 1. równoległychOblicz długości odcinków oznaczonych literami.

    A)

    Rozwiązanie:

    ¾ = 6/a

    3a = 4*6 |: 3

    3a = 24 |: 3

    a = 8


    Rozwiązanie: równoległych

    3/2 = 3+3/b

    3/2 = 6/b

    3b = 6*2 |: 3

    3b = 12 |: 3

    b = 4

    B)


    Odp d ugo odcinka a wynosi 8 cm d ugo odcinka b 4 cm a d ugo odcinka c 1 4 cm
    Odp.: równoległychDługość odcinka a wynosi 8 cm, długość odcinka b 4 cm, a długość odcinka c 1,4 cm.

    C)

    Rozwiązanie:

    5/8 = 7/8+c

    5*8+c = 7*8

    40c = 56 |: 40

    c = 1,4


    Zadanie 22

    Boki trójkąta ABC mają długości: |AB|=5cm, |BC|=6cm, |AC|=9cm. Na boku AB odmierzamy odcinek AD długości 2cm

    i przez punkt D prowadzimy prostą równoległą do boku AC. Prosta ta przecina bok BC

    w punkcie E. Oblicz obwód trapezu ADEC

    Zadanie 2.


    Rozwiązanie: |AC|=9cm. Na boku AB odmierzamy odcinek AD długości 2cm

    |BC|/|AB|=|EC|/|DA|

    6/5 = |EC|/2

    5|EC|=6*2 |: 5|EC|

    5|EC|= 12 |: 5|EC|

    |EC| = 2,4

    |DE|/|DB| = |AC|/|AB|

    |DE|/3 = 9/5

    5|DE|= 9*3 |: 5|DE|

    5|DE|= 27 |: 5|DE|

    |DE| = 5,4 cm

    Ob= |AC|+|CE|+|ED|+|DA|= 9 cm + 2,4 cm + 5,4 cm + 2 cm = 18,8 cm

    Odp.: Obwód trapezu wynosi 18,8 cm.


    Wyra enia algebraiczne
    Wyrażenia algebraiczne |AC|=9cm. Na boku AB odmierzamy odcinek AD długości 2cm


    Wyrażenia, w których występują liczby i litery połączone znakami działań i nawiasami, nazywamy wyrażeniami algebraicznymi.


    Jednomiany te s wyra eniami algebraicznymi np 2b 10ab 9 4m 7d
    Jednomiany też są wyrażeniami algebraicznymi połączone znakami działań i nawiasami, nazywamy wyrażeniami algebraicznymi.np.: 2b, 10ab, -9, 4m+7d


    Wyra enie przyjmuje nazw ostatniego dzia ania kt re wykonujemy zgodnie z zasad kolejno ci dzia a
    Wyrażenie przyjmuje nazwę ostatniego działania, które wykonujemy zgodnie z zasadą kolejności działań

    Np.

    ab – iloczyn a i b

    a/b – iloraz a i b

    a+b – suma a i b

    a-b – różnica a i b


    Zapisz nazwy nast puj cych wyra e

    a)3a+x wykonujemy zgodnie z zasadą kolejności działań

    b)(4x-y)-2z

    c)(a+6)/(-16)

    Zapisz nazwy następujących wyrażeń


    Odp: wykonujemy zgodnie z zasadą kolejności działań

    a)Suma 3a i x

    b)Różnica 4x-y i 2z

    c)Iloraz (a+6)przez -16


    Zapisz nast puj ce wyra enia

    a)Trzykrotność sumy liczb a i 5 wykonujemy zgodnie z zasadą kolejności działań

    b)Połowę różnicy liczb 6 i x

    c)Liczbę trzycyfrową, której cyfrą setek jest a, cyfrą dziesiątek b i cyfrą jedności c.

    d)Iloczyn sumy i różnicy liczb x i y.

    Zapisz następujące wyrażenia


    Odp: wykonujemy zgodnie z zasadą kolejności działań

    a)3(a+b)

    b)(6-x)/2

    c)100a+10b+c

    d)(x+y)*(x-y)


    Wyrazy sumy algebraicznej różniącej się co najwyżej współczynnikami liczbowymi nazywamy wyrazami podobnymi.Dodawanie i odejmowanie wyrazów podobnych nazywamy redukcją wyrazów podobnych.


    Np. współczynnikami liczbowymi nazywamy wyrazami podobnymi.

    2a-b+3a+11b=5a+10b

    2c-10a+5b-10a-2c=5b-20a

    23a-ab+5ab-b=23a-b+4ab


    Wykonaj redukcj wyraz w podobnych

    a) 5x + 4 - 2x + 3 = współczynnikami liczbowymi nazywamy wyrazami podobnymi.

    b) 2a + 4b - 7a =

    c) 3x2 + 2x + 4x2 + 4 =

    d) 2a + 2b - a + 4b =

    e) a + 4a + 3b - b - 2a + 3b =

    Wykonaj redukcję wyrazów podobnych


    Odp: współczynnikami liczbowymi nazywamy wyrazami podobnymi.

    a) 5x + 4 - 2x + 3 = 3x + 7

    b) 2a + 4b - 7a = -5a + 4b

    c) 3x2 + 2x + 4x2 + 4 = 7x2 + 2x + 4

    d) 2a + 2b - a + 4b = a + 6b

    e) a + 4a + 3b - b - 2a + 3b = 3a + 5b


    Elementy statystyki

    Elementy statystyki współczynnikami liczbowymi nazywamy wyrazami podobnymi.


    Mediana

    Medianą, uporządkowanego rosnąco ciągu współczynnikami liczbowymi nazywamy wyrazami podobnymi.ndanych liczbowych (a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ … ≤ an) nazywamy:

    Dlannieparzystego: środkowy wyraz ciągu

    Dlanparzystego: średnią arytmetyczną środkowych wyrazów ciągu

    Mediana


    Przyk ad i

    Oceny: 3, 5, 6, 1, 2, 4, 5 współczynnikami liczbowymi nazywamy wyrazami podobnymi.

    Uporządkowane: 1, 2, 3, 4,5, 5, 6

    Mediana: 1, 2, 3, 4,5, 5, 6

    Przykład I


    Przyk ad ii

    Oceny: 5, 1, 3, 4, 5, 2 współczynnikami liczbowymi nazywamy wyrazami podobnymi.

    Uporządkowane: 1, 2,3,4, 5, 5

    Mediana: 3+4 =3.5

    2

    Przykład II


    Zadanie 13

    Ile wynosi mediana zarobków w pewnej firmie, jeżeli szef zarabia 12000 zł, sekretarka 8000 zł, 2 zastępców prezesa po 5000 zł, i 3 pracowników po 2000 zł?

    Zadanie 1.


    Obliczenia
    Obliczenia: zarabia 12000 zł, sekretarka 8000 zł, 2 zastępców prezesa po 5000 zł, i 3 pracowników po 2000 zł?

    Zarobki:

    szef 12000 zł

    sekretarka 8000 zł

    wiceprezes 1 5000 zł

    wiceprezes 2 5000 zł

    pracownik 1 2000 zł

    pracownik 2 2000 zł

    pracownik 3 2000 zł

    Uporządkowane: 2000, 2000, 2000, 5000, 5000, 8000, 12000

    Odp: Mediana zarobków w firmie wynosi 5000 zł.


    Zadanie 23

    Podaj medianę cen towarów w sklepie, znając ich cenę: zarabia 12000 zł, sekretarka 8000 zł, 2 zastępców prezesa po 5000 zł, i 3 pracowników po 2000 zł?

    Zadanie 2.

    2500 zł 500 zł 30 zł


    Obliczenia1
    Obliczenia: zarabia 12000 zł, sekretarka 8000 zł, 2 zastępców prezesa po 5000 zł, i 3 pracowników po 2000 zł?

    Ceny:

    komputer 2500zł

    mikroskop 500zł

    żarówka 30zł

    Uporządkowane: 30,500, 2500

    Odp: Mediana cen w sklepie wynosi 500 zł.


    Rednia arytmetyczna

    Średnia arytmetyczna zarabia 12000 zł, sekretarka 8000 zł, 2 zastępców prezesa po 5000 zł, i 3 pracowników po 2000 zł?nliczba1, a2, a3, …, an jest równa:

    a1 + a2 + a3 + … + an

    a = n

    Średnia arytmetyczna


    Przyk ad

    Średnia arytmetyczna liczb zarabia 12000 zł, sekretarka 8000 zł, 2 zastępców prezesa po 5000 zł, i 3 pracowników po 2000 zł?2, 8, 4, 3, 1wynosi:

    S= (2+8+4+3+1) / 5 =

    =18/ 5 = 3,6

    Przykład


    Zadanie 24
    Zadanie 2. zarabia 12000 zł, sekretarka 8000 zł, 2 zastępców prezesa po 5000 zł, i 3 pracowników po 2000 zł?

    Oblicz średnią arytmetyczną ocen ze sprawdzianu.


    Obliczenia2
    Obliczenia zarabia 12000 zł, sekretarka 8000 zł, 2 zastępców prezesa po 5000 zł, i 3 pracowników po 2000 zł?

    Suma wszystkich ocen:

    3 *1+ 2 * 2+ 5 * 3+ 7 * 4+ 4 * 5+ 2 * 6=82

    Ilość wszystkich ocen:

    3 + 2 +5 +7 +4 +2 = 23

    Średnia:

    S=82/ 23 ≈ 3,57


    Zadanie 3

    Tabela pokazuje średnie kursy dolara w poszczególnych miesiącach, oblicz średnią cenę dolara w danym roku.

    Zadanie 3.


    Obliczenia3
    Obliczenia miesiącach, oblicz średnią cenę dolara w danym roku.

    Suma cen dolara:

    3,62 + 3,65 + 3,65 + 3,80 + 3,81 + 3,81 + 3,81 + 3,83 + 3,85 + 3,85 + 3,90 + 4,14 = 45,75

    Liczbamiesięcy: 12

    Średnia:

    S= 45,75 / 12 = 3,81


    Rozst p

    Rozstępem nazywamy różnicę miedzy najwyższą a najniższą wartością w zbiorze.

    R = Xmax – Xmin

    Rozstęp


    Przyk ad1
    Przykład najniższą wartością w zbiorze.

    Oceny:

    4, 6, 14, 90, 84, 23, 432, 1645, 3,0

    R = Xmax – Xmin

    R = 1645 – 0 = 1645


    Zadanie 14

    Oblicz amplitudę temperatury dla Warszawy. najniższą wartością w zbiorze.

    Zadanie 1.


    Obliczenia4

    Najwyższa temperatura: 20°C najniższą wartością w zbiorze.

    Najniższa temperatura: -10°C

    Rozstęp:

    R= 20 – (-10) = 30

    Obliczenia


    Zadanie 25

    Oblicz rozstęp między średnią pensją krajową a średnią pensją krajową.

    Zadanie 2.


    Obliczenia5

    R średnią pensją krajową. = Xmax – Xmin

    R = 4015,37 – 1500

    R = 2515,37

    Obliczenia


    Zadanie 31

    Oblicz rozstęp miedzy miastami średnią pensją krajową. .

    Zadanie 3.


    Obliczenia6

    R = średnią pensją krajową. Xmax – Xmin

    R = 730 – 120

    R = 610

    Obliczenia


    Dominanta

    Dominantą nazywamy wartość najczęściej występująca w zbiorze uporządkowanym liczb.

    Dominanta


    Przyk ad2

    Zbiór liczb: zbiorze uporządkowanym liczb.

    1, 2, 3, 3, 3, 5, 6,

    Dominanta 3

    Przykład


    Zadanie 4 1
    Zadanie 4.1 zbiorze uporządkowanym liczb.

    Podaj dominantę ocen z klasówki.

    Odp.: 4


    Zadanie 26

    Ile wynosi dominanta liczb w zbiorze: zbiorze uporządkowanym liczb.

    A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 8, ,8, 9, 10, 11, 11, 11, 11, 20 }

    Zadanie 2.

    Odp. 11


    Zadanie 32

    Dominanta ocen z klasówki wynosi: zbiorze uporządkowanym liczb.

    Zadanie 3.

    Odp. 4


    Prezentacj wykonali

    Patryk zbiorze uporządkowanym liczb.Ewertowski

    Kinga Kuskowska

    Adam Ropelewski

    Milena Skierkowska

    Aleksandra Żbikowska

    Martyna Żurawska

    Prezentację wykonali :


    Bibliografia

    Podręcznik do matematyki „Z PITAGORASEM PRZEZ GIMNAZJUM” do klasy II i III.

    BIBLIOGRAFIA


    Spis tre ci
    SPIS TREŚCI GIMNAZJUM” do klasy II i III.

    • SYMETRIE

    • FUNKCJE

    • WZORY SKRÓCONEGO MNOŻENIA

    • ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ

    • I STOPNIA Z DWIEMA NIEWIADOMYMI

    • PROCENTY

    • TWIERDZENIE TALESA

    • WYRA ŻENIA ALGEBRAICZNE

    • ELEMENTY STATYSTYKI


    WYBRAŁEŚ PRAWIDŁOWĄ ODPOWIEDŹ GIMNAZJUM” do klasy II i III.


    WYBRAŁEŚ ZŁĄ ODPOWIEDŹ GIMNAZJUM” do klasy II i III.


    ad