Matematyka nie jest trudna
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 138

Matematyka nie jest trudna PowerPoint PPT Presentation


  • 413 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

Matematyka nie jest trudna. SPIS TREŚCI. SYMETRIE. Symetria jest rozumiana jako przekształcenie figury na tą samą figurę . Na płaszczyźnie wyróżniamy symetrię osiową (symetrie względem prostej- odbicie lustrzane) i symetrie środkową (względem punktu). Czym jest Symetria ?.

Download Presentation

Matematyka nie jest trudna

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Matematyka nie jest trudna

Matematykanie jest trudna

SPIS TREŚCI


Symetrie

SYMETRIE


Czym jest symetria

Symetria jest rozumiana jako przekształcenie figury na tą samą

figurę . Na płaszczyźnie wyróżniamy symetrię osiową (symetrie względem prostej- odbicie lustrzane) i symetrie środkową (względem punktu).

Czym jest Symetria ?


Figury osiowosymetryczne

figury osiowosymetryczne

Prosta względem której figura jest symetryczna sama do siebie nazywa się osią figury symetrii.

O figurze, która ma oś symetrii mówimy, że jest figurą osiowosymetryczną. Jeżeli figurę osiowosymetryczną przekształcimy przez symetrię względem jej osi to figura ta nałoży się sama na siebie.


Przyk ady figur osiowosymetrycznych

Przykłady figur osiowosymetrycznych


Czym jest rodek symetrii figury

Punkt względem którego figura jest symetryczna sama do siebie nazywa się środkiem symetrii figury. O figurze która ma środek symetrii mówimy, że jest figurą środkowo symetryczną. Jeżeli figurę środkowo symetryczną przekształcimy przez symetrię środka symetrii (obrócimy ją o kąt 180 ˚) to figura ta nałoży się sama na siebie

Czym jest środek symetrii figury ?


Przyk ady figur rodkowo symetrycznych

Przykłady figur środkowo symetrycznych


Przyk ady figur rodkowo symetrycznych1

Przykłady figur środkowo symetrycznych


Przyk ady symetrii wzgl dem punktu

Przykłady symetrii względem punktu


Przyk ady symetrii przez punkt

Przykłady symetrii przez punkt


Przyk ady symetrii przez punkt1

Przykłady symetrii przez punkt


Matematyka nie jest trudna

Sprawdź swoją wiedzę o symetriach :


Kt ra z figur jest rodkowo symetryczna

Która z figur jest środkowo symetryczna?


Ile osi symetrii ma tr jk t r wnoboczny

Ile osi symetrii ma trójkąt równoboczny?

a) 0

b) 2

d) 3

c) 4


Czy przekszta cenie figury wzgl dem prostej mo na nazwa odbiciem lustrzanym

Czy przekształcenie figury względem prostej można nazwać odbiciem lustrzanym?

NIE

TAK


Kt ra z tych figur ma dok adnie 4 osie symetrii

Która z tych figur ma dokładnie 4 osie symetrii?


Kt ra z figur zosta a przekszta cona prawid owo wzgl dem prostej

Która z figur została przekształcona prawidłowo względem prostej?


Funkcje

Funkcje


Matematyka nie jest trudna

Pojęcie funkcji

jest jednym z podstawowych pojęć matematyki współczesnej. Z pojęciem tym spotykamy się coraz częściej. W prasie codziennej, w czasopismach i telewizji często prezentowane są wykresy różnych zależności. Przykładami Są choćby notowania kursów walut czy tez akcji na giełdzie papierów wartościowych. Wykresem funkcji liniowej jest prosta.


Matematyka nie jest trudna

Pojęcie funkcji:

Jeżeli dane są dwa zbiory X i Y i każdemu elementowi

x przynależnemu do zbioru X przyporządkowany jest dokładnie jeden element y przynależny do zbioru Y, to takie przyporządkowanie nazywamy funkcją określoną w zbiorze X o wartościach w zbiorze Y.

f: x→y

Zbiór X nazywamy zbiorem argumentów lub dziedziną funkcji. Zbiór wszystkich y przynależnych do zbioru Y takich, że istnieje x przynależne do zbioru X,

dla którego y=f(x)

nazywamy zbiorem wartości tej funkcji.


Matematyka nie jest trudna

Zadanie 1:

W skład zespołu pewnego domu kultury liczy 6 osób, z czego Asia gra na pianinie, Andrzej

i Zosia grają na gitarze, Karol i Ewelina grają na bębnach, a Maciej gra na skrzypcach. Wykonaj rysunek (graf) przyporządkowujący każdej osobie instrument na którym gra.


Matematyka nie jest trudna

Zadanie 2:

W stałym składzie drużyny koszykowej z Inowrocławia jest 5 mężczyzn. Jest to Krzysztof który ma 189 cm wzrostu, Witold 173 cm, Jerzy 178 cm, Jerzy 170 cm oraz Aleksander który ma 180 cm wzrostu. Wykonaj rysunek (graf ) przyporządkowujący każdemu zawodnikowi jego wzrost.


Matematyka nie jest trudna

Wykresem funkcji o dziedzinie X jest zbiór wszystkich punktów płaszczyzny o współrzędnych (x,y) spełniających waruneky=f(x), gdzie x należy do zbioru X

W życiu codziennym możemy zastosować funkcje w wielu przypadkach:

np. każda osoba:

- lubi różne gatunki filmów


Matematyka nie jest trudna

- różne kolory włosów


Matematyka nie jest trudna

- różne zainteresowania


Matematyka nie jest trudna

Sposoby określania funkcji:

Funkcję możemy określić za pomocą:

  • - opisu słownego

  • - grafu

  • - tabelki

  • - wzoru

  • - wykresu


Matematyka nie jest trudna

Zadanie 1:

Dane są dwa zbiory:

X = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Y = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}

Zbiór X jest zbiorem argumentów, a Y jest zbiorem wartości pewnej funkcji. Każdemu elementowi ze zbioru X jest przyporządkowany tylko jeden element ze zbioru Y, tak że wartością funkcji dla argumentu 0 jest liczba 2, dla argumentu 1 liczba 3 itd. Opisz różnymi sposobami tę funkcję.

Opis słowny:

Każdej liczbie naturalnej mniejszej od 10 jest przyporządkowana liczba ze zbioru y większa o 2.


Tabelka

Graf:

Wykres:

Tabelka:


Matematyka nie jest trudna

Wzór:

y= x+2

Każdej liczbie ze zbioru x przyporządkowana jest

liczba y taka, że:

y = x + 2

Wzór ten możemy zapisać:

x→ x + 2 lub f(x ) = x+ 2


W asno ci funkcji

Wykres funkcji zależy od dziedziny funkcji.

Miejscem zerowym funkcji jest taki argument, dla którego wartość funkcji jest równa zero.

Własności funkcji:


Matematyka nie jest trudna

Zadanie 1:

Dana jest funkcja y = x – 1.

Sporządź wykres na podstawie danych z tabelki.

y = -2 -1 = -3

y = -1 -1 = -2

y = 0 -1 = -1

y = 1 -1 = 0

y = 2 -1 = 1


Matematyka nie jest trudna

Funkcja

może mieć jedno miejsce zerowe, wiele miejsc zerowych, lub nie mieć żadnego miejsc a zerowego.


Matematyka nie jest trudna

Zadanie:

Funkcja określona jest wzorem

y = 3(x-1) dla x = { -2, -1, 0, 1, 2}

Narysuj graf, sporządź tabelkę i wykres tej funkcji oraz podaj taki argument tej funkcji, dla którego wartość funkcji jest równa 0.

y = 3*(-2 -1)= -9

y = 3*(-1 -1)= -6

y = 3*(0 -1)= -3

y = 3*(1-1)= 0

y= 3*(2-1)= 3


Matematyka nie jest trudna

graf:

tabelka:

wykres:

Funkcja przyjmuje wartość 0 dla argumentu x = 1.

Mówimy że x=1 jest miejscem zerowym tej funkcji.


Matematyka nie jest trudna

Odczytywanie i interpretowanie informacji

z wykresów funkcji.


Matematyka nie jest trudna

Zadanie:

Funkcja y = ax + b dla x należącego do R,

Jej wykres i własność.

Funkcją liniową jest każda funkcja określana wzorem

y= ax+b i x przynależne do zbioru R

gdzie a i b są dowolnymi liczbami rzeczywistymi.

Wykresem funkcji liniowej y = ax + b jest prosta przecinająca oś OY w punkcie ( 0, b)

Wykres funkcji liniowej y = ax + b, gdzie a≠0 przecina oś OX

W punkcie o współrzędnych -

a oś OY w punkcie o współrzędnych (0, b).

Zwróć uwagę, że

jest miejscem zerowym funkcji.


Matematyka nie jest trudna

Wykres każdej funkcji y = ax jest prostą, która przechodzi przez początek układu współrzędnych oraz przez punkt (1, a).

Jeżeli:

a >0, to wykres funkcji przechodzi przez I i III ćwiartkę,

a < 0, to wykres funkcji przechodzi przez II i IV ćwiartkę,

a = 0, to wykres pokrywa się z osią odciętych ( OX)

  • Funkcja liniowa y = ax + b jest:

  • rosnąca, gdy a > 0,

  • malejąca, gdy a < 0,

  • stała, gdy a = 0.


Matematyka nie jest trudna

Zadanie :

Dziedzinę funkcji y= x- 1 jest zbiór liczb rzeczywistych. Sporządź częściową tabelkę tej funkcji i zaznacz w układzie współrzędnych wybrane punkty należące do jej wykresu. Oblicz miejsce zerowe tej funkcji.


Miejsce zerowe

Miejsce zerowe:

y = -2 -1 = -3

y= -1 -1= -2

y=0 -1= -1

y= 1 -1= 0

y= 2-1= 1

a= -2

b= -3

=


Matematyka nie jest trudna

Wzory skróconego mnożenia


Matematyka nie jest trudna

  • KWADRAT SUMY

  • (a+b)2= a2 +2ab+b2

  • KWADRAT RÓŻNICY

  • (a-b)2= a2-2ab+b2

  • RÓŻNICA KWADRATÓW

  • a2-b2= (a-b)(a+b)


  • Matematyka nie jest trudna

    SZEŚCIAN SUMY

    (a+b)3= a3+3a2b+3ab2+b3

    SZEŚCIAN RÓŻNICY

    (a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3


    Matematyka nie jest trudna

    Przykłady zastosowania wzorów skróconego mnożenia


    Matematyka nie jest trudna

    ROZKŁADANIESUMALGEBRAICZNYCH NA CZYNNIKI

    Aby rozłożyć sumę algebraiczną na czynniki, czyli przedstawić ja w postaci iloczynu co najmniej dwóch czynników, należy:

    - pogrupować wyrazy- wyłączyć wspólny czynnik przed nawias- zastosować wzory skróconego mnożenia

    PRZYKŁAD:

    2a2+4ab+2b2=2(a2+2ab+b2)=2(a+b)2


    Matematyka nie jest trudna

    POZBYWANIESIĘNIEWYMIERNOŚCIZMIANOWNIKA

    Jeżeli w mianowniku ułamka pojawia się jako składnik sumy pierwiastek, korzystamy z wzoru na różnicę kwadratów.

    PRZYKŁAD:


    Matematyka nie jest trudna

    • ZADANIA:

    • Rozłóż na czynniki wyrażenie x2-y2.

    • x2-y2= (x-y)(x+y)

    • Rozłóż na czynniki wyrażenie 24a2-24a+3, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.

    • 24a2-24a+3= 3(8a2-8a+1)

    • Oblicz.

    • (3+4√2)2= (3)2+2*3*4√2+(4√2)2=9+24√2+32=41+24√2

    • 4√2*4√2=4(2)2=32


    Matematyka nie jest trudna

    • Oblicz.

    • (√5-1)3= (√5)3- 3*(√5)2*1 +3√5*(1)2-(1)3= 5√5-15+3√5-1=-16+8√5

    • Rozwiąż równanie korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.

    • (3-x)2-(x+1/3)2=2/9

    • 32-2*3*x+x2-x2-2x*1/3-(1/3)2=2/9

    • 9-6x-2/3x-1/9=2/9

    • -6x-2/3x=2/9-9+1/9

    • -20/3x=-9+3/9

    • -20/3x=-9+1/3

    • -20/3x=-26/3|*(-3)

    • 20x=26

    • X=26/20

    • X=16/20

    • X=1,3

    • Odp. Rozwiązaniem równania jest x=1,3


    Matematyka nie jest trudna

    Rozwiązywanie układów równań

    I stopnia z dwiema niewiadomymi


    Matematyka nie jest trudna

    I Metoda podstawiania

    x+ 2y = 5 Wyznaczamy niewiadomą x z pierwszego równania

    2x -5y = -8

    x = 5 - 2yUkład jest równoważny poprzedniemu układowi2x – 5y = -8

    x = 5 – 2 yPodstawiamy do drugiego równania miejsce

    2( 5 – 2y) – 5y = -8 niewiadomej x wyrażenie 5 – 2y. Otrzymany układ równań jest równoważny poprzedniemu

    x = 5- 2y = -8Przepisujemy pierwsze równanie i rozwiązujemy drugie 10 – 4y – 5y = -8równanie z jedną niewiadomą

    x = 5 – 2y-4y – 5y = -8 -10x = 5 – 2y-9y = -18 | : (-9)

    x = 5- 2yWstawiamy do równania pierwszego w miejsce y y = 2wyznaczoną z drugiego równania liczbę 2x = 5-2 • 2y = 2x = 1y = 2 Odp Para liczb x = 1 i y = 2 jest rozwiązaniem tego układu równań.


    Matematyka nie jest trudna

    x- 2y = 1y = -2x - 2• (-2) = 1y = -2

    x + 4 = 1y = -2x = 1 – 4y = -2x = -3y = -2Odp : Rozwiązaniem tego układu równań jest para liczb x = -3 i y = -2


    Matematyka nie jest trudna

    3x + y = -6 + y

    x + y = 2

    3x + y – y = -6y = 2 - x

    3x = -6 | :3y = 2 – x x = -2y= 2 – (-2)x = -2 y = 2 + 2x = -2y = 4Odp : Rozwiązaniem tego układu równań jest para liczb x = -2 i y = 4


    Matematyka nie jest trudna

    Metoda przeciwnych współczynnikówRozwiązanie układu równań metodą przeciwnych współczynników polega na :* przekształceniu obu równań układu tak aby otrzymać przy tej samej niewiadomej współczynniki będące liczbami przeciwnymi

    *dodaniu stronami równań układu, eliminując

    w ten sposób jedną z niewiadomych* rozwiązaniu równania z jedną niewiadomą* obliczeniu drugiej niewiadomej


    Matematyka nie jest trudna

    Równania układu równań dodajemy stronami. (Współczynniki przy niewiadomej y są liczbami przeciwnymi 1 i -1.+_______________Rozwiązujemy otrzymane równanie. x + x +y – y = 8 +2 2x = 10 | :2 x = 5x = 5 Tworzymy nowy układ równań równoważny układowi danemu, x + y = 8którego jednym równaniem jest x = 5, a drugie dowolne równanie układu początkowego.x = 5Liczbę 5 podstawiamy w miejsce niewiadomej x do drugiego 5 + y = 8równania i rozwiązujemy to równie

    x = 5y= 8 – 5x = 5y = 3Odp Rozwiązaniem tego układu równań jest para liczb x = 5 i y = 3


    Matematyka nie jest trudna

    -x + 3y = 4 | • 3 3x – 2y = 2 -3x + 9y = 12 3x -2y = 2+____________7y = 14 | :7y = 2-x + 3y = 4y= 2 -x + 3•2 = 4y = 2-x = -2| : (-1)y = 2x = 2 y = 2Odp : Rozwiązaniem tego układu równań jest para liczb x = 2 i y = 2


    Matematyka nie jest trudna

    4( x+ 2) = 1 – 5y3( y + 2) = 3 – 2x4x + 8 = 1 – 5y3y + 6 = 3- 2x4x + 5y = 1 – 82x + 3y = 3 – 64x + 5y = -72x + 3y = -34x + 5y = -72x + 3y = -3 | • (-2)4x+ 5y = -7-4x -6y = 6+___________-y = - 1y = 1y=12x + 3y = -3

    y = 12x + 3 = -3y=1 2x = -6 |:2x = -3y = 1Rozwiązaniem tego układu równań jest para liczb x = -3 i y = 1


    Zadanie 1

    ZADANIE 1:

    Przed 10 laty ojciec był 4 razy starszy od syna. Za 10 lat ojciec i syn będą mieli razem 100 lat. Ile lat ma obecnie ojciec a ile syn ?

    x –wiek synay – wiek ojcay- 10 – wiek ojca z przed 10 laty4(x-10) – wiek syna z przed 10 laty100 –suma lat ojca i syna za 10 lat

    y – 10 = 4x – 40y + 10 + x + 10 = 100y – 10= 4x – 40y + x = 100 -20 y – 4x = -40 + 10y + x = 80 |• (-1)y – 4x = -30-y – x = - 80+____________- 5x = -110 | : (-5)x= 22

    y – 10 = 4(x-10)x= 22y – 10= 4(22-10)x =22y = 58x = 22

    Odp : Obecnie ojciec ma 58 lat a syn 22


    Matematyka nie jest trudna

    ZADANIE 2:Suma dwóch liczb jest równa 92. Jakie to liczby jeżeli 40% pierwszej liczby jest równe ¾ liczby drugiej.x- pierwsza liczba y druga liczba40 %x = ¾ y – 40% pierwszej liczby jest równe ¾ drugiej liczbyx+ y = 9240%x = ¾ y x + y = 922/5 x = ¾ y | • 20x + y = 92 8x = 15y

    x = 92 – yy = 32x=60y = 32

    x = 92 – y8 (92 – y) = 15y

    x = 92 – y

    736 – 8y = 15 yx = 92 – y23y = 736 | :23


    Matematyka nie jest trudna

    ZADANIE 3:Ile kilogramów 15- procentowego roztworu kwasu siarkowego I ile kilogramów 30- procentowego roztworu kwasu siarkowego należy zmieszać , aby otrzymać 18 kg roztworu kwasu siarkowego o stężeniu 20%x+y=1815%30%20%x + y = 1815%x + 30%y = 20% •18x + y = 183/20x + 3/10y = 3,6 | • 10x + y = 18 | • -36x + 3y = 34-3x – 3y = -546x + 3y = 36+____________3x = -18 | : 3 x =- 6

    x+ y = 18x = -6y=24x =-6


    Matematyka nie jest trudna

    ZADANIE 4:

    Na obóz do Krynicy Morskiej wyjechało 120,a do Łeby 128 sportowców. W Łebie było 30% więcej dziewcząt i o 10% mniej chłopców niż w Krynicy. Ile dziewcząt i ilu chłopców było na obozie w Krynicy morskiej ?x – liczba dziewcząt na obozie w Krynicyy – liczba chłopców na obozie w Krynicyx + y = 120 – liczba sportowców na obozie w Krynicyx + 0,3x = 1,3x – liczba dziewcząt na obozie w Łebiey – 0,1y = 0,9y – liczba chłopców na obozie w Łebie1,3x + 0,9y = 128 – liczba sportowców na obozie w Łebie x +y = 1201,3x + 0,9y = 128| • 10x + y = 120

    13x + 9y = 1280y = 120 – x13x + 9 (120-x) = 1280y = 120 – x13x + 1080 – 9x =1280

    x = 50y = 120 – 50x = 50y = 70Odp : Na obozie w Krynicy Morskiej było 50 dziewcząt i 70 chłopców.

    y = 120 – x 4x + 1080 = 1280y = 120 – x4x = 1280 – 1080y = 120 – x4x = 200 | :4y = 120 – xx = 50


    Procenty

    Procenty


    Matematyka nie jest trudna

    Jeden procent (1%) to jedna setna (0,01) część całości.

    1% = 1/100 = 0,01

    Dziesiąta część procenta to promil (‰) albo jeden procent to 10 promili.

    1% = 10‰


    Przyk ady

    2 = 200%

    0,75 = 75%

    1,25 = 125%

    0,30 = 30%

    0,89 = 89%

    0,01 = 1%

    0,15 = 15%

    4,78 = 478%

    Przykłady:


    Obliczanie procentu danej liczby

    Aby obliczyć procent danej liczby, należy procent przedstawić

    w postaci ułamka i otrzymany ułamek pomnożyć

    przez daną liczbę

    Przykład:

    20% liczby 60 = 0,20 · 60 = 12

    Można tez obliczyć 1% (10%) danej wielkości, a następnie żądany procent.

    Przykład:

    30% liczby 20

    100% liczby: 20

    10% liczby: 2 (dziesięciokrotnie mniej)

    30% liczby: 6 (trzykrotnie więcej)

    Obliczanie procentu danej liczby


    Zadanie 11

    Oblicz, ile wynosi 60% liczby 120.

    0,60 * 120 = 72

    Zadanie 2.

    Oblicz ile wynosi 17% liczby 110.

    0,17 * 110 = 18,7

    Zadanie 1.


    Obliczanie jakim procentem jednej liczby jest druga liczba

    Żeby obliczyć, jakim procentem pierwszej liczby jest druga liczba, należy obliczyć, jakim ułamkiem pierwszej

    liczby jest druga liczba i ułamek ten przedstawić w postaci procentu.

    Obliczanie jakim procentem jednej liczby jest druga liczba


    Przyk ady1

    1. Jakim procentem liczby 75 jest liczba 5?

    5/75 * 100% = 6 2/3 %

    2. Jakim procentem liczby 40 jest liczba 25?

    25/40 * 100% = 62, 5 %

    3. Jakim procentem liczby 60 jest liczba 15?

    15/60 * 100% = 25%

    Przykłady:


    Obliczanie liczby z danego jej procentu

    Przykład:

    Oblicz liczbę której 50% stanowi 50

    I sposób:

    Należy zamienić procent na ułamek

    Obliczamy na podstawie danego jej ułamka

    Obliczanie liczby z danego jej procentu


    Matematyka nie jest trudna

    II sposób:

    Jeżeli 50% stanowi 50, to 1% stanowi 50/50

    A 100% stanowi

    Odp. Liczba, której 50% stanowi 50 to 100.


    Matematyka nie jest trudna

    Zadanie 1.

    W Klasie 3G jest 15 dziewcząt. Stanowi to 60 procent uczniów tej klasy. Ile jest chłopców?

    Obliczamy ilu jest wszystkich uczniów

    Obliczamy ilu jest chłopców:

    25-15=10


    Zadanie 2

    Rodzina Kowalskich wybrała się na wycieczkę rowerową. Na trzecim postoju zauważyli, że przejechali już 12km, co stanowi 45% całej zaplanowanej trasy. Ile kilometrów pozostało im to końca planowanej trasy?

    Zadanie 2.


    Matematyka nie jest trudna

    Obliczamy długość całej trasy:

    Obliczamy długość całej trasy:

    26,6 – 12 = 14,6


    Oprocentowanie oszcz dno ci i kredyt w

    Przykład:

    Oblicz odsetki od kwoty 1500zł złożonej w banku na 5% na okres dwóch lat.

    Odp. Odsetki wynoszą 75 zł.

    Oprocentowanie oszczędności i kredytów


    Zadanie 12

    Pani Ania założyła lokatę terminową na kwotę 5200zł w banku z rocznym oprocentowaniem 8%. Oblicz jaką kwotę na swoim koncie będzie miała pani Ania po upływie roku.

    Zadanie 1.


    Matematyka nie jest trudna

    Obliczamy odsetki, jakie będą doliczone:

    Obliczamy stan konta pani Ani po dodaniu odsetek

    5200 + 416 = 5614


    Zadanie 21

    Pan Janusz wziął kredyt w banku w kwocie 5000 zł o oprocentowaniu 9%. Jaką kwotę będzie musiał oddać banku po doliczeniu odsetek?

    Obliczamy ile będą wynosiły odsetki:

    Obliczamy ile będzie wynosiła kwota do zapłaty:

    5000 + 450 = 5450

    Zadanie 2.


    Twierdzenie talesa

    Twierdzenie Talesa


    Twierdzenie talesa1

    Jeżeli ramiona kąta przetniemy prostymi równoległymi, to odcinki wyznaczone na jednym ramieniu kąta są proporcjonalne do odpowiednich odcinków wyznaczonych na drugim ramieniu kąta.

    Twierdzenie Talesa


    Matematyka nie jest trudna

    Jeżeli dwie proste przecięte są kilkoma prostymi równoległymi, to stosunek każdych dwóch odcinków utworzonych na jednej prostej jest równy stosunkowi odpowiednich dwóch odcinków utworzonych na drugiej prostej.


    Matematyka nie jest trudna

    Jeżeli dwie proste przecięte są kilkoma prostymi równoległymi, to odcinki utworzone na jednej prostej są proporcjonalne do odpowiednich odcinków utworzonych na drugiej prostej.


    Twierdzenie odwrotne od twierdzenia talesa

    Jeżeli odcinki wyznaczone przez proste na jednym ramieniu kąta są proporcjonalne do odpowiednich odcinków wyznaczonych przez te proste na drugim ramieniu kąta, to te proste są równoległe.

    Twierdzenie odwrotne od twierdzenia Talesa


    Twierdzenie o odcinkach proporcjonalnych na prostych r wnoleg ych

    Twierdzenie o odcinkach proporcjonalnych na prostych równoległych

    Jeżeli ramiona kąta (lub ich przedłużenia) przecięte są prostymi równoległymi, to odcinki utworzone na prostych równoległych są proporcjonalne do odpowiednich odcinków każdego ramienia, których początkiem jest wierzchołek kąta.


    Zadanie 1 oblicz d ugo ci odcink w oznaczonych literami

    Zadanie 1.Oblicz długości odcinków oznaczonych literami.

    A)

    Rozwiązanie:

    ¾ = 6/a

    3a = 4*6 |: 3

    3a = 24 |: 3

    a = 8


    Matematyka nie jest trudna

    Rozwiązanie:

    3/2 = 3+3/b

    3/2 = 6/b

    3b = 6*2 |: 3

    3b = 12 |: 3

    b = 4

    B)


    Odp d ugo odcinka a wynosi 8 cm d ugo odcinka b 4 cm a d ugo odcinka c 1 4 cm

    Odp.: Długość odcinka a wynosi 8 cm, długość odcinka b 4 cm, a długość odcinka c 1,4 cm.

    C)

    Rozwiązanie:

    5/8 = 7/8+c

    5*8+c = 7*8

    40c = 56 |: 40

    c = 1,4


    Zadanie 22

    Boki trójkąta ABC mają długości: |AB|=5cm, |BC|=6cm, |AC|=9cm. Na boku AB odmierzamy odcinek AD długości 2cm

    i przez punkt D prowadzimy prostą równoległą do boku AC. Prosta ta przecina bok BC

    w punkcie E. Oblicz obwód trapezu ADEC

    Zadanie 2.


    Matematyka nie jest trudna

    Rozwiązanie:

    |BC|/|AB|=|EC|/|DA|

    6/5 = |EC|/2

    5|EC|=6*2 |: 5|EC|

    5|EC|= 12 |: 5|EC|

    |EC| = 2,4

    |DE|/|DB| = |AC|/|AB|

    |DE|/3 = 9/5

    5|DE|= 9*3 |: 5|DE|

    5|DE|= 27 |: 5|DE|

    |DE| = 5,4 cm

    Ob= |AC|+|CE|+|ED|+|DA|= 9 cm + 2,4 cm + 5,4 cm + 2 cm = 18,8 cm

    Odp.: Obwód trapezu wynosi 18,8 cm.


    Wyra enia algebraiczne

    Wyrażenia algebraiczne


    Matematyka nie jest trudna

    Wyrażenia, w których występują liczby i litery połączone znakami działań i nawiasami, nazywamy wyrażeniami algebraicznymi.


    Jednomiany te s wyra eniami algebraicznymi np 2b 10ab 9 4m 7d

    Jednomiany też są wyrażeniami algebraicznyminp.: 2b, 10ab, -9, 4m+7d


    Wyra enie przyjmuje nazw ostatniego dzia ania kt re wykonujemy zgodnie z zasad kolejno ci dzia a

    Wyrażenie przyjmuje nazwę ostatniego działania, które wykonujemy zgodnie z zasadą kolejności działań

    Np.

    ab – iloczyn a i b

    a/b – iloraz a i b

    a+b – suma a i b

    a-b – różnica a i b


    Zapisz nazwy nast puj cych wyra e

    a)3a+x

    b)(4x-y)-2z

    c)(a+6)/(-16)

    Zapisz nazwy następujących wyrażeń


    Matematyka nie jest trudna

    Odp:

    a)Suma 3a i x

    b)Różnica 4x-y i 2z

    c)Iloraz (a+6)przez -16


    Zapisz nast puj ce wyra enia

    a)Trzykrotność sumy liczb a i 5

    b)Połowę różnicy liczb 6 i x

    c)Liczbę trzycyfrową, której cyfrą setek jest a, cyfrą dziesiątek b i cyfrą jedności c.

    d)Iloczyn sumy i różnicy liczb x i y.

    Zapisz następujące wyrażenia


    Matematyka nie jest trudna

    Odp:

    a)3(a+b)

    b)(6-x)/2

    c)100a+10b+c

    d)(x+y)*(x-y)


    Matematyka nie jest trudna

    Wyrazy sumy algebraicznej różniącej się co najwyżej współczynnikami liczbowymi nazywamy wyrazami podobnymi.Dodawanie i odejmowanie wyrazów podobnych nazywamy redukcją wyrazów podobnych.


    Matematyka nie jest trudna

    Np.

    2a-b+3a+11b=5a+10b

    2c-10a+5b-10a-2c=5b-20a

    23a-ab+5ab-b=23a-b+4ab


    Wykonaj redukcj wyraz w podobnych

    a) 5x + 4 - 2x + 3 =

    b) 2a + 4b - 7a =

    c) 3x2 + 2x + 4x2 + 4 =

    d) 2a + 2b - a + 4b =

    e) a + 4a + 3b - b - 2a + 3b =

    Wykonaj redukcję wyrazów podobnych


    Matematyka nie jest trudna

    Odp:

    a) 5x + 4 - 2x + 3 = 3x + 7

    b) 2a + 4b - 7a = -5a + 4b

    c) 3x2 + 2x + 4x2 + 4 = 7x2 + 2x + 4

    d) 2a + 2b - a + 4b = a + 6b

    e) a + 4a + 3b - b - 2a + 3b = 3a + 5b


    Elementy statystyki

    Elementy statystyki


    Mediana

    Medianą, uporządkowanego rosnąco ciągu ndanych liczbowych (a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ … ≤ an) nazywamy:

    Dlannieparzystego: środkowy wyraz ciągu

    Dlanparzystego: średnią arytmetyczną środkowych wyrazów ciągu

    Mediana


    Przyk ad i

    Oceny:3, 5, 6, 1, 2, 4, 5

    Uporządkowane: 1, 2, 3, 4,5, 5, 6

    Mediana: 1, 2, 3, 4,5, 5, 6

    Przykład I


    Przyk ad ii

    Oceny: 5, 1, 3, 4, 5, 2

    Uporządkowane: 1, 2,3,4, 5, 5

    Mediana: 3+4 =3.5

    2

    Przykład II


    Zadanie 13

    Ile wynosi mediana zarobków w pewnej firmie, jeżeli szef zarabia 12000 zł, sekretarka 8000 zł, 2 zastępców prezesa po 5000 zł, i 3 pracowników po 2000 zł?

    Zadanie 1.


    Obliczenia

    Obliczenia:

    Zarobki:

    szef 12000 zł

    sekretarka 8000 zł

    wiceprezes 1 5000 zł

    wiceprezes 2 5000 zł

    pracownik 12000 zł

    pracownik 22000 zł

    pracownik 3 2000 zł

    Uporządkowane: 2000, 2000, 2000, 5000, 5000, 8000, 12000

    Odp: Mediana zarobków w firmie wynosi 5000 zł.


    Zadanie 23

    Podaj medianę cen towarów w sklepie, znając ich cenę:

    Zadanie 2.

    2500 zł 500 zł 30 zł


    Obliczenia1

    Obliczenia:

    Ceny:

    komputer 2500zł

    mikroskop500zł

    żarówka 30zł

    Uporządkowane: 30,500, 2500

    Odp: Mediana cen w sklepie wynosi 500 zł.


    Rednia arytmetyczna

    Średnia arytmetyczna nliczba1, a2, a3, …, an jest równa:

    a1 + a2 + a3 + … + an

    a = n

    Średnia arytmetyczna


    Przyk ad

    Średnia arytmetyczna liczb 2, 8, 4, 3, 1wynosi:

    S= (2+8+4+3+1) / 5 =

    =18/ 5 = 3,6

    Przykład


    Zadanie 24

    Zadanie 2.

    Oblicz średnią arytmetyczną ocen ze sprawdzianu.


    Obliczenia2

    Obliczenia

    Suma wszystkich ocen:

    3 *1+ 2 * 2+ 5 * 3+ 7 * 4+ 4 * 5+ 2 * 6=82

    Ilość wszystkich ocen:

    3 + 2 +5 +7 +4 +2 = 23

    Średnia:

    S=82/ 23 ≈ 3,57


    Zadanie 3

    Tabela pokazuje średnie kursy dolara w poszczególnych miesiącach, oblicz średnią cenę dolara w danym roku.

    Zadanie 3.


    Obliczenia3

    Obliczenia

    Suma cen dolara:

    3,62 + 3,65 + 3,65 + 3,80 + 3,81 + 3,81 + 3,81 + 3,83 + 3,85 + 3,85 + 3,90 + 4,14 = 45,75

    Liczbamiesięcy: 12

    Średnia:

    S= 45,75 / 12 = 3,81


    Rozst p

    Rozstępem nazywamy różnicę miedzy najwyższą a najniższą wartością w zbiorze.

    R = Xmax – Xmin

    Rozstęp


    Przyk ad1

    Przykład

    Oceny:

    4, 6, 14, 90, 84, 23, 432, 1645, 3,0

    R = Xmax – Xmin

    R = 1645 – 0 = 1645


    Zadanie 14

    Oblicz amplitudę temperatury dla Warszawy.

    Zadanie 1.


    Obliczenia4

    Najwyższa temperatura: 20°C

    Najniższa temperatura: -10°C

    Rozstęp:

    R= 20 – (-10) = 30

    Obliczenia


    Zadanie 25

    Oblicz rozstęp między średnią pensją krajową a średnią pensją krajową.

    Zadanie 2.


    Obliczenia5

    R= Xmax – Xmin

    R = 4015,37 – 1500

    R = 2515,37

    Obliczenia


    Zadanie 31

    Oblicz rozstęp miedzy miastami.

    Zadanie 3.


    Obliczenia6

    R = Xmax – Xmin

    R = 730 – 120

    R = 610

    Obliczenia


    Dominanta

    Dominantą nazywamy wartość najczęściej występująca w zbiorze uporządkowanym liczb.

    Dominanta


    Przyk ad2

    Zbiór liczb:

    1, 2, 3, 3,3,5,6,

    Dominanta 3

    Przykład


    Zadanie 4 1

    Zadanie 4.1

    Podaj dominantę ocen z klasówki.

    Odp.: 4


    Zadanie 26

    Ile wynosi dominanta liczb w zbiorze:

    A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 8, ,8, 9, 10, 11, 11, 11, 11, 20 }

    Zadanie 2.

    Odp. 11


    Zadanie 32

    Dominanta ocen z klasówki wynosi:

    Zadanie 3.

    Odp. 4


    Prezentacj wykonali

    Patryk Ewertowski

    Kinga Kuskowska

    Adam Ropelewski

    Milena Skierkowska

    Aleksandra Żbikowska

    Martyna Żurawska

    Prezentację wykonali :


    Bibliografia

    Podręcznik do matematyki „Z PITAGORASEM PRZEZ GIMNAZJUM” do klasy II i III.

    BIBLIOGRAFIA


    Spis tre ci

    SPIS TREŚCI

    • SYMETRIE

    • FUNKCJE

    • WZORY SKRÓCONEGO MNOŻENIA

    • ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ

    • I STOPNIA Z DWIEMA NIEWIADOMYMI

    • PROCENTY

    • TWIERDZENIE TALESA

    • WYRA ŻENIA ALGEBRAICZNE

    • ELEMENTY STATYSTYKI


    Matematyka nie jest trudna

    WYBRAŁEŚ PRAWIDŁOWĄ ODPOWIEDŹ


    Matematyka nie jest trudna

    WYBRAŁEŚ ZŁĄ ODPOWIEDŹ


  • Login