Matematyka nie jest trudna
Sponsored Links
This presentation is the property of its rightful owner.
1 / 138

Matematyka nie jest trudna PowerPoint PPT Presentation


  • 450 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

Matematyka nie jest trudna. SPIS TREŚCI. SYMETRIE. Symetria jest rozumiana jako przekształcenie figury na tą samą figurę . Na płaszczyźnie wyróżniamy symetrię osiową (symetrie względem prostej- odbicie lustrzane) i symetrie środkową (względem punktu). Czym jest Symetria ?.

Download Presentation

Matematyka nie jest trudna

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Matematykanie jest trudna

SPIS TREŚCI


SYMETRIE


Symetria jest rozumiana jako przekształcenie figury na tą samą

figurę . Na płaszczyźnie wyróżniamy symetrię osiową (symetrie względem prostej- odbicie lustrzane) i symetrie środkową (względem punktu).

Czym jest Symetria ?


figury osiowosymetryczne

Prosta względem której figura jest symetryczna sama do siebie nazywa się osią figury symetrii.

O figurze, która ma oś symetrii mówimy, że jest figurą osiowosymetryczną. Jeżeli figurę osiowosymetryczną przekształcimy przez symetrię względem jej osi to figura ta nałoży się sama na siebie.


Przykłady figur osiowosymetrycznych


Punkt względem którego figura jest symetryczna sama do siebie nazywa się środkiem symetrii figury. O figurze która ma środek symetrii mówimy, że jest figurą środkowo symetryczną. Jeżeli figurę środkowo symetryczną przekształcimy przez symetrię środka symetrii (obrócimy ją o kąt 180 ˚) to figura ta nałoży się sama na siebie

Czym jest środek symetrii figury ?


Przykłady figur środkowo symetrycznych


Przykłady figur środkowo symetrycznych


Przykłady symetrii względem punktu


Przykłady symetrii przez punkt


Przykłady symetrii przez punkt


Sprawdź swoją wiedzę o symetriach :


Która z figur jest środkowo symetryczna?


Ile osi symetrii ma trójkąt równoboczny?

a) 0

b) 2

d) 3

c) 4


Czy przekształcenie figury względem prostej można nazwać odbiciem lustrzanym?

NIE

TAK


Która z tych figur ma dokładnie 4 osie symetrii?


Która z figur została przekształcona prawidłowo względem prostej?


Funkcje


Pojęcie funkcji

jest jednym z podstawowych pojęć matematyki współczesnej. Z pojęciem tym spotykamy się coraz częściej. W prasie codziennej, w czasopismach i telewizji często prezentowane są wykresy różnych zależności. Przykładami Są choćby notowania kursów walut czy tez akcji na giełdzie papierów wartościowych. Wykresem funkcji liniowej jest prosta.


Pojęcie funkcji:

Jeżeli dane są dwa zbiory X i Y i każdemu elementowi

x przynależnemu do zbioru X przyporządkowany jest dokładnie jeden element y przynależny do zbioru Y, to takie przyporządkowanie nazywamy funkcją określoną w zbiorze X o wartościach w zbiorze Y.

f: x→y

Zbiór X nazywamy zbiorem argumentów lub dziedziną funkcji. Zbiór wszystkich y przynależnych do zbioru Y takich, że istnieje x przynależne do zbioru X,

dla którego y=f(x)

nazywamy zbiorem wartości tej funkcji.


Zadanie 1:

W skład zespołu pewnego domu kultury liczy 6 osób, z czego Asia gra na pianinie, Andrzej

i Zosia grają na gitarze, Karol i Ewelina grają na bębnach, a Maciej gra na skrzypcach. Wykonaj rysunek (graf) przyporządkowujący każdej osobie instrument na którym gra.


Zadanie 2:

W stałym składzie drużyny koszykowej z Inowrocławia jest 5 mężczyzn. Jest to Krzysztof który ma 189 cm wzrostu, Witold 173 cm, Jerzy 178 cm, Jerzy 170 cm oraz Aleksander który ma 180 cm wzrostu. Wykonaj rysunek (graf ) przyporządkowujący każdemu zawodnikowi jego wzrost.


Wykresem funkcji o dziedzinie X jest zbiór wszystkich punktów płaszczyzny o współrzędnych (x,y) spełniających waruneky=f(x), gdzie x należy do zbioru X

W życiu codziennym możemy zastosować funkcje w wielu przypadkach:

np. każda osoba:

- lubi różne gatunki filmów


- różne kolory włosów


- różne zainteresowania


Sposoby określania funkcji:

Funkcję możemy określić za pomocą:

  • - opisu słownego

  • - grafu

  • - tabelki

  • - wzoru

  • - wykresu


Zadanie 1:

Dane są dwa zbiory:

X = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Y = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}

Zbiór X jest zbiorem argumentów, a Y jest zbiorem wartości pewnej funkcji. Każdemu elementowi ze zbioru X jest przyporządkowany tylko jeden element ze zbioru Y, tak że wartością funkcji dla argumentu 0 jest liczba 2, dla argumentu 1 liczba 3 itd. Opisz różnymi sposobami tę funkcję.

Opis słowny:

Każdej liczbie naturalnej mniejszej od 10 jest przyporządkowana liczba ze zbioru y większa o 2.


Graf:

Wykres:

Tabelka:


Wzór:

y= x+2

Każdej liczbie ze zbioru x przyporządkowana jest

liczba y taka, że:

y = x + 2

Wzór ten możemy zapisać:

x→ x + 2 lub f(x ) = x+ 2


Wykres funkcji zależy od dziedziny funkcji.

Miejscem zerowym funkcji jest taki argument, dla którego wartość funkcji jest równa zero.

Własności funkcji:


Zadanie 1:

Dana jest funkcja y = x – 1.

Sporządź wykres na podstawie danych z tabelki.

y = -2 -1 = -3

y = -1 -1 = -2

y = 0 -1 = -1

y = 1 -1 = 0

y = 2 -1 = 1


Funkcja

może mieć jedno miejsce zerowe, wiele miejsc zerowych, lub nie mieć żadnego miejsc a zerowego.


Zadanie:

Funkcja określona jest wzorem

y = 3(x-1) dla x = { -2, -1, 0, 1, 2}

Narysuj graf, sporządź tabelkę i wykres tej funkcji oraz podaj taki argument tej funkcji, dla którego wartość funkcji jest równa 0.

y = 3*(-2 -1)= -9

y = 3*(-1 -1)= -6

y = 3*(0 -1)= -3

y = 3*(1-1)= 0

y= 3*(2-1)= 3


graf:

tabelka:

wykres:

Funkcja przyjmuje wartość 0 dla argumentu x = 1.

Mówimy że x=1 jest miejscem zerowym tej funkcji.


Odczytywanie i interpretowanie informacji

z wykresów funkcji.


Zadanie:

Funkcja y = ax + b dla x należącego do R,

Jej wykres i własność.

Funkcją liniową jest każda funkcja określana wzorem

y= ax+b i x przynależne do zbioru R

gdzie a i b są dowolnymi liczbami rzeczywistymi.

Wykresem funkcji liniowej y = ax + b jest prosta przecinająca oś OY w punkcie ( 0, b)

Wykres funkcji liniowej y = ax + b, gdzie a≠0 przecina oś OX

W punkcie o współrzędnych -

a oś OY w punkcie o współrzędnych (0, b).

Zwróć uwagę, że

jest miejscem zerowym funkcji.


Wykres każdej funkcji y = ax jest prostą, która przechodzi przez początek układu współrzędnych oraz przez punkt (1, a).

Jeżeli:

a >0, to wykres funkcji przechodzi przez I i III ćwiartkę,

a < 0, to wykres funkcji przechodzi przez II i IV ćwiartkę,

a = 0, to wykres pokrywa się z osią odciętych ( OX)

  • Funkcja liniowa y = ax + b jest:

  • rosnąca, gdy a > 0,

  • malejąca, gdy a < 0,

  • stała, gdy a = 0.


Zadanie :

Dziedzinę funkcji y= x- 1 jest zbiór liczb rzeczywistych. Sporządź częściową tabelkę tej funkcji i zaznacz w układzie współrzędnych wybrane punkty należące do jej wykresu. Oblicz miejsce zerowe tej funkcji.


Miejsce zerowe:

y = -2 -1 = -3

y= -1 -1= -2

y=0 -1= -1

y= 1 -1= 0

y= 2-1= 1

a= -2

b= -3

=


Wzory skróconego mnożenia


  • KWADRAT SUMY

  • (a+b)2= a2 +2ab+b2

  • KWADRAT RÓŻNICY

  • (a-b)2= a2-2ab+b2

  • RÓŻNICA KWADRATÓW

  • a2-b2= (a-b)(a+b)


  • SZEŚCIAN SUMY

    (a+b)3= a3+3a2b+3ab2+b3

    SZEŚCIAN RÓŻNICY

    (a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3


    Przykłady zastosowania wzorów skróconego mnożenia


    ROZKŁADANIESUMALGEBRAICZNYCH NA CZYNNIKI

    Aby rozłożyć sumę algebraiczną na czynniki, czyli przedstawić ja w postaci iloczynu co najmniej dwóch czynników, należy:

    - pogrupować wyrazy- wyłączyć wspólny czynnik przed nawias- zastosować wzory skróconego mnożenia

    PRZYKŁAD:

    2a2+4ab+2b2=2(a2+2ab+b2)=2(a+b)2


    POZBYWANIESIĘNIEWYMIERNOŚCIZMIANOWNIKA

    Jeżeli w mianowniku ułamka pojawia się jako składnik sumy pierwiastek, korzystamy z wzoru na różnicę kwadratów.

    PRZYKŁAD:


    • ZADANIA:

    • Rozłóż na czynniki wyrażenie x2-y2.

    • x2-y2= (x-y)(x+y)

    • Rozłóż na czynniki wyrażenie 24a2-24a+3, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.

    • 24a2-24a+3= 3(8a2-8a+1)

    • Oblicz.

    • (3+4√2)2= (3)2+2*3*4√2+(4√2)2=9+24√2+32=41+24√2

    • 4√2*4√2=4(2)2=32


    • Oblicz.

    • (√5-1)3= (√5)3- 3*(√5)2*1 +3√5*(1)2-(1)3= 5√5-15+3√5-1=-16+8√5

    • Rozwiąż równanie korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.

    • (3-x)2-(x+1/3)2=2/9

    • 32-2*3*x+x2-x2-2x*1/3-(1/3)2=2/9

    • 9-6x-2/3x-1/9=2/9

    • -6x-2/3x=2/9-9+1/9

    • -20/3x=-9+3/9

    • -20/3x=-9+1/3

    • -20/3x=-26/3|*(-3)

    • 20x=26

    • X=26/20

    • X=16/20

    • X=1,3

    • Odp. Rozwiązaniem równania jest x=1,3


    Rozwiązywanie układów równań

    I stopnia z dwiema niewiadomymi


    I Metoda podstawiania

    x+ 2y = 5 Wyznaczamy niewiadomą x z pierwszego równania

    2x -5y = -8

    x = 5 - 2yUkład jest równoważny poprzedniemu układowi2x – 5y = -8

    x = 5 – 2 yPodstawiamy do drugiego równania miejsce

    2( 5 – 2y) – 5y = -8 niewiadomej x wyrażenie 5 – 2y. Otrzymany układ równań jest równoważny poprzedniemu

    x = 5- 2y = -8Przepisujemy pierwsze równanie i rozwiązujemy drugie 10 – 4y – 5y = -8równanie z jedną niewiadomą

    x = 5 – 2y-4y – 5y = -8 -10x = 5 – 2y-9y = -18 | : (-9)

    x = 5- 2yWstawiamy do równania pierwszego w miejsce y y = 2wyznaczoną z drugiego równania liczbę 2x = 5-2 • 2y = 2x = 1y = 2 Odp Para liczb x = 1 i y = 2 jest rozwiązaniem tego układu równań.


    x- 2y = 1y = -2x - 2• (-2) = 1y = -2

    x + 4 = 1y = -2x = 1 – 4y = -2x = -3y = -2Odp : Rozwiązaniem tego układu równań jest para liczb x = -3 i y = -2


    3x + y = -6 + y

    x + y = 2

    3x + y – y = -6y = 2 - x

    3x = -6 | :3y = 2 – x x = -2y= 2 – (-2)x = -2 y = 2 + 2x = -2y = 4Odp : Rozwiązaniem tego układu równań jest para liczb x = -2 i y = 4


    Metoda przeciwnych współczynnikówRozwiązanie układu równań metodą przeciwnych współczynników polega na :* przekształceniu obu równań układu tak aby otrzymać przy tej samej niewiadomej współczynniki będące liczbami przeciwnymi

    *dodaniu stronami równań układu, eliminując

    w ten sposób jedną z niewiadomych* rozwiązaniu równania z jedną niewiadomą* obliczeniu drugiej niewiadomej


    Równania układu równań dodajemy stronami. (Współczynniki przy niewiadomej y są liczbami przeciwnymi 1 i -1.+_______________Rozwiązujemy otrzymane równanie. x + x +y – y = 8 +2 2x = 10 | :2 x = 5x = 5 Tworzymy nowy układ równań równoważny układowi danemu, x + y = 8którego jednym równaniem jest x = 5, a drugie dowolne równanie układu początkowego.x = 5Liczbę 5 podstawiamy w miejsce niewiadomej x do drugiego 5 + y = 8równania i rozwiązujemy to równie

    x = 5y= 8 – 5x = 5y = 3Odp Rozwiązaniem tego układu równań jest para liczb x = 5 i y = 3


    -x + 3y = 4 | • 3 3x – 2y = 2 -3x + 9y = 12 3x -2y = 2+____________7y = 14 | :7y = 2-x + 3y = 4y= 2 -x + 3•2 = 4y = 2-x = -2| : (-1)y = 2x = 2 y = 2Odp : Rozwiązaniem tego układu równań jest para liczb x = 2 i y = 2


    4( x+ 2) = 1 – 5y3( y + 2) = 3 – 2x4x + 8 = 1 – 5y3y + 6 = 3- 2x4x + 5y = 1 – 82x + 3y = 3 – 64x + 5y = -72x + 3y = -34x + 5y = -72x + 3y = -3 | • (-2)4x+ 5y = -7-4x -6y = 6+___________-y = - 1y = 1y=12x + 3y = -3

    y = 12x + 3 = -3y=1 2x = -6 |:2x = -3y = 1Rozwiązaniem tego układu równań jest para liczb x = -3 i y = 1


    ZADANIE 1:

    Przed 10 laty ojciec był 4 razy starszy od syna. Za 10 lat ojciec i syn będą mieli razem 100 lat. Ile lat ma obecnie ojciec a ile syn ?

    x –wiek synay – wiek ojcay- 10 – wiek ojca z przed 10 laty4(x-10) – wiek syna z przed 10 laty100 –suma lat ojca i syna za 10 lat

    y – 10 = 4x – 40y + 10 + x + 10 = 100y – 10= 4x – 40y + x = 100 -20 y – 4x = -40 + 10y + x = 80 |• (-1)y – 4x = -30-y – x = - 80+____________- 5x = -110 | : (-5)x= 22

    y – 10 = 4(x-10)x= 22y – 10= 4(22-10)x =22y = 58x = 22

    Odp : Obecnie ojciec ma 58 lat a syn 22


    ZADANIE 2:Suma dwóch liczb jest równa 92. Jakie to liczby jeżeli 40% pierwszej liczby jest równe ¾ liczby drugiej.x- pierwsza liczba y druga liczba40 %x = ¾ y – 40% pierwszej liczby jest równe ¾ drugiej liczbyx+ y = 9240%x = ¾ y x + y = 922/5 x = ¾ y | • 20x + y = 92 8x = 15y

    x = 92 – yy = 32x=60y = 32

    x = 92 – y8 (92 – y) = 15y

    x = 92 – y

    736 – 8y = 15 yx = 92 – y23y = 736 | :23


    ZADANIE 3:Ile kilogramów 15- procentowego roztworu kwasu siarkowego I ile kilogramów 30- procentowego roztworu kwasu siarkowego należy zmieszać , aby otrzymać 18 kg roztworu kwasu siarkowego o stężeniu 20%x+y=1815%30%20%x + y = 1815%x + 30%y = 20% •18x + y = 183/20x + 3/10y = 3,6 | • 10x + y = 18 | • -36x + 3y = 34-3x – 3y = -546x + 3y = 36+____________3x = -18 | : 3 x =- 6

    x+ y = 18x = -6y=24x =-6


    ZADANIE 4:

    Na obóz do Krynicy Morskiej wyjechało 120,a do Łeby 128 sportowców. W Łebie było 30% więcej dziewcząt i o 10% mniej chłopców niż w Krynicy. Ile dziewcząt i ilu chłopców było na obozie w Krynicy morskiej ?x – liczba dziewcząt na obozie w Krynicyy – liczba chłopców na obozie w Krynicyx + y = 120 – liczba sportowców na obozie w Krynicyx + 0,3x = 1,3x – liczba dziewcząt na obozie w Łebiey – 0,1y = 0,9y – liczba chłopców na obozie w Łebie1,3x + 0,9y = 128 – liczba sportowców na obozie w Łebie x +y = 1201,3x + 0,9y = 128| • 10x + y = 120

    13x + 9y = 1280y = 120 – x13x + 9 (120-x) = 1280y = 120 – x13x + 1080 – 9x =1280

    x = 50y = 120 – 50x = 50y = 70Odp : Na obozie w Krynicy Morskiej było 50 dziewcząt i 70 chłopców.

    y = 120 – x 4x + 1080 = 1280y = 120 – x4x = 1280 – 1080y = 120 – x4x = 200 | :4y = 120 – xx = 50


    Procenty


    Jeden procent (1%) to jedna setna (0,01) część całości.

    1% = 1/100 = 0,01

    Dziesiąta część procenta to promil (‰) albo jeden procent to 10 promili.

    1% = 10‰


    2 = 200%

    0,75 = 75%

    1,25 = 125%

    0,30 = 30%

    0,89 = 89%

    0,01 = 1%

    0,15 = 15%

    4,78 = 478%

    Przykłady:


    Aby obliczyć procent danej liczby, należy procent przedstawić

    w postaci ułamka i otrzymany ułamek pomnożyć

    przez daną liczbę

    Przykład:

    20% liczby 60 = 0,20 · 60 = 12

    Można tez obliczyć 1% (10%) danej wielkości, a następnie żądany procent.

    Przykład:

    30% liczby 20

    100% liczby: 20

    10% liczby: 2 (dziesięciokrotnie mniej)

    30% liczby: 6 (trzykrotnie więcej)

    Obliczanie procentu danej liczby


    Oblicz, ile wynosi 60% liczby 120.

    0,60 * 120 = 72

    Zadanie 2.

    Oblicz ile wynosi 17% liczby 110.

    0,17 * 110 = 18,7

    Zadanie 1.


    Żeby obliczyć, jakim procentem pierwszej liczby jest druga liczba, należy obliczyć, jakim ułamkiem pierwszej

    liczby jest druga liczba i ułamek ten przedstawić w postaci procentu.

    Obliczanie jakim procentem jednej liczby jest druga liczba


    1. Jakim procentem liczby 75 jest liczba 5?

    5/75 * 100% = 6 2/3 %

    2. Jakim procentem liczby 40 jest liczba 25?

    25/40 * 100% = 62, 5 %

    3. Jakim procentem liczby 60 jest liczba 15?

    15/60 * 100% = 25%

    Przykłady:


    Przykład:

    Oblicz liczbę której 50% stanowi 50

    I sposób:

    Należy zamienić procent na ułamek

    Obliczamy na podstawie danego jej ułamka

    Obliczanie liczby z danego jej procentu


    II sposób:

    Jeżeli 50% stanowi 50, to 1% stanowi 50/50

    A 100% stanowi

    Odp. Liczba, której 50% stanowi 50 to 100.


    Zadanie 1.

    W Klasie 3G jest 15 dziewcząt. Stanowi to 60 procent uczniów tej klasy. Ile jest chłopców?

    Obliczamy ilu jest wszystkich uczniów

    Obliczamy ilu jest chłopców:

    25-15=10


    Rodzina Kowalskich wybrała się na wycieczkę rowerową. Na trzecim postoju zauważyli, że przejechali już 12km, co stanowi 45% całej zaplanowanej trasy. Ile kilometrów pozostało im to końca planowanej trasy?

    Zadanie 2.


    Obliczamy długość całej trasy:

    Obliczamy długość całej trasy:

    26,6 – 12 = 14,6


    Przykład:

    Oblicz odsetki od kwoty 1500zł złożonej w banku na 5% na okres dwóch lat.

    Odp. Odsetki wynoszą 75 zł.

    Oprocentowanie oszczędności i kredytów


    Pani Ania założyła lokatę terminową na kwotę 5200zł w banku z rocznym oprocentowaniem 8%. Oblicz jaką kwotę na swoim koncie będzie miała pani Ania po upływie roku.

    Zadanie 1.


    Obliczamy odsetki, jakie będą doliczone:

    Obliczamy stan konta pani Ani po dodaniu odsetek

    5200 + 416 = 5614


    Pan Janusz wziął kredyt w banku w kwocie 5000 zł o oprocentowaniu 9%. Jaką kwotę będzie musiał oddać banku po doliczeniu odsetek?

    Obliczamy ile będą wynosiły odsetki:

    Obliczamy ile będzie wynosiła kwota do zapłaty:

    5000 + 450 = 5450

    Zadanie 2.


    Twierdzenie Talesa


    Jeżeli ramiona kąta przetniemy prostymi równoległymi, to odcinki wyznaczone na jednym ramieniu kąta są proporcjonalne do odpowiednich odcinków wyznaczonych na drugim ramieniu kąta.

    Twierdzenie Talesa


    Jeżeli dwie proste przecięte są kilkoma prostymi równoległymi, to stosunek każdych dwóch odcinków utworzonych na jednej prostej jest równy stosunkowi odpowiednich dwóch odcinków utworzonych na drugiej prostej.


    Jeżeli dwie proste przecięte są kilkoma prostymi równoległymi, to odcinki utworzone na jednej prostej są proporcjonalne do odpowiednich odcinków utworzonych na drugiej prostej.


    Jeżeli odcinki wyznaczone przez proste na jednym ramieniu kąta są proporcjonalne do odpowiednich odcinków wyznaczonych przez te proste na drugim ramieniu kąta, to te proste są równoległe.

    Twierdzenie odwrotne od twierdzenia Talesa


    Twierdzenie o odcinkach proporcjonalnych na prostych równoległych

    Jeżeli ramiona kąta (lub ich przedłużenia) przecięte są prostymi równoległymi, to odcinki utworzone na prostych równoległych są proporcjonalne do odpowiednich odcinków każdego ramienia, których początkiem jest wierzchołek kąta.


    Zadanie 1.Oblicz długości odcinków oznaczonych literami.

    A)

    Rozwiązanie:

    ¾ = 6/a

    3a = 4*6 |: 3

    3a = 24 |: 3

    a = 8


    Rozwiązanie:

    3/2 = 3+3/b

    3/2 = 6/b

    3b = 6*2 |: 3

    3b = 12 |: 3

    b = 4

    B)


    Odp.: Długość odcinka a wynosi 8 cm, długość odcinka b 4 cm, a długość odcinka c 1,4 cm.

    C)

    Rozwiązanie:

    5/8 = 7/8+c

    5*8+c = 7*8

    40c = 56 |: 40

    c = 1,4


    Boki trójkąta ABC mają długości: |AB|=5cm, |BC|=6cm, |AC|=9cm. Na boku AB odmierzamy odcinek AD długości 2cm

    i przez punkt D prowadzimy prostą równoległą do boku AC. Prosta ta przecina bok BC

    w punkcie E. Oblicz obwód trapezu ADEC

    Zadanie 2.


    Rozwiązanie:

    |BC|/|AB|=|EC|/|DA|

    6/5 = |EC|/2

    5|EC|=6*2 |: 5|EC|

    5|EC|= 12 |: 5|EC|

    |EC| = 2,4

    |DE|/|DB| = |AC|/|AB|

    |DE|/3 = 9/5

    5|DE|= 9*3 |: 5|DE|

    5|DE|= 27 |: 5|DE|

    |DE| = 5,4 cm

    Ob= |AC|+|CE|+|ED|+|DA|= 9 cm + 2,4 cm + 5,4 cm + 2 cm = 18,8 cm

    Odp.: Obwód trapezu wynosi 18,8 cm.


    Wyrażenia algebraiczne


    Wyrażenia, w których występują liczby i litery połączone znakami działań i nawiasami, nazywamy wyrażeniami algebraicznymi.


    Jednomiany też są wyrażeniami algebraicznyminp.: 2b, 10ab, -9, 4m+7d


    Wyrażenie przyjmuje nazwę ostatniego działania, które wykonujemy zgodnie z zasadą kolejności działań

    Np.

    ab – iloczyn a i b

    a/b – iloraz a i b

    a+b – suma a i b

    a-b – różnica a i b


    a)3a+x

    b)(4x-y)-2z

    c)(a+6)/(-16)

    Zapisz nazwy następujących wyrażeń


    Odp:

    a)Suma 3a i x

    b)Różnica 4x-y i 2z

    c)Iloraz (a+6)przez -16


    a)Trzykrotność sumy liczb a i 5

    b)Połowę różnicy liczb 6 i x

    c)Liczbę trzycyfrową, której cyfrą setek jest a, cyfrą dziesiątek b i cyfrą jedności c.

    d)Iloczyn sumy i różnicy liczb x i y.

    Zapisz następujące wyrażenia


    Odp:

    a)3(a+b)

    b)(6-x)/2

    c)100a+10b+c

    d)(x+y)*(x-y)


    Wyrazy sumy algebraicznej różniącej się co najwyżej współczynnikami liczbowymi nazywamy wyrazami podobnymi.Dodawanie i odejmowanie wyrazów podobnych nazywamy redukcją wyrazów podobnych.


    Np.

    2a-b+3a+11b=5a+10b

    2c-10a+5b-10a-2c=5b-20a

    23a-ab+5ab-b=23a-b+4ab


    a) 5x + 4 - 2x + 3 =

    b) 2a + 4b - 7a =

    c) 3x2 + 2x + 4x2 + 4 =

    d) 2a + 2b - a + 4b =

    e) a + 4a + 3b - b - 2a + 3b =

    Wykonaj redukcję wyrazów podobnych


    Odp:

    a) 5x + 4 - 2x + 3 = 3x + 7

    b) 2a + 4b - 7a = -5a + 4b

    c) 3x2 + 2x + 4x2 + 4 = 7x2 + 2x + 4

    d) 2a + 2b - a + 4b = a + 6b

    e) a + 4a + 3b - b - 2a + 3b = 3a + 5b


    Elementy statystyki


    Medianą, uporządkowanego rosnąco ciągu ndanych liczbowych (a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ … ≤ an) nazywamy:

    Dlannieparzystego: środkowy wyraz ciągu

    Dlanparzystego: średnią arytmetyczną środkowych wyrazów ciągu

    Mediana


    Oceny:3, 5, 6, 1, 2, 4, 5

    Uporządkowane: 1, 2, 3, 4,5, 5, 6

    Mediana: 1, 2, 3, 4,5, 5, 6

    Przykład I


    Oceny: 5, 1, 3, 4, 5, 2

    Uporządkowane: 1, 2,3,4, 5, 5

    Mediana: 3+4 =3.5

    2

    Przykład II


    Ile wynosi mediana zarobków w pewnej firmie, jeżeli szef zarabia 12000 zł, sekretarka 8000 zł, 2 zastępców prezesa po 5000 zł, i 3 pracowników po 2000 zł?

    Zadanie 1.


    Obliczenia:

    Zarobki:

    szef 12000 zł

    sekretarka 8000 zł

    wiceprezes 1 5000 zł

    wiceprezes 2 5000 zł

    pracownik 12000 zł

    pracownik 22000 zł

    pracownik 3 2000 zł

    Uporządkowane: 2000, 2000, 2000, 5000, 5000, 8000, 12000

    Odp: Mediana zarobków w firmie wynosi 5000 zł.


    Podaj medianę cen towarów w sklepie, znając ich cenę:

    Zadanie 2.

    2500 zł 500 zł 30 zł


    Obliczenia:

    Ceny:

    komputer 2500zł

    mikroskop500zł

    żarówka 30zł

    Uporządkowane: 30,500, 2500

    Odp: Mediana cen w sklepie wynosi 500 zł.


    Średnia arytmetyczna nliczba1, a2, a3, …, an jest równa:

    a1 + a2 + a3 + … + an

    a = n

    Średnia arytmetyczna


    Średnia arytmetyczna liczb 2, 8, 4, 3, 1wynosi:

    S= (2+8+4+3+1) / 5 =

    =18/ 5 = 3,6

    Przykład


    Zadanie 2.

    Oblicz średnią arytmetyczną ocen ze sprawdzianu.


    Obliczenia

    Suma wszystkich ocen:

    3 *1+ 2 * 2+ 5 * 3+ 7 * 4+ 4 * 5+ 2 * 6=82

    Ilość wszystkich ocen:

    3 + 2 +5 +7 +4 +2 = 23

    Średnia:

    S=82/ 23 ≈ 3,57


    Tabela pokazuje średnie kursy dolara w poszczególnych miesiącach, oblicz średnią cenę dolara w danym roku.

    Zadanie 3.


    Obliczenia

    Suma cen dolara:

    3,62 + 3,65 + 3,65 + 3,80 + 3,81 + 3,81 + 3,81 + 3,83 + 3,85 + 3,85 + 3,90 + 4,14 = 45,75

    Liczbamiesięcy: 12

    Średnia:

    S= 45,75 / 12 = 3,81


    Rozstępem nazywamy różnicę miedzy najwyższą a najniższą wartością w zbiorze.

    R = Xmax – Xmin

    Rozstęp


    Przykład

    Oceny:

    4, 6, 14, 90, 84, 23, 432, 1645, 3,0

    R = Xmax – Xmin

    R = 1645 – 0 = 1645


    Oblicz amplitudę temperatury dla Warszawy.

    Zadanie 1.


    Najwyższa temperatura: 20°C

    Najniższa temperatura: -10°C

    Rozstęp:

    R= 20 – (-10) = 30

    Obliczenia


    Oblicz rozstęp między średnią pensją krajową a średnią pensją krajową.

    Zadanie 2.


    R= Xmax – Xmin

    R = 4015,37 – 1500

    R = 2515,37

    Obliczenia


    Oblicz rozstęp miedzy miastami.

    Zadanie 3.


    R = Xmax – Xmin

    R = 730 – 120

    R = 610

    Obliczenia


    Dominantą nazywamy wartość najczęściej występująca w zbiorze uporządkowanym liczb.

    Dominanta


    Zbiór liczb:

    1, 2, 3, 3,3,5,6,

    Dominanta 3

    Przykład


    Zadanie 4.1

    Podaj dominantę ocen z klasówki.

    Odp.: 4


    Ile wynosi dominanta liczb w zbiorze:

    A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 8, ,8, 9, 10, 11, 11, 11, 11, 20 }

    Zadanie 2.

    Odp. 11


    Dominanta ocen z klasówki wynosi:

    Zadanie 3.

    Odp. 4


    Patryk Ewertowski

    Kinga Kuskowska

    Adam Ropelewski

    Milena Skierkowska

    Aleksandra Żbikowska

    Martyna Żurawska

    Prezentację wykonali :


    Podręcznik do matematyki „Z PITAGORASEM PRZEZ GIMNAZJUM” do klasy II i III.

    BIBLIOGRAFIA


    SPIS TREŚCI

    • SYMETRIE

    • FUNKCJE

    • WZORY SKRÓCONEGO MNOŻENIA

    • ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ

    • I STOPNIA Z DWIEMA NIEWIADOMYMI

    • PROCENTY

    • TWIERDZENIE TALESA

    • WYRA ŻENIA ALGEBRAICZNE

    • ELEMENTY STATYSTYKI


    WYBRAŁEŚ PRAWIDŁOWĄ ODPOWIEDŹ


    WYBRAŁEŚ ZŁĄ ODPOWIEDŹ


  • Login