Application des nombres complexes à l’éléctricité

1. Application des nombres complexes à l’éléctricité

2. Soit un courant alternatif sinusoïdal dont l’expression en fonction du temps est : i = I sin (t + ) I : valeur efficace (en A)  : pulsation (en rad/s)  : phase à l’origine (en rad) A cette grandeur sinusoïdale, nous associons un vecteur de Fresnel noté .  O x

3. = I (cos  + j sin  ) = [ I,  ] = [ U, 0 ] Nous pouvons aussi associer à i un nombre complexe :  ou Il en est de même pour la tension u : u = U sin (t) et U : valeur efficace (en V)  : pulsation (en rad/s) Le module correspond à la valeur efficace et l’argument au déphasage.

4. Un dipôle est parcouru par un courant i = 2 sin (314t + ) quand il est soumis à une tension u = 220 sin (314t ). = [ 220; 0 ] =220(cos 0 + j sin 0) = 220  = = [ 2 , ] = 2 (cos + j sin ) I = 2 A = 2 ( + j ) = + j Exemple : Valeurs réelles Valeurs complexes  = 314 rad/s U = 220 V

5. où et sont les grandeurs complexes associées à u et i. Impédance complexe d’un dipôle Soit un dipôle d’impédance Z, soumis à une tension alternative sinusoïdale u et parcouru par un courant d’intensité i, on appelle impédance complexe du dipôle, le nombre complexe :

6. Un dipôle est parcouru par un courant i = 2 sin (314t + ) quand il est soumis à une tension u = 220 sin (314t ). = 220 = + j L’impédance complexe est donc : Exemple : Valeurs complexes

7. Impédance complexe des récepteurs élémentaires Inductance pure : L Résistance pure : R Capacité pure : C

8. R i i Z u R u Résistance pure : R

9. u L L i i u Inductance pure : L

10. i C i u u Capacité pure : C

11. Impédance dans un circuit en série Soient Z1 et Z2 deux récepteurs montés en série alors l’impédance du récepteur équivalent est Z avec Impédance dans un circuit en dérivation Soient Z1 et Z2 deux récepteurs montés en parallèle alors l’impédance du récepteur équivalent est Z avec

12. Exemple On considère un circuit RLC alimenté sous une tension alternative sinusoïdale de fréquence 50 Hz. On donne R = 30 , L = 0,2 H et C = 100 F. 1- Calculer la pulsation . 2- Calculer l’impédance complexe du résistor. 3- Calculer l’impédance complexe de la bobine. 4- Calculer l’impédance complexe du condensateur. 5- En déduire l’impédance complexe du circuit RLC série.

13. 1- Calculer la pulsation . 2- Calculer l’impédance complexe du résistor. 3- Calculer l’impédance complexe de la bobine. 4- Calculer l’impédance complexe du condensateur. 5- En déduire l’impédance complexe du circuit RLC série.