بسم ا... الرحمن الرحيم
Download
1 / 67

درس کنترل ديجيتال مهر 1391 - PowerPoint PPT Presentation


  • 195 Views
  • Uploaded on

بسم ا... الرحمن الرحيم. درس کنترل ديجيتال مهر 1391. دکتر حسين بلندي/دکتر سید مجید اسماعیل زاده/ دکتر بهمن قربانی واقعی. Discretization of Continuous-Time State Space.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about ' درس کنترل ديجيتال مهر 1391' - idania


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript

بسم ا... الرحمن الرحيم

درس کنترل ديجيتال

مهر 1391

دکتر حسين بلندي/دکتر سید مجید اسماعیل زاده/ دکتر بهمن قربانی واقعی


Discretization of Continuous-Time State Space

در كنترل ديجيتال سيستم هاي پيوسته- زمان نيازمند تغيير سيستم هاي پيوسته- زمان به گسسته- زمان هستیم. اينگونه تغيير توسط نمونه گيري هاي مصنوعي انجام مي پذيرد. خطاي بوجود آمده را مي توان با انتخاب Sampling پريود كوچك از بين برد.

گسسته- زمان نمودن سيستم هاي پيوسته- زمان

فرض مي كنيم كه

فقط در لحظات مشخص شده و بطور مساوي تغيير

پيدا مي كند. در نظر داشته باشيد كه عمل نمونه گيري بطور مصنوعي انجام

مي پذيرد.


سيستم گسسته زمان معادل برابر خواهد بود با:

بستگي به مقدار زماني نمونه گيري يعني

دارند.

و

ماتريس هاي

، fixed باشد، آنگاه اين دو ماتريس ثابت خواهند بود.

وقتي كه


، نمونه گيري شده باشد و به يك خواهد بود با:Zero-Order-Hold

فرض مي كنيم كه

در بين Interval دو لحظه نمونه گيري ثابت

وارد شده است. بنابراين اجزاء

خواهند بود:


كم كنيم داريم: خواهد بود با:

ضرب نموده و از معادله

را در

اگر معادله

،

لذا مي توانيم در معادله

براي

از آنجاكه

عوض كنيم.

را با

كه در آن

.


خيلي كوچك خواهد بود با:

يعني اگر

بايد توجه داشت اگر

به سمت ماتريس Identity سوق خواهد داشت.

در نظر گرفته شده باشد،


مثال: خواهد بود با:

سيستم معادل گسسته زمان را در حاليكه T=1 است بدست آوريد؟

حل:


If خواهد بود با:


« خواهد بود با:تحليل پايداري»

مقدمه :

  • پايداري همانند موضوعات كنترل‌پذيري و مشاهده‌پذيري يك خاصيت كيفي از سيستم مهندسي است. بدون شك مهمترين مشخصه يك سيستم كنترل مي‌تواند پايداري آن باشد.نكته‌اي كه حائز اهميت است آن است كه در سيستم‌هاي عملي موضوع طراحي جدا از درنظر گرفتن موضوع پايداري نيست.

  • درجة پيچيدگي تحليل پايداري سيستم‌هاي ديناميكي با تغيير مدلهاي سيستم از LTI به سيستم‌هاي غيرخطي يا TV بسرعت تغيير مي‌كند و لذا بدست آوردن روشهايي كه بتواند به اين سيستم‌ها پاسخگو باشند از اهميت ويژه‌اي برخوردار است.


تعاريف خواهد بود با:

پايداري :

بطور كلي اگر سيستمي بدون اعمال ورودي و هرگونه اغتشاشي داراي خروجي باشد كه در يك حالت باقي مانده است سيستم را در حالت تعادلمي‌گوئيم.

حال اگر يك سيستم كنترل خطي مستقل از زمان تحت تأثير يك اغتشاش قرار گيرد و خروجي آن بالاخره به حالت تعادل بازگردد سيستم را پايدارمي‌خوانيم.

در مقابل اگر سيستم LTI تحت تأثير اغتشاش قرار گرفته و خروجي براي هميشه نوسان كند آنگاه سيستم را ناپايدار مي‌خوانيم.

مثال:

G,F,E,A و فيمابين D,B را نقاط تعادل گويند.

نقاطي مانند F,A نقاط ناپايدار هستند.

نقاطي مانند E,G نقاط پايدار هستند.

فيمابين D,B نقاط پايدار طبيعي مي‌گوييم. (به نقطه تعادل باز نمي‌گردد اما كمي جلو رفته دوباره مي‌ايستد)


لياپونف دو ديدگاه خواهد بود با:را مطرح مي‌كند :

روش اول :روشهاي موجود به پاسخ سيستم بستگي دارند.

روش دوم :روشهايي هستند كه به حل معادلات سيستم بستگي نداشته و بدين علت است كه از روشهاي كاربردي محسوب مي‌شوند.

تعاريف :


حالت تعادل : خواهد بود با:

اگرسيستم L T I باشد :

آنگاه اگر Anonsingular باشد تنها يك حالت تعادل و اگر Asingular باشد تعداد بيشماري حالت تعادل خواهيم داشت.براي تعيين حالتهاي تعادل لازم نيست كه معادله ديفرانسيل (1) را حل كنيم بلكه حل (2) كافي خواهد بود.


پايداري از ديد لياپونف خواهد بود با: :

در اينجا يك ناحيه كروي با شعاع k حول حالت تعادل بصورت زير مشخص می کنيم :


پايداري مجانبي از ديد لياپونف : خواهد بود با:

تذکر :

در عمل پايداري مجانبي مهمتر از پايداري مطلق است. همچنين از آنجا كه پايداري مجانبي يك مفهوم موضعي است صرف برقرار كردن پايداري مجانبي به معناي درست كار كردن سيستم نمي‌باشد.

اگر كه انحرافات اوليه حالت سيستم از حالت تعادل زياد باشد آنگاه پايداري مجانبي اطلاعات زيادي را از رفتار سيستم نخواهد داد و در واقع با انحراف زياد ممكن است سيستم حتي ناپايدار شود. بنابراين در عمل عموماً داشتن اندازة بزرگترين محدودة پايداري مجانبي لازم است كه به اين بزرگترين محدودة پايداري، حوزه جذبمي‌گوييم.


ـ پايداري مجانبي بزرگ مقياس خواهد بود با:( Enlarge(:

اگر پايداري مجانبي به ازاي همة حالتهاي شروع مسيرهاي برقرار باشد آنگاه حالت تعادل را پايدار مجانبي بزرگ مقياس مي‌گوييم.

ناپايداري :


روش مستقيم لياپانوف خواهد بود با:

اگر انرژي کل يک سيستم مکانيکي(الکتريکي)غيرپيوسته زايل شود، بايد سرانجام در يک نقطه تعادل استقرار پيدا کند.لذا ميتوانيم در خصوص پايداري يک سيستم با بررسي تغييرات توابع اسکالر اقدام کنيم.

مثال:


فرض ميکنيم که جرم را توسط يک فاصله زيادتر از حد طول معمول فنر بکشيم و بعد رها کنيم، سئوال اينست که پاسخ نهايي(حرکت نهايي)پايدار است يا خير؟

بدست آوردن اين سئوال در مورد پايداري بسيار مشکل است،چرا که حلgeneral اين معادله موجود نيست،روش خطي سازي نيز کامل نيست،چرا که اين حرکت خارج از محدوده خطي اتفاق افتاده است.اما آزمايش انرژي سيستم ميتواند پاسخگوي سئوال ما باشد.


مقايسه تعاريف پايداري و انرژي مکانيکي،ارتباط بين اين دو کليت را مشخص ميکند.

1-نقطه تعادل= انرژي صفرx(0) ،

2-پايداري مجانبي═» converge نمودن انرژي مکانيکي به صفر

3-ناپايداري═»رشد انرژي مکانيکي

روابط فوق نشان ميدهند که انرژي مکانيکي بطور غير مستقيم قدر مطلق بردار حالت را Reflect ميکند.

يعني پايداري سيستم را ميتوان با مشخص کردن ضرايب انرژي مکانيکي سيستم بررسي نمود.


اين بدين معناست که انرژي سيستم از يک نقطه شروع شده است و بطور پيوسته در حال تنزل کردن ميباشد تاجائيکه جرممستقر شود، يعني :


پايداري سيستم‌هاي يک نقطه شروع شده است و بطور پيوسته در حال تنزل کردن ميباشد تاجائيکه جرمLTI


آنگاه پاسخ سيستم به هر حالت اوليه را مي‌توان بصورت زير نشان داد :

براي سيستم‌هاي قطري ناپذيراين عبارت شامل قسمتهاي اضافي بصورت زير می باشد :

قضيه 1:

سيستم خطي LTI زير را درنظر بگيريد.

اين سيستم پايدار به مفهوم لياپونف است اگر و فقط اگر :


الف : را مي‌توان بصورت زير نشان دادكلية مقادير ويژه A قسمتهاي حقيقي غيرمثبت داشته باشند.

ب :آن دسته از مقادير ويژه A كه قسمتهاي حقيقي آن صفر هستند، صفرهاي ساده چند جمله‌اي معادله مشخصه A باشند. بعبارت ديگر در صورت تبديل شدن A به بلوك جردن، درجة بلوك جردن متناظر با مقدار ويژه‌اي كه قسمتهاي حقيقي آن صفر است، يك باشد.

اثبات(CT CHEN) :


قضيه را مي‌توان بصورت زير نشان داد2:

سيستم خطی زير پايدار مجانبي است اگر و فقط اگر كليه مقادير ويژه A داراي قسمتهاي حقيقي منفي باشند.

قضيه 3:

سيستم خطی زير پايدار مجانبي است نهايي است اگر و فقط اگر پايدار مجانبي باشد.

قضيه 4:

سيستم خطی به مفهوم لياپانوفپايدار است اگر و فقط اگر :

الف ـكليه مقادير ويژه A قسمتهاي حقيقي غير مثبت داشته باشند (قسمت حقيقي منفي يا صفر ) .

ب ـآن دسته از مقادير ويژه A كه قسمتهاي حقيقي آنها صفر هستند، صفرهاي ساده چند جمله‌اي مشخصه A(minimal Polynomial)باشند .


. را مي‌توان بصورت زير نشان داد

روش دوم لياپونف :

بدون استفاده از حل معادلات و همچنين بدون بدست آوردن معادله مشخصه در خصوص پايداري بحث كنيم.

مي‌دانيم هر قطب G(s) مقدار ويژه A است اما بالعكس آن صحيح نيست.

شرط پايداري:

سيستم تعريف شده با ماتريس تبديلG(S) پايدار BIBO است اگر و فقط اگر قطبهاي هر عنصر G(S) قسمتهاي حقيقي منفي داشته باشد.


مثال را مي‌توان بصورت زير نشان داد:

not A.S.YStable


قضيه 6 : را مي‌توان بصورت زير نشان داد

اگر سیستم خطی، كنترل‌پذير و مشاهده‌پذير باشند آنگاه عبارات زير معادل هستند:

1) سيستم كاملاً پايدار است.

2) پاسخ حالت صفر BIBO است.

3) پاسخ حالت صفر پايدار مجانبي است.

4) كليه قطبهاي ماتريس تبديل داراي قسمتهاي حقيقي منفي هستند.

5)كليه مقادير ويژه A داراي قسمتهاي حقيقي منفي مي‌باشند.


روش دوم لياپونف: را مي‌توان بصورت زير نشان داد

روش دوم يا مستقيم لياپونف بدون بدست آوردن پاسخ سيستم يعني x(t) پايداري سيستمهاي خطي و غيرخطي را تعيين مي‌كند. اين روش برعكس روش اول كه تعيين مقدار ويژه معادلات خطي الزامي است، بوده و بدون حل معادلاتسيستم مي‌تواند به تعيين پايداري بپردازد. اين روش با جامعيتي كه دارد براي سيستمهاي با ورودي (بدون ورودي )LT / LTI ، خطي / غيرخطي قابل اعمال است. در اين روش با انتخاب يك تابع اسكالر (v(xبه تعيين پايداري سيستم مي‌پردازيم. وقتي كه (v(x شرايط لياپونف را برآورده كند آن را تابع كانديداي لياپونف مي‌ناميم.

مشكل اساسي موجود در اين روش آن است كه تعيين يك تابع لياپونف مناسب به راحتي مسير نمي‌باشد. و عدم برآورده شدن شرايط پايداري به معناي عدم پايداري يا عدم وجود يك تابع كانديداي لياپونف نيست.


تعاريف را مي‌توان بصورت زير نشان داد

  • معين مثبت بودن توابع اسكالر:

تابع اسكالر v(x) را در ناحيه

كه در برگيرنده مبدأ فضاي حالت است، P.D مي‌گوييم كه هرگاه به

ازاي تمام حالتهاي غيرصفر داشته باشيم :

  • معين منفی بودن توابع اسكالر:

تابع اسكالر v(x) را معين منفیمی گوييم، هرگاه v(x)- ، معين مثبت باشد .

  • نيمه معين مثبت PSD

تابع اسكالر v(x) را PSD گوييم هرگاه جزء در مبدأ و در برخي حالتهاي ديگر ناحيه

مثبت باشد.

كه تابع صفر است در بقيه حالتهاي ناحيه


تابع اسكالر (v(x را N.S.D گوييم اگر كه (PSD , -v(x باشد.

  • نامعين بودن اسكالر

هم مقادير مثبت و هم مقادير منفي را دارا باشد آنرا نامعين مي‌گوييم.

اگر تابع اسكالر (v(x در ناحيه

مثال:

مثال:


مثال را مي‌توان بصورت زير نشان داد:

مثال:


صورتهاي درجه 2: را مي‌توان بصورت زير نشان داد

دسته مهمي از توابع اسكالر كه داراي نقش در تعيين پايداري هستند (لياپونف روش دوم ) صورتهاي درجه 2 مي‌باشند.

صورت درجه 2 يك چند جمله‌اي همگون و حقيقي از متغيرهاي حقيقي

بصورت زير مي‌باشد.


زمستان 1382 را مي‌توان بصورت زير نشان داد


ماتريس را مي‌توان بصورت زير نشان دادp را ماتريس مثبت معين يا مثبت نيمه معين مي‌گويند اگر هر كدام از شرايط زير برآورده شود :

1)تمام مقادير ويژ ه p مثبت باشند.

2)تمام كهادهاي اصلي مقدم مثبت باشند. (كليه كهادي اصلي ) غيرمنفي باشند.

كهادهاي اصلي


كهادهاي اصلي را مي‌توان بصورت زير نشان دادمقدم


آنگاه را مي‌توان بصورت زير نشان داد :

1)

2)

3)شرط لازم و كافيبراي آنكه صورتهاي درجه 2P .S. D, باشد آن است كه Pويژهبوده و كليه كهادهاي اصلي غير منفيباشند.

4)شرط لازم و كافيبراي آنكه صورتهاي درجه 2 N.S.D باشد آن است كه Pويژه بودهو كليه كهادهاي اصلي مرتبه زوج غيرمنفي و مرتبة فرد غيرمثبتباشند. در حالتهاي ديگر صورتهاي درجه 2 نامعين است.


مثال : را مي‌توان بصورت زير نشان داد


مثال : را مي‌توان بصورت زير نشان داد


برگشت به را مي‌توان بصورت زير نشان دادروش دوم لياپونف :

از تئوري كلاسيك مكانيك مي‌دانيم كه سيستم ارتعاشي در صورتي پايدار است كه كل انرژي آن كه يك تابع P.D باشد تا رسيدن به حالت تعادل به طور پيوسته كاهش پيدا كند يعني آنكه مشتق زماني مجموع انرژي بايد N.D باشد، تا اينكه سيستم به حالت تعادل برسد.

روش دوم لياپونف بر اين واقعيت بنا شده كه اگر سيستم داراي حالت تعادل پايدار مجانبي باشد آنگاه انرژي ذخيره شده در سيستم كه در حوزه جذب جابه‌جا شده با گذشت زمان كاهش پيدا مي‌كند، تا سرانجام به حداقل مقدار خود در حالت تعادل برسد.

هر تابع اسكالري كه قضاياي لياپونف را برآورده كند يك تابع كانديداي لياپونف است كه رفتار اين تابع و مشتق آن تعيين كننده پايداري ازI.S.L است.


قضيه پايداري مجانبي يكنواخت: را مي‌توان بصورت زير نشان داد

اگر كه سيستم به شكل زير تعريف شده باشد كه :

داراي مشتقات جزئي اول پيوسته باشد و شرايط زير را برآورده سازد :

آنگاه اگر تابع اسكالر

آنگاه حالت تعادل در مبدأ داراي پايداري مجانبي يكنواخت است.


قضيه پايداري لياپونف : را مي‌توان بصورت زير نشان داد

اگر سيستم به شكل زير باشد كه :

داراي مشتقات جزئي اول پيوسته باشد و شرايط زير را برآورده سازد :

آنگاه اگر تابع اسكالر

حالت تعادل داراي پايداري يكنواخت است.


قضيه ناپايداري را مي‌توان بصورت زير نشان داد

اگر سيستم به شكل زير باشد كه :

Dr. H. Bolandi

داراي مشتقات جزئي اول پيوسته باشد و شرايط زير را برآورده سازد :

آنگاه اگر تابع اسكالر

آنگاه سيستم ناپايدار است.


در خصوص پايداري سيستم تحقيق كنيد. را مي‌توان بصورت زير نشان داد

مثال :

حل :


جمع‌بندي براي سيستم‌هاي غيرخطي :

1)در بكارگيري قضيه‌هاي لياپونف براي سيستمهاي غيرخطي بايد توجه داشت كه شرايط پايداري بدست آمده از يك تابع خاص لياپونف فقط شرط كافي است و در برگيرنده شرط لازم نمي‌باشد.

2)بدست آوردن تابع لياپونف براي اين سيستم unique واحد نيست بنابراين اگر نتوان تابع لياپونف خاص و صحيحي را تعريف كرد آنگاه نمي‌توان در خصوص پايداري بحث كرد.

3)براي حالت تعادل پايدار / پايدار مجانبي همواره يك تابع لياپونف وجود دارد.


تحليل پايداري سيستم‌هاي :L T I با استفاده از روش لياپونف :

سيستم زير را درنظر بگيريد:

فرض مي‌كنيم كه A ناويژه است يعني در واقع تنها حالت تعادل، مبدأ يعني x=0 است حال با توجه به مفروضات فوق به تحليل پايداري از ديدگاه لياپونف مي‌پردازيم:

برای سيستم فوق يك تابع احتمالي لياپونف v را درنظر مي‌گيريم بطوريكه :


از آنجا كه :v(x) را P.D انتخاب كرديم لذا براي پايداري مجانبي لازم است كه مشتق تابع لياپانوف N.Dباشد. بنابراين :


براي اثبات پايداري مجانبي سيستم : کافيست :

قضيه سيلوستر:

آنست كه دترمينان تمام كهادهاي

شرط لازم و كافي براي آنكه ثابت كنيم كه

اصلي متوالي آن مثبت باشند.

حال به جاي آنكه ابتدا ماتريس مثبت معين P را مشخص كرده و تعيين كنيم كه آيا Q، P.D هست يا خير، راحتتر است كه ابتدا ماتريس Q را P.Dانتخاب كنيم و سپس بررسي كنيم كه آيا P بدست آورده شده از معادلة زير مثبت معين است يا خير ؟




مثال : :

پايدار مجانبي است.



مثال 2 :)

محدوده مناسب براي a طوري انتخاب کنيد که سيستم داراي پايداري مجانبي باشد.

ATP+PA=-I


بنابراين بازاء :a<0 سيستم داراي پايداري مجانبي خواهد بود.


تحليل پايداري سيستمهاي گسسته زمان

  • تحليل پايداري از ديدگاه لياپانوف را جهت سيستمهاي مستقل از زمان بنا بر متد دوم لياپانوف مطرح ميکنيم.بايد توجه داشت که حال بجاي V(x)از∆v(x(k))=V(x(k+1)T)-V(x(kT)) استفاده خواهيم نمود.

  • سيستم گسسته زمانx(k+1)=Gx(k) را در نظر مي گيريمکه در آن xيک بردارn بعدي حالت و Qيک ماتريس nonsingular ثابتn*n است و مبداءx=0 حالت تعادل است.

  • فرض مي کنيم که تابع احتمالي V(x(k))=x*(k)Px(k) تابع لياپانوف است.Pيک ماتريس هرويتز،معين مثبت و متقارن حقيقي مي باشد.


∆v(x(k))=V(x(k+1))-V(x(k)) زمان

=x*(k+1) P x(k+1)-x*(k) P x(k)

=[Gx(k)]* P [Gx(k)]-x*(k) P x(k)

=x*(k) G* P G x(k)-x*(k) P x(k)

=x*(k)[G*PG-P]x(k)

از آنجا که v(x(k)) معين مثبت است،لذا براي پايداري مجانبي لازم است که∆V(x(k))=-x*(k)Qx(k)معين منفي باشد، يعني بايد -Q=[G*PG-P]معين مثبت باشد.لذا فقط کافيست که Q معين مثبت باشد.


در اين حالت مانند سيستمهاي پيوسته زمان خطي بهتر است که در ابتدا ماتريسQ هرويتز ومعين مثبت باشد و سپس P معين مثبت را از رابطه زير بدست آوريم:

G*PG-P=-Q

معين مثبت بودن P فقط شرط لازم است.


قضيه پيوسته زمان خطي بهتر است که در ابتدا ماتريس

سيستم گسسته زمان x(k+1)=Gx(k) را در نظر مي گيريم .

Xيک بردار حالت n بعدي

G ماتريسnonsingular , n*n

شرط لازم و کافي براي آنکه حالت تعادل 0=xپايدار مجانبي باشد،آنست که براي هر ماتريس Q هرويتز و حقيقي متقارن يک ماتريس P (حقيقي و متقارن)چنان وجود داشته باشد که:

G*PG-P=-Q

در حاليکه تابع اسکالر x*Pxيک تابع لياپانوف براي اين سيستم است، اگر ∆V(x(k))=-x*(k)Qx(k) در طول هر رشته جواب، متحد با صفر نباشد،Q را مي توان نيمه معين مثبت انتخاب نمود.


مثال: پيوسته زمان خطي بهتر است که در ابتدا ماتريس

Pمعين مثبت است و از طرفي ∆v(x(k))=-xTQx معين منفي بوده و بنابراين سيستم پايدار مجانبي است.


تحليل پايدارسازي توسط فيدبك خروجي:

می دانیم كه پايدارسازي سيستم ناپايدار توسط حذف قطب ناپايدار با صفر ناپايدار جبران كننده امكان‌پذير نبوده و در واقع حذف قطب ـ صفر در تابع تبديل به حذف فركانس طبيعي ناپايدار سيستم از تحقق كلي نمي‌انجامد و في‌الواقع اين گونه طراحي محكوم به شكست است.براي آنكه بتوانيم يك سيستم ناپايدار را پايدار كنيم بايد نوعي فيدبك براي كنترل عملي سيستم ناپايدار به كار ببريم.


فرض كنيد يك سيستم نوع صفر ناپايدار با تابع تبديل زير داريم :

اگر از فيدبك خروجي براي پايدار سازي آن استفاده كنيم خواهيم داشت كه :


معادلات حالت سيستم فوق: ناپايدار با تابع تبديل

k >1سيستم پايدار است.


حال اگر به جاي سيستم داده شده داشته باشيم:

اگر از فيدبك خروجي براي پايدار سازي آن استفاده كنيم خواهيم داشت كه :


معادلات حالت سيستم فوق: داشته باشيم:

اين سيستم با اين روش بازاي هيچ مقداري از k پايدار نخواهد بود.


براي مثال مسأله را اينگونه نگاه كنيم كه :

حالا با تعيين مقادير مناسب براي k1 و k2 مي‌توان سيستم را پايدار سازي نمود.با توجه به مراتب فوق اگر درجه سيستم از 2 بالاتر برود آنگاه براي تحقق پايدارسازي بايد از فيدبكهاي بيشتر استفاده نمود كه عموماً غير واقعي هستند.اين گونه مشكلات مبناي كار بوده‌اند تا به رقم آنها اقدام عملي بشود.


در اينجا بر پاية كار انجام شده كنيم كه :، كالمن نشان داد كه به جاي فيدبك y(t) و مشتقات آن، عمل معقول‌تر آن است كه حالت x(t) از يك تحقق سيستم فيدبك بشود.


ad