第 35 课 用坐标表示 图形变换

1. 第35课 用坐标表示图形变换

2. 1．平面直角坐标系：在平面内具有而且的两条数轴，就构成了平面直角坐标系，简称坐标系．1．平面直角坐标系：在平面内具有而且的两条数轴，就构成了平面直角坐标系，简称坐标系． 2．建立了坐标系的平面，有序实数对与坐标平面内的点． 3．对称点坐标的规律： (1)坐标平面内，点P(x,y)关于x轴(横轴)的对称点P1的坐标为 ； (2)坐标平面内，点P(x,y)关于y轴(纵轴)的对称点P2的坐标为 ； (3)坐标平面内，点P(x，y)关于原点的对称点P3的坐标为 ． 要点梳理 互相垂直 公共原点 一一对应 (x,－y) (－x,y) (－x,－y)

3. 4．在平面直角坐标系中，图形上的点的坐标同时加(或减、或乘以、或除以)同一个不等于零的数，这样的变化有三种：4．在平面直角坐标系中，图形上的点的坐标同时加(或减、或乘以、或除以)同一个不等于零的数，这样的变化有三种： (1)横坐标改变，纵坐标不变，这时图形左右移动或伸缩； (2)横坐标不变，纵坐标改变，这时图形上下移动或伸缩； (3)横坐标改变，纵坐标也改变，这时图形左右、上下移动 或伸缩．

4. 1．一些特殊点之间的坐标关系 平移前后，点的坐标是如何变化的？ (1)点(x，y)左移a个单位长度：(x－a，y)； (2)点(x，y)右移a个单位长度：(x＋a，y)； (3)点(x，y)上移a个单位长度：(x，y＋a)； (4)点(x，y)下移a个单位长度：(x，y－a)． 2．图形变换前后的关系 比较变化后的图形与原图形的关系，一般是从橫、纵坐标的关系着手，尤其要抓住关键点的横、纵坐标的变化． [难点正本 疑点清源]

5. 1．(2011·河南)如图，将一朵小花放置在平面直角坐标系中第三象限内的甲位置，先将它绕原点O旋转180°到乙位置，再将它向下平移2个单位长到丙位置，则小花顶点A在丙位置中的对应点A′的坐标为()1．(2011·河南)如图，将一朵小花放置在平面直角坐标系中第三象限内的甲位置，先将它绕原点O旋转180°到乙位置，再将它向下平移2个单位长到丙位置，则小花顶点A在丙位置中的对应点A′的坐标为() A．(3,1) B．(1,3) C．(3,－1) D．(1,1) 解析：点A的坐标为(－3,－1)， 原点O旋转180°后，该点的坐标 为(3,1)，向下平移2个单位长度， 得A′(3,－1)． 基础自测 C

6. 2．(2012·咸宁)平面直角坐标系中，点A的坐标为(4,3)，将线段OA绕原点O顺时针旋转90°得到OA′，则点A′的坐标是()2．(2012·咸宁)平面直角坐标系中，点A的坐标为(4,3)，将线段OA绕原点O顺时针旋转90°得到OA′，则点A′的坐标是() A．(－4,3) B．(－3,4) C．(3,－4) D．(4,－3) 解析：如图，画AB⊥x轴，A′B′⊥y轴， 垂足分别为B、B′， 易证△AOB≌△OA′B′， 所以OB＝OB′＝4，AB＝A′B′＝3， ∴A′的坐标为(3,－4)． C

7. 3．(2012·鄂州)如图，平面直角坐标系中，∠ABO＝90°，将直角△AOB绕O点顺时针旋转，使点B落在x轴上的点B1处，点A落在A1处，若B点的坐标为 ，则点A1的坐标是() A．(3,－4) B．(4,－3) C．(5,－3) D．(3,－5) 解析：过B画BC⊥OA于C，因为B ， 所以OC＝ ，BC＝ ， 于是OB＝ ＝4，AC＝ ，AB＝ ＝3. 又△AOB≌△A1OB1，OB1＝OB＝4，A1B1＝AB＝3， 故A1的坐标为(4,－3)． B

8. 4．(2011·日照)以平行四边形ABCD的顶点A为原点，直线AD为x轴建立直角坐标系，已知B、D点的坐标分别为(1,3)、(4,0)，4．(2011·日照)以平行四边形ABCD的顶点A为原点，直线AD为x轴建立直角坐标系，已知B、D点的坐标分别为(1,3)、(4,0)， 把平行四边形向上平移2个单位，那么C点平移后相应的点的坐标是() A．(3,3) B．(5,3) C．(3,5) D．(5,5) 解析：如图，易知点C的坐标为(5,3)， 向上平移2个单位后点C的坐标为(5,5)． D

9. 5．如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行．从内到外，它们的边长依次为2,4,6,8，…，顶点依次用A1，A2，A3，A4，…表示，则顶点A55的坐标是()5．如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行．从内到外，它们的边长依次为2,4,6,8，…，顶点依次用A1，A2，A3，A4，…表示，则顶点A55的坐标是() A．(13,13) B．(－13,－13) C．(14,14) D．(－14,－14) 解析：55＝13×4＋3， 所以顶点A55在第一象限， 选C. C

10. 题型一　确定点的坐标 【例 1】 如图，A、B、C为一个平行四边形的三个顶点，且A、B、C三点的坐标分别为(3,3)、(6,4)、(4,6)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (1)请直接写出这个平行四边形第四个顶点的坐标； (2)求这个平行四边形的面积． 题型分类 深度剖析

11. 解：(1)第四个顶点的坐标为(1,5)或(5,1)或(7,7)． (2)过A画x轴平行线，过B画y轴平行线，记交点为E，过C作 CF⊥AE于F. ∴S△ABC＝S四边形AEBC－S△ABE， 又∵S△四边形AEBC＝S△ACF＋S梯形BEFC， S△ABE＝ ×1×3＝ ，S△ACF＝ ×1×3＝ ， S梯形BEFC＝ ×(1＋3)×2＝4， ∴S△ABC＝( ＋4)－ ＝4，∴S▱＝2S△ABC＝2×4＝8. 答：这个平行四边形的面积等于8. 探究提高 利用点到坐标轴及原点的距离，结合各象限点的坐标特点， 可以确定点的坐标．

12. 知能迁移1(2011·永州)在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形(顶点是网格线的交点的三角形)ABC的顶点A、C的坐标分别为(－4,5)、(－1,3)．知能迁移1(2011·永州)在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形(顶点是网格线的交点的三角形)ABC的顶点A、C的坐标分别为(－4,5)、(－1,3)． (1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； (2)请作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′； (3)写出点B′的坐标．

13. 解：(1)(2)如下图， (3)B′(2,1)．

14. 题型二　由确定点的位置的方法转换 【例 2】 已知坐标平面上的机器人接受指令“[a，A]”(a≥0,0°<A <180°)后的行动结果为：在原地顺时针旋转A后，再向面对方向沿直线地走a，若机器人的位置在原点，面对方向为y轴的负半轴，则它完成一次指令[2, 60°]后，所在位置的坐标为() A．(－1,－ ) B．(－1， ) C．( ,－1) D．(－ ,－1)

15. >> 解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！ 解：如图，过P作PM⊥y轴于M，在Rt△POM中， ∠MOP＝60°， ∴∠OPM＝30°. ∴OM＝ OP＝1， PM＝ ＝ ＝ . 又∵点P在第三象限， ∴P(－ ,－1)，故选D.

16. 探究提高　 本题利用数形结合的方法确定点P的坐标，在阅读理解的基础上，先结合方位角的知识，在平面直角坐标系中找到指定[2,60°]所对应的点P的位置，然后利用解直角三角形的知识和坐标平面内点的坐标特征，求出点P的坐标．

17. 知能迁移2　在平面直角坐标系中，设点P到原点O的距离为ρ，OP与x轴正方向的夹角为α，则用[ρ，α] 表示点P的极坐标，显然，点P的极坐标与它的坐标存在一一对应关系．例如：点P的坐标为(1,1)，则其极坐标为 [ , 45°]． 若点Q的极坐标为[4,60°]，则点Q的坐标为() A．(2, 2 ) B．(2,－2 ) C．(2 , 2 )D．(2,2) A

18. 题型三　求轴对称、旋转对称对应点的坐标 【例 3】 如图，在边长为1的正方形网格中，将△ABC向右平移两个单位长度得到△A′B′C′，则与点B′关于x轴对称的点的坐标是() A．(0,－1)B．(1,1) C．(2,－1)D．(1,－2) 解析：B点坐标原为(－1,2)，向右平移 两个单位长度之后为B′(1,2)， 此时B′(1,2)关于x轴对称点的坐标 为(1,－2)，应选D. D

19. 知能迁移3(2009·白色)如图所示，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将△ABO绕点O按顺时针方向旋转90度，得到△A′B′O，则点A′的坐标为()知能迁移3(2009·白色)如图所示，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将△ABO绕点O按顺时针方向旋转90度，得到△A′B′O，则点A′的坐标为() A．(3,1) B．(3,2) C．(2,3)D．(1,3) 探究提高　 牢记坐标平移的规律，将其进行逆向思维，抓住关键点的横纵坐标的变化． D

20. 题型四　在坐标系或网格中计算图形的面积 【例 4】 (2009·咸宁)问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为 、 、 ，求这个三角形的面积． 小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1)，再在网格中画出格点△ABC(即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处)，如图①所示，这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积． (1)请你将△ABC的面积直接填写在横线上：_______；

21. (2)我们把上述求△ABC的面积的方法叫做构图法，若△ABC三边的长分别为 a、2 a、 a(a>0)，请利用图②的正方形网格(每个小正方形的边长为a)画出相应的△ABC，并求出它的面积； (3)△ABC三边的长分别为 、 、2 (m>0，n>0且m≠n)，试运用构图法求出这三角形的面积． 解：△ABC如图(2)所示(位置不唯一)． S△ABC＝2a×4a－ ×a×2a－ ×2a×2a－ a×4a＝3a2. 解：构造△ABC如图(3)所示(未在试卷上画出相应图形 不扣分)，S△ABC＝3m×4n－ ×m×4n－ ×3m×2n－ ×2m×2n＝12mn－2mn－3mn－2mn＝5mn.

22. 探究提高　 在平面直角坐标系或网格中求面积，有一定的规律，常以填空或选择题的形式出现，一般的做法是将难以求解的图形分割成易求解面积的图形，即构图法．

23. 知能迁移4　已知点A(－1,4)，B(2,2)，C(4,－1)，则△ABC的面积是_______．知能迁移4　已知点A(－1,4)，B(2,2)，C(4,－1)，则△ABC的面积是_______． 解析：如图：S△ABC＝5×5－ ×5×5－ ×3×2－2×2－ ×2×3＝25－22.5＝2.5 2.5

24. 23．错误确定平移变换后点的坐标 试题　如图，一个粒子在第一象限内移动，在第一分钟内它从原点移动到(1,0)，而后接着按图所示，在x轴、y轴平行方向移动，每分钟移动1个单位，那么在1989分钟后，这个粒子所处位置为() A．(35,44) B．(36,45) C．(45,36) D．(44,35) 易错警示

25. 学生答案展示C 剖析　粒子的移动，也可以看作是粒子的平移，像这个数据较大的情形，需要通过观察某些特殊点的坐标与运动时间来探究其蕴藏的规律．首先我们来看看当粒子移动到坐标轴上时的情形： 坐标(1,0)，(2,0)，(3,0)对应时间为1分，8分，9分； 坐标(4,0)，(5,0)，(6,0)…对应时间为24分，25分，26分…； 坐标(0,1)，(0,2)，(0,3)对应时间为3分，4分，15分； 坐标(0,4)，(0,5)，(0,6)…对应时间为16分，35分，36分…；

26. 观察上表可知，在x轴上奇数的平方对应着移动时间，在y轴上偶数的平方对应着移动时间，而与1989最接近的是452＝2025，相差2025－1989＝36分钟，即先将横坐标倒退一个单位，即44，再向上进35个单位，此时，1989对应的坐标为(44,35)，而C答案中，当横坐标为45时，对应的时间为2025分钟，不能直接再向上移动36个单位，否则按照运动规律，对应时间为2061分钟．观察上表可知，在x轴上奇数的平方对应着移动时间，在y轴上偶数的平方对应着移动时间，而与1989最接近的是452＝2025，相差2025－1989＝36分钟，即先将横坐标倒退一个单位，即44，再向上进35个单位，此时，1989对应的坐标为(44,35)，而C答案中，当横坐标为45时，对应的时间为2025分钟，不能直接再向上移动36个单位，否则按照运动规律，对应时间为2061分钟． 正解　D 批阅笔记　 本题须理解运动规律，然后将点的坐标与运动时间相对应来确定点的坐标．

27. 方法与技巧 1. 用坐标描述点的位置，关键在于建立适当的坐标系，并确定单位长度． 2. 在给定的直角坐标系中，由坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标；在同一直角坐标系中，感受图形变换后点的坐标的变化，灵活运用不同的方式确定物体的位置． 3. 直角坐标系是研究函数图象的基础，在直角坐标系中，点与有序实数对之间是一一对应的． 思想方法 感悟提高

28. 失误与防范 1．从不同角度，分不同情况，全面地考虑问题，才能得到正确答案． 例如：如图，在已建立直角坐标系的4×4正方形方格纸中， △ABC是格点三角形(三角形的三个顶点都是小正方形的顶点)，若以格点P、A、B为顶点的三角形与与△ABC相似(全等外)，则格点P的坐标是() A．(1,4)B．(3,4) C．(1,4)或(3,4) D．以上都不对

29. 解析：学生容易选择A或B.应该分两种情况讨论，若△ABC∽解析：学生容易选择A或B.应该分两种情况讨论，若△ABC∽ △APB，则AP∶AB∶BP＝AB∶AC∶BC＝2∶1∶ ，可得点P1 的坐标为(1,4)；若△ABC∽△BPA，则BP∶AB∶AP＝AB∶AC∶ BC＝2∶1∶ ，可得点P2的坐标为(3,4)．应选C(1,4)或(3,4)． 2．将平面图形放在直角坐标系中进行研究，根据点的坐标确 定它在平面内的位置，进而确定整个图形的位置．图形的两次平 移相当于从最初位置到最终位置的一次平移，在这里，我们也可 以把两次平移的图形变换，看作图形上各点坐标两次变换的结果．

30. 完成考点跟踪训练 35