1 / 54

TRIANGULATIONS - Part II

TRIANGULATIONS - Part II. אנה גלייזר 19.12.11. על מה נדבר היום :. טריאנגולציות DELAUNAY טריאנגולציות מיוחדות: טריאנגולציה ממשקל מינימלי – MWT טריאנגולציות תואמות פסאודו-טריאנגולציות. טריאנגולציות DELAUNAY. נעשה זאת בעזרת טריאנגולציה:

ianthe
Download Presentation

TRIANGULATIONS - Part II

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. TRIANGULATIONS - Part II אנה גלייזר 19.12.11

  2. על מה נדבר היום: • טריאנגולציות DELAUNAY • טריאנגולציות מיוחדות: • טריאנגולציה ממשקל מינימלי – MWT • טריאנגולציות תואמות • פסאודו-טריאנגולציות

  3. טריאנגולציות DELAUNAY

  4. נעשה זאת בעזרת טריאנגולציה: נבצע טריאנגולציה על אוסף הנקודות ואח"כ "נרים" כל משולש במישור לגובהו המתאים וכך נקבל את אותו המשולש בתלת-ממד. שחזור פני הקרקע יורכב ממשולשים אלה. המוטיבציה: עבור אוסף נקודות דגימה S על המישור(נקודות שמדדנו את גובהן) נרצה לעשות שחזור של פני הקרקע כמה שיותר קרוב למציאות. נקודות הדגימה מהוות אומדן לגובה הנקודות הסמוכות (שגובהן לא נמדד)

  5. דוגמאות

  6. אך איזו טריאנגולציה הכי מתאימה לשחזור פני הקרקע על סמך נקודות הדגימה בלבד? כיוון שפני הקרקע האמיתיים אינם ידועים פרט לנקודות הנ"ל, אזי לבחירת הטריאנגולציה תהיה השפעה רבה על מראה השחזור. דוגמא:

  7. איך נוכל לבחור בטריאנגולציה המתאימה ללא מידע נוסף? הניסיון שלנו עם פני קרקע טבעיים נותן לנו אינטואיציה שמעבדת חלק מהשחזורים בצורה "טבעית" יותר לעין האנושית. דוגמא: מה הופך את הטריאנגולציה השמאלית ליותר טבעית מהימנית? הסיבה כנראה בגלל העובדה שההיפוך באיור הימני יצר "משולשים רזים" ביחס למצב הקודם. על כן, נעדיף טריאנגולציה שנמנעת ממשולשים רזים ע"י מקסום הזווית הקטנה ביותר בכל משולש.

  8. הערה: מעתה נניח כי אוסף נקודות במצב כללי לא מכיל 4 נקודות על אותו מעגל. סימון: תהי T טריאנגולציה של אוסף הנקודות S כך ש- T מכילה משולשים. אזי סדרת הזוויות של T היא רשימה ממוינת של הזוויות של T מהזווית הקטנה ביותר לגדולה ביותר . הערה: ניזכר שמס' המשולשים בכל טריאנגולציה הוא קבוע ולכן אורכה של סדרת הזוויות בכל טריאנגולציה זהה. מכאן גם נובע כי סכום הזוויות של הסדרה שווה בכל טריאנגולציה.

  9. סימון: בהינתן 2 טריאנגולציות נאמר כי שמנה יותרמ- (ונכתוב )אם סדרת הזוויות של גדולה יותר לקסיקוגרפית מזו של . במילים אחרות, אם היא סדרת הזוויות של ו- של , אזי קיים כך שלכל מתקיים: ו- . לכן סדרת הזוויות שמנה יותר מ- .

  10. הגדרות: • תהי צלע של טריאנגולציה ויהי Q מרובע ב- הנוצר ע"י 2 משולשים ש- היא צלע משותפת שלהם. אם Qהוא קמור, תהי טריאנגולציה לאחר היפוך ( flip ) הצלע ב- . נאמר כי היא צלע חוקית אם ו-היא לא חוקית אם .הערה: אם Q הוא לא קמור, אזי נתייחס אל כאל צלע חוקית. • עבור אוסף נקודות S, נגדיר את טריאנגולציית של S, המסומנת ע"י , להיות טריאנגולציה המכילה רק צלעות חוקיות.

  11. EDGE FLIPPING– Delaunay Triangulation Algorithm יהי S אוסף נקודות במצב כללי (כלומר, ללא 4 נקודות על אותו מעגל) ותהי T טריאנגולציה התחלתית כשלהי. אם T מכילה צלע לא חוקית, נבצע היפוך של הצלע ובכך היא תהפוך להיות חוקית. נמשיך לבצע היפוכי צלעות לא חוקיות, ע"י מעבר בסדר כלשהו בגרף ההיפוכים של S, עד שלא תהיינה עוד צלעות לא חוקיות. הערה: מכיוון שצלעות לא חוקיות עוברות היפוך, סדרת הזוויות של הטריאנגולציה החדשה הולכת וגדלה. ומכיוון שיש מס' סופי של טריאנגולציות (מכיוון שיש מס' סופי של קודקודים), אזי האלגוריתם חייב להסתיים. מבנייה נובע כי טריאנגולציית Delaunay החדשה תהיה גדולה יותר מכל אחד מהשכנים שלה בגרף ההיפוכים.

  12. תרגיל: הוכח או הפרך - תחת האלגוריתם הנ"ל, ייתכן כי צלע חוקית תהפוך מאוחר יותר ללא חוקית. פתרון: נראה דוגמא לכך שזה נכון:

  13. משפט Thales בהינתן 3 נקודות P, Q, ו- B על המעגל, נקודה A בתוך המעגל ונקודה C מחוצה לו, אזי הזווית PAQ גדולה יותר מ- PBQ, שגדולה יותר מ- PCQ. דוגמא:

  14. הוכחה: נראה שהזווית PCQ קטנה יותר מ-PBQ: נסמן את גודל הזווית PBQ ב- . נסמן את נק' החיתוך של הקטע CQ עם המעגל ב- Dונחבר את D עם P. כעת, מכיוון שהזווית שנוצרה PDQ נמצאת על אותה קשת כמו הזווית PBQ הרי גם היא שווה ל-. בנוסף, נשים לב שהזווית PDQ היא זווית חיצונית למשולש PCD ולכן גודלה שווה לסכום הזוויות PCQ ו- CPD. ולכן, הזווית PCQ קטנה מ- , כלומר – קטנה מהזווית PBQ. את המקרה שהזווית PAQ גדולה יותר מ-PBQ מראים באופן דומה.

  15. טענה תהי צלע של טריאנגולציה, כך ש- שייכת לשני המשולשים ABC ו- ACD. אזי היא צלע חוקית אם D היא מחוץ למעגל החוסם את ABC והיא צלע לא חוקית אם D היא בתוך המעגל החוסם. הערה: נשים לב שהמקרה האמצעי לא רלוונטי, כי הנחנו שאין 4 נקודות על אותו מעגל

  16. הוכחת הטענה נסתכל על המקרה שבו D נמצאת בתוך המעגל החוסם את ABC(איור שמאלי). נראה שהצלע AC היא לא חוקית. נסמן את 8 הזוויות של המרובע ABCD הנוצרות מחיתוכי האלכסונים, כפי שמתואר באיור הימני. מכיוון ש-C נמצאת מחוץ למעגל החוסם את ABD, מהמשפט הקודם נובע כי הזווית גדולה יותר מ- . באותו אופן, מכיוון ש-A נמצאת מחוץ למעגל החוסם את BCD, אזי הזווית גדולה יותר מ- . אם נמשיך באותו אופן, נקבל כי לכל .

  17. הוכחת הטענה - המשך כעת, מכיוון ש-D נמצאת בתוך מעגל החוסם את ABC, אזי הזוויות הן הזוויות הקטנות ביותר בסדרת הזוויות הנוצרות ע"י הצלע AC. ולכן, עבור כל אחת מ-4 הזוויות הנוצרות ע"י הצלע BD, קיימת זווית קטנה יותר הנוצרת ע"י הצלע AC. כלומר – AC היא צלע לא חוקית. באופן דומה מוכיחים את המקרה שבו D נמצאת מחוץ למעגל החוסם.

  18. תרגיל: בהינתן המשולשים מהטענה הקודמת, הראה ש- D נמצאת מחוץ למעגל החוסם את ABC אם"ם B נמצאת מחוץ למעגל החוסם את ACD. הוכח שזה נכון גם אם ABCD הוא לא מרובע קמור. פתרון: נניח כי D נמצאת מחוץ למעגל החוסם את המשולש ABC ונראה כי B נמצאת מחוץ למעגל החוסם את ACD: המרובע AECB הוא מרובע חסום במעגל ועל כן . כעת, מכיוון ש-D נמצאת מחוץ למעגל חוסם של ABC, ומכיוון שהיא נמצאת על אותה הקשת כמו הזווית AEC הרי מתקיים ש- . מכאן נובע ש-

  19. פתרון - המשך: כעת, גם AFCD הוא מרובע חסום במעגל ולכן . משתי המשוואות האחרונות נקבל כי . ומכיוון שהזוויות ABC ו-AFC נשענות על אותה קשת ו-F נמצאת על היקף המעגל החוסם של ACD, הרי B נמצאת מחוץ למעגל ACD. (הכיוון השני מוכח באותו אופן).נשים לב שהמרובע ABCD הוא לא קמור.

  20. משפט – תכונת המעגל הריק: יהי S אוסף נקודות במצב כללי (כלומר – אין 4 נקודות על אותו מעגל). אזי T היא טריאנגולציית Delaunay אם"ם שום נקודה של S לא נמצאת בַפְנים של שום מעגל החוסם משולש של T. הוכחה - כיוון ראשון : אם אף נקודה של S היא לא פנימית לשום מעגל חוסם, אזי (לפי טענה קודמת) כל היפוך יצור צלע לא חוקית. מכאן – כל צלעות הטריאנגולציה הן חוקיות.

  21. הוכחה - כיוון שני : בשלילה נניח כי T היא טריאנגולציית Delaunay ונניח כי קיימים משולשים כך שהמעגלים החוסמים אותם מכילים נקודות בַפְנים שלהם. מצב כזה מתואר באיור a עבור משולש ABC ונקודה D בתוך המעגל החוסם אותו. מכל המשולשים של T שהמעגל החוסם שלהם מכיל נקודות, נבחר בזה שבו הנקודה D הכי קרובה לצלע של המשולש. כלומר, נבחר במשולש שמביא למינימום את המרחק x שמתואר באיור b.

  22. הוכחה - כיוון שני - המשך: כעת, מכיוון ש- T היא טריאנגולציית Delaunay אזי כל הצלעות הן חוקיות. לכן, מטענה קודמת, משולש BCD לא יכול להתקיים ב-T. יהי BCE משולש סמוךלמשולש ABC לאורך הצלע BC. לפי אותה טענה, E חייבת להיות מחוץ למעגל החוסם את ABC, כפי שמתואר באיור c. נשים לב כי המעגל החוסם את BCE מכיל את הנקודה D וש-D לא יכולה להיות בתוך המשולש BCE (מיד נראה למה זה מתקיים). מכאן – קיבלנו סתירה: D היא נקודה בתוך המעגל החוסם את BCE, שמרחקה מהצלע EC קטן יותר מ-x.

  23. תרגיל: הוכח כי המעגל החוסם את BCE מכיל את הנקודה D וש-D לא יכולה להיות בתוך המשולש BCE. הוכחה: ראשית, נשים לב כי מכיוון שהמשולש BCE הוא חלק מטריאנגולציה, אזי הוא לא מכיל שום נקודה בתוכו. בפרט, D לא מוכלת בו. כעת, נסתכל על המעגל החוסם את ABC: הזוויות BDC ו-BEC נשענות על אותה הקשת כאשר הנקודה D נמצאת בתוך המעגל והנקודה E – מחוצה לו. אזי ממשפט קודם, הזווית BDC גדולה יותר מ- BEC – (*). כעת, אם נסתכל על הזוויות הללו ביחס למעגל החוסם את המשולש BEC, הזוויות הללו שוב נשענות על אותה קשת, אך מכיוון ש-E נמצאת על היקף המעגל BEC, ובצירוף (*),נקבל כי D נמצאת בתוך המעגל.

  24. טריאנגולציות מיוחדות: • טריאנגולציה ממשקל מינימלי – MWT • טריאנגולציות תואמות • פסאודו-טריאנגולציות

  25. טריאנגולציה ממשקל מינימלי (MWT) • מוגדרת להיות הטריאנגולציה שמשתמשת בהכי פחות דיו ביחס לשאר הטריאנגולציות. • לכל צלע יש משקל שמסמל את אורך הצלע כיצד נוכל למצוא טריאנגולציה כזו?

  26. דוגמא: יהי אוסף של 33 נקודות, כך ש-32 מהן מונחות במרווחים שווים על מעגל ברדיוס 1 והנקודה האחרונה במרכז המעגל. נזיז טיפה את הנקודות כך שלא יהיו 4 נקודות על אותו מעגל. • עבור טריאנגולציה אחת ניקח כל אחת מנקודות שפת הקמור ונחבר עם מרכז המעגל. • עבור טריאנגולציה שנייה נחבר את כל הנקודות הסמוכות של שפת הקמור. כעת נחבר כל נקודה שנייה, ובכך ניצור 16 צלעות חדשות, אח"כ נוסיף עוד 8 צלעות חדשות ע"י חיבור כל נקודה רביעית של השפה. לאחר חיבור כל נקודה שמינית של השפה נסיים את הטריאנגולציה ע"י הוספת צלע מכל נקודה שמינית אל מרכז המעגל.

  27. דוגמא - המשך: נשים לב שהטריאנגולציה הראשונה היא טריאנגולציית Delaunay (למה?) כעת נראה שמשקלה הכולל של הטריאנגולציה השנייה קטן יותר מזו של טריאנגולציית Delaunay. המשקל הכולל של טריאנגולציית Delaunay קרוב ל- : היקף המעגל + 32 הרדיוסים. המשקל הכולל של הטריאנגולציה השנייה הוא הרבה פחות מ- , כאשר מייצג את ארבע השכבות מסביב למעגל ו-4 הוא אורכן של ארבעת הצלעות שמחוברות למרכז המעגל. כעת, מכיוון ש- קיבלנו דוגמה למצב שבו טריאנגולציית Delaunay היא לא טריאנגולציה ממשקל מינימלי (MWT).

  28. תרגיל: הראה שהטריאנגולציה הראשונה היא טריאנגולציית Delaunay. הוכחה:

  29. אלגוריתם חמדן למציאת MWT: • בהינתן n נקודות, ישנם מרחקים שונים ביניהן. • נוסיף כל פעם צלע אחת לטריאנגולציה הגדלה, כשבכל צעד נבחר בצלע מאורך מינימלי שלא חוצה את הצלעות שנוספו מקודם. • Errol Lloyd הוכיח שאלגוריתם זה לא יוצר טריאנגולציית MWT ואף לא טריאנגולציית Delaunay. יתרה מזאת, במשך הרבה זמן חישוב הסיבוכיות של מציאת טריאנגולציית MWT הייתה בעיה פתוחה. הבעיה נפתרה ב-2006 ע"י Wolfgang Mulzer ו- Gunter Rote שהראו שהבעיה היא NP-hard (שזה לפחות כמו NP-complete).

  30. דוגמא: אורך ההיקף הוא 100 יחידות

  31. מה אם במקום טריאנגולציה מלאה של קבוצת נקודות, היינו מעוניינים רק בעץ שפורש את קבוצת הנקודות? במילים אחרות, נרצה לצייר צלעות תוך שימוש קטן ביותר בדיו, כך שכל הנקודות מחוברות זו לזו. כלומר - מדובר בעץ פורש מינימלי

  32. משפט: תהי S קבוצת נקודות. אזי עץ פורש מינימלי של S הוא תת-קבוצה של טריאנגולציית Delaunay. הוכחה - בשלילה: נניח כי הצלע AB נמצאת בעץ פורש מינימלי של S אבל לא בטריאנגולציית Delaunay. נסתכל במעגל שצלע AB מהווה את הקוטר שלו. מכיוון ש-AB היא צלע לא חוקית (מהגדרת טריאנגולציית Delaunay), אזי מטענה קודמת, חייבת להיות נקודה נוספת במעגל. נסמן אותה ב- C. כעת, מכיוון ש-AB הוא קוטר המעגל, הרי מתקיים: וגם .

  33. הוכחה - המשך: מחיקת AB מהעפ"מ תפצל את העץ לשני עצים, נניח ו- . מכיוון שהעפ"מ פורש את כל נקודות S, אזי C נמצאת באחד מ-2 העצים, נניח ב- . כעת, הסרת AB מהעפ"מ והוספת BC תיצור עץ פורש מינימלי חדש שאורכו הכולל קטן יותר. בסתירה.

  34. בעיה פתוחה: נניח כי משקלן הכללי של כל הצלעות בטריאנגולציית MWT נתון. מצא את טריאנגולציית MWT בזמן פולינומיאלי.

  35. טריאנגולציות תואמות יש מקרים בהם נעדיף להשוות 2 טריאנגולציות של 2 קבוצות שונות (אך קשורות) של נקודות X ו-Y כשלכל אחת מהן יש n נקודות. למשל, יצירת אנימציה תלת-ממדית של דמות ע"י צילום תנועות של שחקן שעליו יש עשרות סמנים משתקפים (מרקרים מחזירי אור). המחשב מסתכל על תנועת כל הסמנים ונעזר בתנועותיהם כדי להנפיש את הדמות. במקרה הזה, X ו-Y מייצגים 2 תצלומים של הסמנים בזמנים שונים והטריאנגולציות מהוות אינטרפולציה עבור נקודות הביניים.

  36. הגדרה: יהיו X,Y שני אוספי נקודות במישור, בעלי n נקודות כל אחד, ותהיינה טריאנגולציות שלהם. נאמר כי ו- טריאנגולציות תואמות אם קיימת פונקציה חח"ע ועל בין נקודות של X ו-Y כך ש-ABC הוא משולש של אם"ם הוא משולש של . דוגמא:

  37. ניזכר במשפט מהרצאה קודמת: מספר המשולשים של כל טריאנגולציה עם n נקודות, כש-h מהם בקמור הוא . לכן תנאי הכרחי לטריאנגולציות תואמות הוא שהקמור של שני אוספי הנקודות יכיל אותו מס' של נקודות. אך האם זהו תנאי מספיק? זוהי בעיה פתוחה שנפתרה אך ורק עבור אוספי נקודות שבהם יש לכל היותר 3 נקודות פנימיות.

  38. מציאת טריאנגולציות תואמות כרוכה במציאת פונקציה חח"ע ועל בין הנקודות תוך כדי מציאת טריאנגולציה באופן סימולטני. כשלא ניתן לעשות את האחד לפני האחר. Alan Saalfeld הראה ב-1987 שאם נקבע קודם את הפונקציה הנ"ל, אזי לא תמיד קיימות טריאנגולציות תואמות.

  39. תרגיל: בהינתן שני מצולעים עם n קודקודים, האם תמיד אפשר לבצע טריאנגולציה מתואמת של שני המצולעים? תשובה: לא. דוגמא:

  40. בעיית מציאת טריאנגולציות תואמות יכולה להיות קלה יותר אם נרשה להוסיף נקודות נוספות לאוסף הנקודות. נקודות אלה נקראות נקודות Steiner על שם Jacob Steiner – מתמטיקאי שוויצרי שחי במאה ה-19. שיטה אחת במציאת טריאנגולציות תואמות היא להוסיף נקודות Steiner מחוץ לקמור של אוסף הנקודות המקורי. נקרא לנקודות כאלה נקודות Steiner חיצוניות.

  41. משפט: לכל שני אוספי נקודות S ו-T, בעלי nנקודות כל אחד, ניתן למצוא טריאנגולציות תואמות ע"י הוספת 2 נקודות Steiner חיצוניות ל-S ול-T. הוכחה: נסדר כל אוסף נקודות בסדר עולה של ערכי y ובמקרה שיש נקודות בעלי אותה קואורדינטת y, נסדר אותן בסדר יורד של ערכי x. נקבל: כאשר, אם אזי או וגם . ובאותו אופן - כאשר אם אזי או וגם . הערה: אם נניח שאין 2 נקודות עם אותה קואורדינטת y, אזי ניתן להסתפק במיון של ערכי y.

  42. הוכחה - המשך: כעת, נוסיף 2 נקודות Steiner חיצוניות: שתהיה קצת מתחת ל- ובמרחק מספיק גדול משמאל ל- S, כך שהצלעות (בין 2 נקודות עוקבות) והצלעות (בין ונקודות של S) לא יחצו אחת את השנייה. ובאופן דומה - - שתהיה מעט מעל ובמרחק מספיק גדול מימין ל- S. באותו אופן, נצרף את הנקודות ו- ל- T.

  43. הוכחה - המשך: נשים לב, שהנקודות ו- קיימות (ומאותה סיבה גם ו- ), מכיוון שהצבתן במרחק רב משאר הנקודות יוצרת צלעות כמעט אופקיות (ואז זה בעצם כמו להעביר קווים מקבילים לציר ה-X).

  44. הוכחה - המשך: כעת, יהיו ו- . לפי הבנייה, הצלעות ו- (המחברים בין נק' Steiner לכל נקודה באוסף המקורי), יחד עם הצלעות יוצרים טריאנגולציה של . בנייה דומה יוצרת טריאנגולציה של . הפונקציה מראה ששתי הטריאנגולציות תואמות.

  45. משפט זה הראה את היתרון שבהוספת נקודות Steiner חיצוניות. אך נקודות אלה יכולות להיות רחוקות מאוד, מה שיכול ליצור בעיה. פתרון טוב יותר יכול להיות כאשר מוסיפים נקודות Steiner לַפְִנים של הקמור. אך בעיה זו הרבה יותר מסובכת והתוצאות הכי טובות עד כה היו בהוספת n-h-3 נקודות Steiner פנימיות.

  46. פסאודו-טריאנגולציות הגדרה: פסאודו-משולש זהו מצולע עם בדיוק 3 קודקודים קמורים. במקום 3 צדדים ישרים המחברים בין שלושת הקודקודים, לפסאודו-משולשים יש שרשראות (אולי ריקות) של קודקודים קעורים שמחברות בין 3 קודקודים קמורים. בפרט, כל משולש הוא פסאודו-משולש.

  47. תרגיל: הראה שלכל מצולע חייבים להיות לפחות 3 קודקודים קמורים. פתרון - אינטואיטיבי: אפשר להגיד שמספר הקודקודים הקמורים של מצולע הוא כמספר הקודקודים שנמצאים בקמור של המצולע. לכן, מכיוון שהקמור המינימלי של מצולע הוא משולש, אזי לכל מצולע יש לפחות 3 קודקודים קמורים.

  48. תרגיל: הראה שהקמור של כל פסאודו-משולש הוא משולש. פתרון: לפי האינטואיציה מקודם – שמס' הקודקודים הקמורים של מצולע הוא כמס' הקודקודים שנמצאים בקמור של המצולע. ומכיוון שלפסאודו-משולש יש בדיוק 3 קודקודים קמורים, אזי לקמור שלו יש 3 קודקודים, כלומר – הקמור שלו מהווה משולש. בפועל – נחבר בין שלושת הקודקודים הקמורים של הפסאודו-משולש ובכך ניצור משולש.

  49. הגדרה: נאמר שקודקוד הוא משונן אם אחת מזוויות שהוא מגדיר גדולה מ-. נאמר שפסאודו-טריאנגולציה היא משוננת אם כל הקודקודים שלה משוננים.

  50. נזכר במשפט האומר שבהינתן אוסף עם h נקודות בקמור ו-k בפנים, אזי בכל טריאנגולציה יש בדיוק 2k+h-2 משולשים. נשים לב, שמשפט זה לא תקף במקרה של פסאודו-טריאנגולציה. משפט: לפסאודו-טריאנגולציה של אוסף נקודות Sעם p קודקודים משוננים ו-q לא משוננים, יש p+2q-2 פסאודו-משולשים ו- 2p+3q-3 צלעות.

More Related