4. Optimizacija

1. 4. Optimizacija 4.1 Operacijska istraživanja 4.2 Metode linearnog i nelinearnog programiranja 4.3 Donošenje odluke formalne Radni dio/sustav- ispunjava postavljene zahtjeve. Optimalni dio/sustav- postavljene zahtjeve ispunjava na najbolji mogući način.

2. 4.1 Operacijska istraživanja 4.1.1 Funkcija cilja i ograničenja 4.1.2 Maksimumi i minimumi funkcija 4.1.3 Linearno i nelinearno programiranje

3. ”Operacijska istraživanja”(Operational Research)– Istraživački odjel Ministarstva zrakoplovstva Velike Britanije tijekom Drugog svjetskog rata razvija metode optimizacije vojnih operacija (raspored radara, osiguranje konvoja, miniranje podmornica, bombardiranje). • Koraci: • uočiti mogućnost optimalizacije – osobito važno • postaviti odgovarajući matematički/statistički model • prikupiti potrebne podatke • riješiti odabranom najpogodnijom metodom operacijskih istraživanja Metode operacijskih istraživanja – formalizirani (dogovorom utvrđeni) postupci nalaženja optimalnih rješenja problema složenih sustava/procesa.

4. 4.1.1 Funkcija cilja i ograničenja Funkcija cilja:. Ograničenja:

5. 4.1.2 Maksimumi i minimumi funkcija ekstremna vrijednost maksimum – točka 2 minimum – točka 1 Primjer 4.1 Odrediti visinu (h) prolaza kroz rešetkasti nosač s kojima se dobiva maksimalna površina presjeka prolaza. Model: Rješenje: h = 0,3 m

6. 4.1.3 Linearno i nelinearno programiranje Linearno programiranje (LP) Funkcije cilja i ograničenja se mogu opisati linearnim kombinacijama varijabli. Resursi I(izvor) se raspodjeljuju na recipijente R(prijemnik) dok se ne dobije optimalno rješenje, maksimalni ili minimalni učinak. xj – j-ta količina izvora I (Ij) koja se dodjeljuje recipijentu Rj (R) cj – učinak dodjele j-te količine izvora recipijentu Funkcija cilja s n varijabli xj Funkcije ograničenja s m jednadžbi

7. 4.1.3 Linearno i nelinearno programiranje - 2 Primjer 4.2 Dva proizvoda (A i B) proizvode se uz korištenje tri različita stroja (1, 2 i 3). Proizvod A se obrađuje prvo na stroju 1, a potom obrada dovršava na stroju 3, dok se proizvod B obrađuje prvo na stroju 2, a potom obrada dovršava na stroju 3. Za obradu jednog proizvoda A potrebno je 1 h rada stroja 1 i 3 h rada stroja 3, dok je za obradu jednog proizvoda B potrebno 2 h rada stroja 2 i 2 h rada stroja 3. Dnevni raspoloživi kapacitet strojeva je: 4 h – stroj 1, 12 h – stroj 2 i 18 h – stroj 3. Dobiti su: 3 000 kn po proizvodu A i 5 000 kn po proizvodu B. Optimalizirati dnevni plan proizvodnje. Rješenje:xA = 2 kom/dan, xB = 6 kom/dan F = 36 000 kn/dan

8. 4.1.3 Linearno i nelinearno programiranje - 3 proizvodi A i B, tri različita stroja 1, 2 i 3 proizvod A: 1 h na stroju 1 i 3 h na stroju 3 proizvod B: 2 h na stroju 2 i 2 h na stroju 3 dnevni kapaciteti: 4 h – stroj 1, 12 h – stroj 2 i 18 h – stroj 3 dobiti: 3 000 kn– proizvod A i 5 000 kn – proizvod B. Novčana jedinica: 1 000 kn Funkcija cilja: Funkcije ograničenja: Rješenje: xA = 2 kom/dan, xB = 6 kom/danF = 36 000 kn/dan

9. 4.1.3 Linearno i nelinearno programiranje - 4 Lagrangeovi množitelji Funkcije cilja i ograničenja se mogu opisati matematičkim funkcijama varijabli. Funkcija cilja(matematički opis postavljenog cilja) – odrediti vrijednosti n varijabli xj (j = 1, 2, .., n) tako da se dobije optimalno rješenje: Funkcije ograničenja – izbor je ograničen s m funkcija varijabli gj (j = 1, 2, .., m): Optimum – skup vrijednosti xi koje ispunjavaju uvjet: Jedno ograničenje:

10. 4.1.3 Linearno i nelinearno programiranje - 5 Primjer 6.1 Sa 100 m cijevi, uz minimalne troškove, izraditi i ugraditi toplinski izmjenjivač cijevi/oplata, promjera D i dužine L. Troškovi ugradnje su u NJ: 900 za cijevi, 1100◦D2,5◦L za oplatu i 320◦D◦L za smještajni prostor. U 1 m2 poprečnog presjeka može izmjenjivača biti smješteno 200 cijevi.

11. 4.1.3 Linearno i nelinearno programiranje - 6 (a) Infinitezimalni račun – ekstremi funkcije:  D = 0,6969 = 0,7 m L = 1,2992 = 1,3 m T = 1777.5 NJ

12. 4.1.3 Linearno i nelinearno programiranje - 2 (b) Lagrangeovi množitelji: - vektorski gradijenti: - skalarne komponente: i1 i2  = 8,78 D = 0,6969 = 0,7 m L = 1,2992 = 1,3 m T = 1777.5 NJ

13. 4.2 Metode programiranja 4.2.1 Linearno programiranje 4.2.2 Nelinearno programiranje 4.2.3 Mrežno programiranje 4.2.4 Repovi čekanja

14. 4.2.1 Linearno programiranje Primjer: U maloj termoelektrani, uz korištenje turbine i generatora proizvodi se električna struja. Turbina se napaja s 3,2 kg/s pregrijane vodene pare, a moguće je prodavati: • struju, po cijeni od 0,03 € po kilovat-satu, • niskotlačnu paru za centralno grijanje x1, po cijeni 1,10 € po toni pare, te • visokotlačnu tehnološku paru x2, po cijeni 1,65 € po toni pare. Potrošači su zainteresirani za struju u neograničenim količinama i za ograničene količine pare: 4x1 + 3x2 ≤ 9,6 kg/s Snaga generatora (u kW) ovisi o protocima pare kroz sekcije turbine (u kg/s): PI = 48mIPIII = 56mIIPIII = 80mIII Kako bi se spriječilo pregrijavanje niskotlačnog dijela turbine, kroz sekciju III mora uvijek protjecati bar 0,6 kg/s pare. Zbog sprječavanja prekomjernog neravnomjernog opterećenja vratila turbine, za x1 = 0 kg/s dozvoljeno je x2 ≤ 1,8 kg/s, a pri povećanju oduzimanja pare x1 za svaki kg/s smanjuje se oduzimanje pare x2 za 0,25 kg/s. Rješenje:x1 = 1,29 kg/s visokotlačne pare x2 = 1,48 kg/s niskotlačne pare F = 22,37 €/h

15. 4.2.1 Linearno programiranje - 1

16. 4.3 Donošenje odluke 4.3.1 Odluka 4.3.2 Vjerojatnost 4.3.2 Heurističko odlučivanje 4.3.3 Teorija igara

17. 4.3.1 Odluka Priprema inženjerskog pothvata neizbježno uključuje donošenje niza različitih odluka (izbor materijala, dimenzioniranje proizvoda, izbor postupka obrade, kupnja vozilo), uz rizik pojave manje ili više nepovoljnih posljedica (korozija materijala, lom proizvoda uslijed lokalnog preopterećenja, blokiranje sklopa uslijed premalih zazora, česti kvarovi jeftinog vozila). Donošenje odluke odluka  izabrana akcija ai • izbor akcije aiA(iz skupine mogućih akcija A) • slijede: • posljedice pj P(iz skupine mogućih posljedica P) • nagradenij N(iz skupine mogućih nagrada N)

18. 4.3.1 Odluka - 2 U pravilu su odluke koje donose inženjeri složene (primjer: došlo je do pada prodaje proizvoda tvrtke – treba li inženjer poduzetnik odustati od stare i uvesti novu tehnologiju): • imaju više ciljeva (nova tehnologija osigurava: veću kvalitetu proizvoda, smanjenje troškova proizvodnje, veću dobit tvrtke, veće plaće zaposlenika, bolje uvjete rada, manje rada zaposlenika) • uključuju nesigurnosti i rizike (je li pad prodaje privremen, može li se stara tehnologija unaprijediti, za koju novu tehnologiju/opremu se odlučiti, mogu li zaposlenici savladati novine, koliko je vremena potrebno za uhodavanje nove tehnologije, kako osigurati potrebna financijska sredstva) • kompleksne su i sekvencijalne prirode (ako se odluči na tehnologiju TA treba nabaviti opremu OA , dograditi halu i ispuniti uvjete UA , ako se odluči na tehnologiju TB treba nabaviti opremu OB , ispuniti uvjete UB i zaposliti još radnika) • uključuje više osoba (hoće li biti ispunjena osobna očekivanja te očekivanja radnika/obitelji) vjerojatnost Donošenje odluke o rješavanju problema značajno će ubrzati odgovori na pitanja: kratko, jasno, jednoznačno • što je problem • što je izazvalo problem • koja su moguća rješenja problema • koje se rješenje preporučuje

19. 4.3.2 Odluka - 3 Menadžer donosilac odluke – mora biti sposoban za komunikaciju po svim relevantnim problemima i preuzima punu odgovornost za posljedice. Funkcije menadžera

20. 4.3.2 Odluka - 4 Greške u donošenju odluke: • brzanje –prikupljaju se informacije i izvlače zaključci bez udubljivanja o bit problema i bez sistemskog postupka donošenja odluke(rutina) • sljepilo rutina –rutinski se rješava pogrešno postavljen problem previđajući razne mogućnosti i važne pod ciljeve te osobito pogodne varijante • bez vlastite rutine – analizira se samo jedna varijanta ili se nalazi pod prekomjernim utjecajem rutina koje koriste drugi • prekomjerna samouvjerenost – ne prikupljaju se značajne informacije i oslanja se na vlastite prosudbe • kratkovidna prečica – oslanjanja se na najlakše dostupne informacije i uhodanu praksu • pucanj s kuka – brzasukcesivna analizasvih bitnih informacijama bez provedbe sistematskog postupka odlučivanja • zavaravanje – zanemarivanje iskustava zbog zaštite ega ili pogrešnih predviđanja • nepažnja – pretpostavka da iskustvom stječu lako primjenljive pouke • manjkav postupak odlučivanja – odsustvo razumijevanja i temeljite provjere postupka odlučivanja • greška grupe – pretpostavka da grupa pametnih ljudi donosi optimalnu odluku i bez dobro vođenog postupka odlučivanja

21. 4.3.2 Vjerojatnost

22. 4.2.1 Linearno programiranje - 1

23. 4.3.3 Heurističko odlučivanje (gr. ευρετικός – vještina nalaženja istine) Metode (nabava spremnika za otpadna maziva ulja) • minimalna strategija– nasumce se bira jedan od ciljeva (volumen spremnika), a ako se ne uspije donijeti odluka bira se nasumce drugi cilj (cijena)  • strategija zadnjeg izbora– bira se cilj koji je riješio zadnji sličan problem (cijena), ako se ne uspije donijeti odluka bira se cilj iz riješenog sličnog problema koji je prethodio zadnjem (kvaliteta) … • leksikografska strategija– formira se niz ciljeva po značaju (cijena, kvaliteta ) i odabire najznačajniji (cijena), a ako se ne uspije donijeti odluka bira se sljedeći cilj po značaju (kvliteta) … • semi-leksikografska strategija– kao i prethodna, s tim što se postavljaju granice prihvatljivog odstupanja u postizanja cilja (cijena: ± 10 %, kvaliteta: ± 20 %, ) • strategija eliminacije– bira se najznačajniji cilj s definiranim granicama (cijena 700 800kn), a ako se ne uspije donijeti odluku bira se sljedeći cilj po značaju (visoka kvaliteta)  • strategija zadovoljstva – bira se skup ciljeva koji se moraju ispuniti s definiranim granicama (volumen 56 m3 , cijena visoka kvaliteta i cijena do 20.000 €) Izbor metode ovisi o: • raspoloživom vremenu za donošenje odluke (rokovi) • potrebnom radu koji je potrebno uložiti u donošenje odluke • raspoloživim znanjima i informacijama o relevantnom problemu • značaju donošenja ispravne odluke (posljedice) • koga sve treba zadovoljiti odluka (izbjegavanje konflikta)

24. 4.3.4 Teorija igara