I introdu o
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I- INTRODUÇÃO. I- INTRODUÇÃO.

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I- INTRODUÇÃO

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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


I introdu o

I- INTRODUÇÃO


I introdu o1

I- INTRODUÇÃO

Há quem defenda que a teoria das probabilidades, ligada ao jogo, é anterior a Cristo. Gregos e Romanos, que sendo viciados dos dados, preocupavam-se com a "forma" de ganhar. O imperador Claudius (sec I) escreveu um livro : "Como ganhar nos dados". Mas o conceito matemático é mais recente e nasce com a correspondência trocada entre Blaise Pascal e Fermat acerca da possibilidade do ganho nos jogos. Borel  (1871-1956) e Henri Lebesgue(1875-1941) foram responsáveis pelo seu arranque sistemático.


I introdu o

  • Inicialmente o conceito de probabilidade era de caráter frequentista, isto é, associando a probabilidade de um acontecimento à frequência com ele se repetia, quando observadas um grande número de experiências.

  • Não é difícil dar conta que tal conceito pecava for falta de rigor. Basta pensar no quão relativo é dizer-se :"um grande número de experiências".

  • Em 1933 o russo Kolmogorovconstruiu uma axiomática para o cálculo de probabilidades convertendo-a numa teoria matemática e transformando-a na ciência que hoje é.


I introdu o

  • Os objetivos deste curso são:

    1 - Apresentar uma introdução geral à probabilidade e estatística usando os conhecimentos prévios de cálculo e análise de sinais procurando relacionar as definições e conclusões dos experimentos científicos e de engenharia com situações reais, estimulando o uso da intuição, da observação e da dedução para extrair conclusões válidas e tomar decisões razoáveis com base na análise de dados.

    2 - Introduzir o conceito de processos estocásticos para modelar fenômenos em função do tempo, apresentando diversas aplicações.


I introdu o

N CIRCUITOS

CENTRAL

A

CENTRAL

B

  • MODELOS DETERMINÍSTICOS

  • MODELOS PROBABILÍSTICOS

  • EXEMPLOS DE APLICAÇÕES DE PROCESSOS ESTOCÁTICOS

  • 1. TRÁFEGO TELEFÔNICO

  • QUAL DEVE SER O VALOR DE N PARA QUE, EM MÉDIA, 99,9% DAS

  • CHAMADAS DE A PARA B NÃO DEIXEM DE SER ATENDIDAS ?

M TERMINAIS


I introdu o

SITUAÇÃO:

Uma população de usuários solicita

em diferentes instantes de tempo

um determinado serviço.

MODELO: tráfego de entrada, fila

posto de serviço, etc.

Teoria de filas

3- SÉRIE TEMPORAIS

Previsão de valores futuros base-

ados no valor presente e passados

de um conjunto de variáveis.

Onde se aplica:

Vazão de um rio, demanda de

energia elétrica, inflação, etc

2- RUÍDO TÉRMICO


I introdu o

4- DESVANECIMENTO DE SINAIS

RÁDIOELÉTRICOS

DESVANECIMENTO DOS SINAIS

RADIOELÉTRICOS

ENLACE RADIOELÉTRICO

  • 6- OUTRAS APLICAÇÕES

  • Modelamento de canais de

  • propagação para comunicação

  • móveis e fixas.

  • Qualidade de serviço em redes

  • de telecomunicações.

  • Confiabilidade de sistemas

  • Identificação, estimação

  • etc

5- SISTEMA DE COMUNICAÇÃO

DIGITAL


I introdu o

TEORIA DAS PROBABILIDADES

1. ESPAÇO DE AMOSTRAS

É O CONJUNTO FORMADO POR

TODOS OS RESULTADOS POSSÍVEIS

DE UM EXPERIMENTO ALEATÓRIO.

RELAÇÃO ENTRE O FENÔMENO

FÍSICO E O MODELO MATEMÁTICO

MODELO PROBABILÍSTICO

1. ESPAÇO DE AMOSTRAS

2. ÁLGEBRA DE EVENTOS

3. MEDIDA DE PROBABILIDADE

1. ESPAÇO DE AMOSTRAS

EXPERIÊNCIA:

ABRIR UM LIVRO E OBSERVAR A

PRIMEIRA LETRA IMPRESSA.

S = { a, b, c, . . . , z }

observar se é vogal ou consoante

S = { vogal, consoante }

CONTAR O NÚMERO DE CHAMADAS QUE

CHEGAM A UMA CENTRAL TELEÔNICA

POR MINUTO NO HORÁRIODE DE

10:00 AS 12:00 H.

S = { 100, 97, 94, ... }


I introdu o

2. ÁLGEBRA DE EVENTOS

EVENTO: SUBCONJUNTO DO ESPAÇO DE AMOSTRAS QUE SATISFAZ UMA DADA

CONDIÇÃO

A = { s : uma dada condição c é satisfeita } S = { s1 , s2 , s3 . . . , sK }

AS OPERAÇÕES COM EVENTOS OBEDECEM AS MESMAS REGRAS DAS

OPERAÇÕES COM CONJUNTOS.

1. IGUALDADE A = B

2. INCLUSÃO A  B, B  A

3. UNIÃO A  B

4.INTERSEÇÃO A  B

5. COMPLEMENTO Ā

6. DIFERENÇA A - B

7. EVENTO NULO 

8. EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS

OU DISJUNTOS


I introdu o

PROPRIEDADES

1. COMUTATIVA: A  B = B  A e A  B = B  A

2. ASSOCIATIVA : A  ( B  C) = (A  B)  C e (A  B)  C = A  (B  C)

3.DISTRIBUTIVA: A  (B  C) = (A  B)  (A  C) e A  (B  C) = (A  B)  (A  C)

4. REGRA DE DEMORGAN : (A  B)C = AC  BC e (A  B) C = AC  BC

CLASSE DE EVENTOS

A CLASSE OU COLEÇÃO  DE EVENTOS É UMA CLASSE QUANDO SATIZFAZ:

SE A e B SÃO EVENTOS, ENTÃO

1. SE A   Ā  2.

PORTANTO  É FECHADA RELATIVAMENTE ÀS OPERAÇÕES DE COMPLEMENTAÇÃO E UNIÃO.

PROPRIEDADES:

SE    S  


I introdu o

-ALGEBRA DE EVENTOS

UMA ÁLGEBRA DE EVENTOS  É UMA -ÁLGEBRA QUANDO SATISFAZ A

SEGUINTE CONDIÇÃO:

DADA UMA CLASSE QUALQUER DE EVENTOS C, HÁ PELO MENOS UMA -ÁLGEBRA

CONTENDO C, QUE É CONSTITUÍDA POR TODOS OS POSSÍVEIS SUBCONJUNTOS DE S.

É POSSÍVEL MOSTRAR QUE TODAS AS -ÁLGEBRAS CONTENDO C É TAMBÉM UMA

-ÁLGEBRA.

DEFINIÇÃO

A MENOR -ÁLGEBRA QUE CONTÉM TODOS OS EVENTOS DE UMA DADA CLASSE C

É REPRESENTADA POR A(C), QUE É UMA -ÁLGEBRA GERADA POR C.

EXEMPLO: LANÇAMENTO DE UM DADO.

S = { f1 , f2 , f 3 , f4 , f5 , f 6 }ESPAÇO DE AMOSTRAS

SEJA C A COLEÇÃO DE EVENTOS

C = [ { f1 } , { f2 , f 4 , f6 } , { f1 , f 3 , f 5 } , S ,  ]


I introdu o

ESTA COLEÇÃO NÃO CONSTITUI UMA ALGEBRA, POIS VIOLA A DEFINIÇÃO

{ f1 }  { f2 , f4 , f6 } = { f1 , f2 , f4 , f6 }  C

{ f1 }c = { f2 , f3 , f4 , f5 , f6 }  C

ENTÃO:

[ , S , { f1 , f3 , f5 }, { f2 , f4 , f6 } , { f1 } , { f1 , f2 , f4 , f6 } , { f2 , f3 , f4 , f5 , f6 } ,

{ f3 , f5 } ]É FECHADA EM RELAÇÃO À COMPLEMENTAÇÃO E À UNIÃO.

PORTANTO É UMA ÁLGEBRA. NA REALIDADE, ESTA COLEÇÃO É A MENOR -ÁLGEBRA A(C) DEFINIDA POR C POIS NENHUM DOS TRÊS ELEMENTOS ACRESCENTADOS PODERIA SER RETIRADO SEM VIOLAR A DEFINIÇÃO DE ÁLGEBRA. OBSERVA-SE QUE SE A COLEÇÃO CONTÉM UM NÚMERO FINITO DE ELEMENTOS E É UMA ÁLGEBRA ENTÃO SERÁ TRIVIALMENTE UMA -ÁLGEBRA


I introdu o

b

4

c

5

d

1

2

3

I

II

III

a

EXEMPLO: REDE DE COMUNICAÇÃO COM 4 TERMINAIS ( a, b, c, d ) E

5 TRONCOS (1, 2, 3, 4, 5 ) E UMA CHAVE QUE ASSUME 3 POSIÇÕES ( I, II, III)

A EXPERIÊNCIA CONSISTE EM OBSERVAR A SITUAÇÃO DA REDE EM

UM DADO INSTANTE, VERIFICANDO A POSIÇÃO DA CHAVE E OS ESTADOS

DOS TRONCOS.

1. REPRESENTAÇÃO DO ESPAÇO DE AMOSTRAS

CADA TRONCO PODE ESTAR EM: “OPERAÇÃO” OU “NÃO OPERAÇÃO”

SEJA iUM PONTOGENÉRICO DE S , ENTÃO:

i = { C, T1 , T2 , T3, , T4 ,T5 } ; C  { I , II , III }; Ti ={ 0 , 1 } , i = 1, 2, 3, 4, 5.

NÚMERO TOTAL DE PONTOS EM S : N = 3 x = 96


I introdu o

b

4

c

5

d

1

2

3

I

II

III

a

2. DETERMINAR O NÚMERO DE PONTOS AMOSTRAS PARA OS EVENTOS

2.1. A = {  : a e c podem comunicar-se }

A1 = { I , 1 , x , x , 1 , x }; A2 = { II , x , 1 , x , x , x }; A3 = { III , x , x , 1 , x , 1 };

A = A1 A2 A3 N = 8 + 16 + 8 = 32 ( EVENTOS DISJUNTOS )

2.2. B = {  : b e c podem comunicar-se }

B = { x , x , x , x , 1 , x }; N = 3 x = 48

2.3. C = {  : a chave está na posição I }

C = { I , x , x , x , x , x }; N = = 32


I introdu o

3. MEDIDA DE PROBABILIDADE

A CADA EVENTO A ASSOCIA-SE UM NÚNERO P(A) CHAMADO DE PROBABILI-

DADE DO EVENTO A. ESTE NÚMERO É ESCOLHIDO TAL QUE AS SEGUINTES

CONDIÇÕES SÃO SATISFEITAS :

AXIOMAS DA TEORIA DA PROBABILIDADE

1. P(A) > 0 ; 2. P( S ) = 1 ; 3. SE A  B =  , ENTÃO P(A+B ) = P(A) + P(B)

PROPRIEDADES

1. SE Ai  Bj=  ; i, j = 1, 2, 3, . . . , n , i  j ,

2. P( Ā ) = 1 - P( A )

3. P(  ) = 0 , ENTÃO P( S ) = 1

4. P( A ) < 1

5. P( A  B) = P( A ) + P( B ) - P( AB )


Probabilidades de eventos

1) Evento complementar:

P

(

A

)

1

P

(

A

)

2) Propriedade da soma:

P

(

A

B

)

P

(

A

)

P

(

B

)

P

(

A

B

)

3) Propriedade da soma para eventos mutuamente exclusivos:

P

(

A

B

)

P

(

A

)

P

(

B

)

4) Propriedade do produto:

P

(

A

B

)

P

(

A

)

P

(

B

/

A

)

5) Propriedade do produto para eventos independentes

P

(

A

B

)

P

(

A

)

P

(

B

)

Probabilidades de eventos


Exemplo

Exemplo

  • Lançar um dado e observar a face voltada para cima. Suponha que o dado seja perfeitamente equilibrado e o lançamento imparcial.

  • Espaço amostral = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

  • Probabilidades: P(1) = P(2) = ... = P(6) = 1/6


Exemplo1

C2

C1

A

B

C3

Exemplo

  • Seja um sistema formado por 3 componentes, ligados conforme o esquema abaixo. Considerando que a probabilidade de cada componente funcionar é de 0,9, qual a probabilidade do sistema funcionar? (O sistema funciona se houver uma ligação entre A e B. Admita independência entre os componentes)


Exemplo2

C2

C1

A

B

C3

Exemplo

  • P(sistema funcionar) = P{(C1 C2)  (C1 C3)}=

    = P(C1 C2) + P(C1 C3)  P(C1 C2  C3) =

    = (0,9)(0,9) + (0,9)(0,9)  (0,9)(0,9) (0,9) =

    = 0,891

P(Ci) = 0,9, i = 1, 2, 3


I introdu o

Espaço amostral é o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento.O espaço amostral é denotado por S.

Elementos ou pontos no espaço amostral são os resultados individuais de um experimento. O conjunto de elementos do espaço amostral é denotado por

Elementos são mutuamente exclusivos ou disjuntos. O número de pontos no espaço amostral pode ser:

finito quando o espaço amostral é discreto e finito

infinito contável quando o espaço amostral é discreto e infinito

infinito incontável quando o espaço amostral é contínuo

evento é um subconjunto de S. Será denotado por letras maiúsculas. Eventualmente serão consideradas operações de união, intersecção e complemento de eventos. ocorrência do evento A se dá quando ocorre algum ponto em A.


I introdu o

Probabilidade

  • Mensuração da chance de ocorrência de fenômenos aleatórios, mostrando como poderão ocorrer os fatos.

  • Base teórica para a análise inferencial.


I introdu o

ProbabilidadeIntuitiva

Este resultado pode ser estendido para uma interpretação estatística de probabilidade como sendo a frequência relativa de ocorrência do evento.


I introdu o

ProbabilidadeAxiomática

As noçõesintuitivas de probabilidadepermitemtratarproblemasrelativamente simples, em especial quando tem-se igualdade de condiçõesparatodososeventos.

No entanto, freqüentementedeseja-se tratarsituaçõesondealgunseventosnãosão "honestos". Adicionalmente, emalgunscasosnão se podeenumerartodosospossíveisresultados de um experimento. A formulaçãoaxiomáticadateoriadaprobabilidadesimplifica o tratamentonestescasos.


I introdu o

Axiomas da Probabilidade

Para qualquereventoA, associa-se um número P(A), chamado de probabilidade do evento A. Este númerosatisfaz as seguintestrêscondiçõesdenominadas de axiomasdaprobabilidade.

Note que (iii) estabeleceque se A e Bsãoeventos

mutuamenteexclusivos, a probabilidadedauniãoé igual

a soma de suasprobabilidades)


I introdu o

Resultados ou

dados observados

Probabilidade

universo do estudo (população)

Hipóteses, conjeturas, ...

O raciocínio dedutivo da probabilidade


Exemplo de um experimento aleat rio

Exemplo de um experimento aleatório

  • Selecionar uma pessoa ao acaso e observar se

    é homem ou mulher.

  • Resultados possíveis:

    homem, mulher

  • Espaço amostral = {homem, mulher}


Probabilidade de um resultado

Probabilidade de um resultado

  • Qual a probabilidade de homem e de mulher?

  • P(homem) = 0,5

  • P(mulher) = 0,5

  • A probabilidade é um número entre 0 e 1, sendo que a soma das probabilidades de todos os resultados possíveis deve ser 1.

50% homens

50% mulheres


Modelo de probabilidades

Modelo probabilístico

ResultadoProbab.

bom/ótimo 0,20

regular 0,30

ruim/péssimo 0,50

Modelo de probabilidades

POPULAÇÃO

Opinião a respeito

do governo

AMOSTRA:

1 pessoaobservada

aoacaso


Evento

Evento

  • Evento = conjunto de resultados possíveis

  • Espaço amostral = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

  • Probabilidades: P(1) = P(2) = ... = P(6) = 1/6

  • Eventos:A = número par,

    B = número menor que 3

    A = {2, 4, 6}B = {1, 2}

    P(A) = 1/2 P(B) = 2/6 = 1/3


Opera es com eventos

A

Operações com eventos

não A


Opera es com eventos1

A

B

A  B

Operações com eventos


I introdu o

Revisão de AnáliseCombinatóriaA Análisecombinatóriaestudaosdiversosprocedimentosquepossibilitam a construção de gruposdiferentesformadospor um númerofinito de elementos de um conjunto sob certascircunstâncias.

Na maior parte das vezes, tomaremosconjuntos Z com m elementos e osgruposformados com elementos de Z terão p elementos com p< m, isto é, p será a taxa do agrupamento.

No fundo com o usodaAnálisecombinatóriateremosmétodosquepermitemcontar, de forma indireta, oselementosdessesconjuntos. Vamosanalisaralgunsdessesagrupamentos:


I introdu o

Fatorial

Definimos o fatorial de n (indicadopelosímbolo n! ) , comosendon! = n .(n-1) . (n-2) . ... .4.3.2.1para n  2.

E pordefinição :

Para n = 0 , teremos : 0! = 1.

Para n = 1 , teremos : 1! = 1

Exemplos:

7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 2940

 3! = 3.2.1 = 6

Muitasvezesutilizamosuma forma maissintéticaparanosfacilitaroscálculos:

11! =11.10.9.8.7!

 6! = 6.5.4!


Princ pio fundamental da contagem pfc

Princípio fundamental dacontagem - PFC

Sedeterminadoacontecimentoocorreemnetapasdiferentes, e se a primeiraetapapodeocorrer de k1maneirasdiferentes, a segunda de k2maneirasdiferentes, e assimsucessivamente, então o número total T de maneiras de ocorrer o acontecimento é dado por

T = k1. k2 . k3 . ... . kn


Permuta es

Permutações

Permutações de nelementosdistintossãoosagrupamentosformados com todososnelementos e que se distinguemuns dos outrospelaordem de seuselementos.

Exemplo: com oselementos 1,2,C sãopossíveis as seguintes permutações:12C, 1C2, 21C, 2C1, C12 e C21.

O número total de permutações simples de nelementosdistintos é dado por n!, isto é

Pn= n!

no exemplo anterior 3!=3.2.1=6

Numafila de 6 pessoas de quantasformasdiferentes se podemorganizar ?

P6 = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720


Arranjos

Arranjos

Dado um conjunto com nelementos , chama-se arranjo simples de taxak , a todoagrupamento de kelementosdistintosdispostosnumacertaordem. Doisarranjosdiferem entre si, pelaordem de colocação dos elementos. Assim, no conjunto E = {a,b,c}, teremos:

a) arranjos de taxa 2: ab, ac, bc, ba, ca, cb.

b) arranjos de taxa 3: abc, acb, bac, bca, cab, cba.

Representando o número total de arranjos de nelementostomadosk a k (taxa k) porAn,k, teremos a seguintefórmula:


Combina es

Combinações

Denominamoscombinações simples de nelementosdistintostomadosk a k (taxa k) aossubconjuntosformadosporkelementosdistintosescolhidos entre osnelementos dados. Observe queduascombinaçõessãodiferentesquandopossuemelementosdistintos, nãoimportando a ordememqueoselementossãocolocados.

Exemplo:

No conjunto E= {a,b,c,d} podemosconsiderar:

a) combinações de taxa 2: ab, ac, ad, bc, bd, cd.

b) combinações de taxa 3: abc, abd, acd, bcd.

c) combinações de taxa 4: abcd.


I introdu o

Representando o número total de combinações de nelementostomadosk a k (taxa k) porCn,k, teremos a seguintefórmula:

É fácilmostrarque


I introdu o

Exemplo:Umcampeonato de atletismoconsta de 10 provasdiferentescadaequipe tem de concorrer a 7. De quantasformaspodeumaequipeparticipar ?

Solução: 

Observe que a ordem de escolha das provasnãoaltera a forma de concorrer. Portantotrata-se  de um problema de combinação de 10 elementos 7 a 7. 

Aplicandosimplesmente a fórmulachegaremos a: 

C15,10 = 15! / [(15-10)! . 10!] = 15! / (5! . 10!) = 15.14.13.12.11.10! / 5.4.3.2.1.10! = 3003


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