九年级数学 ( 上 ) 第三章 证明 ( 三 )

1. 九年级数学(上)第三章 证明(三) 2.特殊的平行四边形(2)综合复习 阳泉市义井中学 高铁牛

2. 驶向胜利的彼岸 回顾 思考 学好几何标志是会“证明” • 证明命题的一般步骤: • (1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证); • (2)根据题意,画出图形; • (3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”; • (4)分析题意,探索证明思路(由“因”导“果”,执“果”索“因”.); • (5)依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程; • (6)检查表达过程是否正确,完善.

3. A A D D M A D N O B B C C B C Q P 回顾 思考 驶向胜利的彼岸 平行四边形的性质 • 定理:平行四边形的对边相等. ∵四边形ABCD是平行四边形. ∴AB=CD,BC=DA. • 定理:平行四边形的对角相等. ∵四边形ABCD是平行四边形. ∴∠A=∠C, ∠B=∠D. ′ 定理:平行四边形的对角线互相平分. ∵四边形ABCD是平行四边形. ∴CO=AO,BO=DO. 定理:夹在两条平等线间的平等线段相等. ∵MN∥PQ,AB∥CD, ∴AB=CD. • 证明后的结论,以后可以直接运用.

4. A A D D O B B C C 回顾 思考 驶向胜利的彼岸 平行四边形的判定 • 定理:两组对边分别相等的四边形是平行四边形. • ∵AB=CD,AD=BC, • ∴四边形ABCD是平行四边形. • 定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. • ∵AB∥CD,AB=CD, • ∴四边形ABCD是平行四边形. ′ 定理:对角线互相平分的四边形是平行四边形. • ∵AO=CO,BO=DO, • ∴四边形ABCD是平行四边形. 定理:两组对角分别相等的四边形是平行四边形的. • ∵∠A=∠C,∠B=∠D. • ∴四边形ABCD是平行四边形.

5. A A D D B B C C 回顾 思考 等腰梯形的性质 • 定理:等腰梯形同一底上的两个角相等. • 在梯形ABCD中,AD∥BC, • ∵AB=DC, • ∴∠A=∠D, ∠B=∠C. • 定理:等腰梯形的两条对角线相等. • 在梯形ABCD中,AD∥BC, • ∵AB=DC, • ∴AC=DB.. • 证明后的结论,以后可以直接运用.

6. A A D D B B C C 回顾 思考 等腰梯形的判定 定理:同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形. 在梯形ABCD中,AD∥BC, ∵∠A=∠D或∠B=∠C, ∴AB=DC. 定理:两条对角线相等的梯形是等腰梯形. 在梯形ABCD中,AD∥BC, ∵AC=DB. ∴AB=DC. • 证明后的结论,以后可以直接运用.

7. A ∴DE∥BC, A D E E B B H C F 回顾 思考 D C G 驶向胜利的彼岸 三角形中位线的性质 • 定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半. • ∵DE是△ABC的中位, • 这个定理提供了证明线段平行,和线段成倍分关系的根据. 模型:连接任意四边形各边中点所成的四边形是平行四边形. ′ 要重视这个模型的证明过程反映出来的规律:对角线的关系是关键.改变四边形的形状后,对角线具有的关系(对角线相等,对角线垂直,对角线相等且垂直)决定了各中点所成四边形的形状.

8. 有一个角 是直角 有一个角 是直角 矩形 平行四边形 有一组 邻边相等 有一组 邻边相等 两组对边分别平行 菱形 四边形 回顾 思考 等腰梯形 一组对边平行另一组对边不平行 正方形 梯形 驶向胜利的彼岸 直角梯形 两腰相等 腰与底垂直 四边形之间的关系 • 四边形之间有何关系？ • 特殊的平行四边形之间呢？ • 还记得它们与平行四边形的关系吗? • 能用一张图来表示它们之间的关系吗?

9. A A D D B B C C A D 回顾 思考 B C 驶向胜利的彼岸 矩形的性质,推论 • 定理:矩形的四个角都是直角. • ∵四边形ABCD是矩形, ∴∠A=∠B=∠C=∠D=900. • 定理:矩形的两条对角线相等. • ∵AC,BD是矩形ABCD的两条对角线. ∴AC=BD. 推论(直角三角形性质):直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 在△ABC中,∠ACB=900, ∵AD=BD,

10. A A D D B B C C A D 回顾 思考 在△ABC中, ∵AD=BD, B C 驶向胜利的彼岸 矩形的判定,直角三角形的判定 • 定理:有三个角是直角的四边形是矩形. • ∵∠A=∠B=∠C=900, ∴四边形ABCD是矩形. • 定理:对角线相等的平行四边形是矩形. • ∵AC,BD是□ABCD的两条对角线,且AC=DB. ∴四边形ABCD是矩形. • 定理:如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形. ∴ ∠ACB=900.

11. D A C D B O A C B 回顾 思考 驶向胜利的彼岸 菱形的性质 • 定理:菱形的四条边都相等. • ∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=BC=CD=AD. • 定理:菱形的两条对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角. • ∵AC,BD是菱形ABCD的两条对角线. ∴AC⊥BD..

12. D A C D B O A C B 回顾 思考 驶向胜利的彼岸 菱形的判定 • 定理:四条边都相等的四边形是菱形. • 在四边形ABCD中, • ∵AB=BC=CD=AD, ∴四边形ABCD是菱形. • 定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形. • ∵AC,BD是□ABCD的两条对角线,AC⊥BD. ∴四边形ABCD是菱形.

13. A A D D O B B C C 回顾 思考 驶向胜利的彼岸 正方形的性质 • 定理:正方形的四个角都是直角,四条边都相等. • ∵四边形ABCD是正方形, ∴∠A=∠B=∠C=∠D=900,AB=BC=CD=DA. • 定理:正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角. • ∵四边形ABCD是正方形, ∴AC=BD;AC⊥BD;AO=CO,BO=DO;AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC.

14. A A D D O B B C C 回顾 思考 驶向胜利的彼岸 正方形的判定 • 定理:有一个角是直角的菱形是正方形. • ∵四边形ABCD是菱形,∠A=900, ∴四边形ABCD是正方形. • 定理:对角线相等的菱形是正方形. • ∵四边形ABCD是菱形,AC=DB. ∴四边形ABCD是正方形. • 定理:对角线互相垂直的矩形是正方形. • ∵四边形ABCD是矩形,AC⊥BD, ∴四边形ABCD是正方形.

15. 1 我思,我进步 E A B A E B H F H F C D G D C G 驶向胜利的彼岸 图形之间的内在联系 • 你还记得这个图形反映的结论吗？ 模型:依次连接任意四边形各边中点所成的四边形是平行四边形. • 依次连接正方形各边中点所成的四边形是一个怎样的图形呢？先猜一猜,再证明.

16. 2 我思,我进步 D A E B E F H F A C D G D G C B 驶向胜利的彼岸 图形之间的内在联系 • 依次连接菱形各边中点所成的四边形是一个怎样的图形呢？先猜一猜,再证明. • 依次连接矩形各边中点所成的四边形是一个怎样的图形呢？先猜一猜,再证明.

17. 3 我思,我进步 E B A E A B H F H F C D D G G C 驶向胜利的彼岸 图形之间的内在联系 • 依次连接平行四边形各边中点所成的四边形是一个怎样的图形呢？先猜一猜,再证明. • 依次连接梯形各边中点所成的四边形是一个怎样的图形呢？先猜一猜,再证明.

18. 4 我思,我进步 E A B A E H F H B F D G C G D C 驶向胜利的彼岸 图形之间的内在联系 • 依次连接等腰梯形各边中点所成的四边形是一个怎样的图形呢？先猜一猜,再证明. • 依次连接对角线相等的四边形各边中点所成的四边形是一个怎样的图形呢？先猜一猜,再证明.

19. 5 我思,我进步 B A G E E H D B A C F G G F C D 驶向胜利的彼岸 图形之间的内在联系 • 依次连接对角线垂直的四边形各边中点所成的四边形是一个怎样的图形呢？先猜一猜,再证明. • 依次连接对角线相等且垂直的四边形各边中点所成的四边形是一个怎样的图形呢？先猜一猜,再证明.

20. 6 我思,我进步 A B ◎ X ◎ C D 驶向胜利的彼岸 想一想,做一做 • 在右图中,ABCDXA表示一条环行高速公路,X表示一座水库,B,C表示两个大市镇.已知ABCD是一个正方形,XAD表示是一个等边三角形.假如政府要铺设两条输水管XB和XC,从水库向B,C两个市镇供水,那么这条水管的夹角(即∠BXC)是多少度?

21. 6 我思,我进步 驶向胜利的彼岸 行家看门道 • 在《证明(一)》,《证明(二) 》,《证明(三) 》这三章中,我们从若干条公理及有关定义出发,证明了关于平行线,三角形,及四边形等图形的一些命题. • 你能用自己的语言或一幅图表示这一过程吗? • 两千多年前,欧几里得首次用公理化方法整理了几何知识,完成了数学巨著《原本》.从那时候起,人们逐渐认识到这一方法的神奇与美妙,并从中体会到证明的力量.不知你是否注意到,公理化的思想早已渗透到现代社会的许多领域.

22. 7 我思,我进步 C F E A B D 驶向胜利的彼岸 随堂练习 • 已知:D,E,F分别是△ABC中AB,BC,CA的中点,四边形DECF是菱形. • 求证: △ABC是等腰三角形.

23. 8 我思,我进步 C F E G 心动 不如行动 B A D 驶向胜利的彼岸 三角形的重心 • 我们知道,三角形的三条中线交于一点. • 这一点叫做三角形的重心. • 三角形的重心有一个重要的几何性质: • 三角形的重心分每一条中线的比为1∶2(重心到每边的中点距离∶重心到所对角的顶点的距离). • 你能证明这个命题吗? • 与同伴交流你的想法和具体的证明方法.

24. 8 我思,我进步 C F E G M ● ● N B A D 驶向胜利的彼岸 三角形重心的几何性质 • 已知:如图,AE,BF,CD是△ABC的三条中线,且相交于点G. • 求证:GE∶GA=GF∶GB=GD∶GC=1∶2. • 分析:要证明GE∶GA=1∶2,可以考虑折半法(如取GA的中点M,GB的中点N). • 转化为证明AM=MG=GE,BN=NG=GF. • 分别连接FE,EN,NM,MF. • 从而借助于三角形的中位线构造平行四边形来获得证明. • 怎么样,在老师的帮助下,你可以写出证明过程了吗? • 由此你又悟出了些什么?

25. 8 我思,我进步 C ∴FE∥AB, F E G MN∥AB, M ● ● N B A D 驶向胜利的彼岸 三角形重心的几何性质 • 已知:如图,AE,BF,CD是△ABC的三条中线,且相交于点G. • 求证:GE∶GA=GF∶GB=GD∶GC=1∶2. • 证明:取GA的中点M,GB的中点N,分别连接FE,EN,NM,MF. • ∵F,E是AC,BC的中点, • ∴ FE∥MN,FE=MN. • ∴四边形FENM是平行四边形. • ∴MG=GE,NG=GF. • ∴AM=MG=GE,BN=NG=GF. • ∴ GE∶GA=GF∶GB=1∶2. • 同理,GD∶GC=1∶2.. • ∴GE∶GA=GF∶GB=GD∶GC=1∶2.

26. A D θ E 独立 作业 C B P93习题3.6 1题. 1.如图,四边形ABCD是正方形,△ABC是等边三角形. 求:∠θ的度数.

27. B1 A D ◎ C1 ◎ 独立 作业 A1 ◎ B C ◎ D1 P93习题3.6 2题. 2.已知:如图,四个小朋友分别站在正方形ABCD的四条边的点A1,B1,C1,D1处,并且AA1=BB1=CC1=DD1,那么四个小朋友分别所站点为顶点的四边形A1B1C1D1是一个怎样的图形?请证明你的结论.

28. 下课了! 再 见 结束寄语 • 严格性之于数学家,犹如道德之于人. • 条理清晰，因果相应,言必有据.是初学证明者谨记和遵循的原则.