MAT S MATIKA U FINAN $ IJ AMA

1. MATSMATIKAUFINAN$IJAMA Seminar “matematika u svetu oko nas”

2. GLAVNICA, KAMATA, INTERES Uložimo danas 100 evra u banku sa kamatnom stopom 5% (INTERES je 0,05) i iduće godine u ovo vreme ćemo imati naših 100 evra (GLAVNICA) i još 5 evra (KAMATA). 105 = 100 · ( 1 + 0,05 )

3. GLAVNICA, KAMATA, INTERES U opštem slučaju, kada je intres p, a glavnica G, nakon godinu dana ćemo imati G · ( 1 + p )

4. GLAVNICA, KAMATA, INTERES Ako posle godinu dana uzmemo kamatu, a glavnicu ostavimo, zaradili smo p · G. Ako to isto uradimo i sledece godine zaradicemo ukupno 2 · p · G, a nakon n godina ukupno n · p · G

5. PROST KAMATNI RAČUN Prethodni primer ilustruje takozvani PROST KAMATNI RAČUN. U opštem slučaju, uz interes p i glavnicu G, nakon n godina glavnica je i dalje G, a ukupna zarada je n · p · G

6. PROST KAMATNI RAČUN Dakle, nakon n godina imaćete ukupno ( glavnica + kamata ) G · ( 1 + np )

7. Zadatak br. 1 Dobili ste na LOTO-u 700 000 hiljada evra! Nakon početne euforije zapitate se: šta raditi sa tolikim parama? Odlučili ste se za sigurnu varijantu: pare u banku. Našli ste banku u kojoj je kamata 6.5%. Nije loše. Ali tu je i država. Porez na kapitalnu dobit je 20% ! ! !

8. Zadatak br. 1 Pitanje: Kolika je zarada nakon godinu dana? Koliko je to mesečno?

9. SLOŽEN KAMATNI RAČUN Vratimo se na prethodni zadatak. Možda vam ne treba novac od kamate, pa ga ostavite zajedno sa glavnicom u banci. Sada je glavnica veća, pa će i kamata biti veća. Kako to narod kaže, kamata na kamatu.

10. SLOŽEN KAMATNI RAČUN Ako je glavnica G, a interes p, nakon prve godine svota u banci postaje G · ( 1 + p ) To je sada nova glavnica, pa nakon druge godine se svota povećava na G · ( 1 + p ) · ( 1 + p )

11. SLOŽEN KAMATNI RAČUN Posle n godina ležanja u banci svota raste na G · ( 1 + p )n

12. Zadatak br. 2 Šta bi bilo da ste 700 000evra iz prvog zadatka ostavili u banci 10godina bez uzimanja kamate?

13. Zadatak br. 3 Preturajući po tavanu našli ste pradedinu štednu knjižicu iz vremena kada je živeo u Americi. Otvorite je i vidite da je on 1917. godine zaboravio da podigne sa štednje 10$. Banka u kojoj je štedeo daje kamatu 6% godišnje.

14. Zadatak br. 3 Pitanje: Koliko tih 10$ vrede sada? Šta bi se desilo da je, umesto što je tih 10$ stavio u banku, kupio akcije čija vrednost skače mesečno 2%?

15. SLOŽEN KAMATNI RAČUN Dakle, nakon n godina, sa intresom p dobijamo G · ( 1 + p )n Na ovaj način nastaje jedan niz brojeva, gde je svaki sledeći ( 1 + p ) puta veći od prethodnog. Takav niz se zove GEOMETRIJSKI NIZ.

16. 7 – 10 PRAVILO Nakon 10 godina sa kamatnom stopom 7% svota se približno udvostruči. Intresantno je to što se nakon 7 godina sa kamatnom stopom 10% svota takođe približno udvostruči.

17. INVESTICIJE Kako proceniti vrednost neke investicije? Da bismo odgovorili na ovo pitanje moramo se najpre pozabaviti pitanjem: Koliko vredi novac u zavisnosti od vremena kada kada nam je dostupan.

18. SADAŠNJA VREDNOST NOVCA Prijatelj vam daje danas 100 evra, a vi mu vraćate nakon godinu dana tih 100 evra. Da li tih 100 evra koje ste mu vratili vrede isto koliko i 100 evra koje vam je on pozajmio?

19. SADAŠNJA VREDNOST NOVCA Koliko bi trebalo da vratite prijatelju da bi to bilo fer? Odgovor na ovo pitanje zavisi od toga kolika je kamata na ulaganje bez rizika. Ako je ta kamata 5%, onda je fer da vi svom prijatelju vratite 105 evra.

20. SADAŠNJA VREDNOST NOVCA 100 evra danas, dakle, vrede više nego 100 evra za godinu dana. Koliko 100 evra koje nam neko nudi za godinu dana vrede danas? (kamata na sigurno ulaganje je 5%)

21. SADAŠNJA VREDNOST NOVCA Odgovor: 100 1,05 Zašto baš ovoliko?

22. SADAŠNJA VREDNOST NOVCA Taj broj, kada pomnožimo sa 1,05 dobijamo tačno 100 evra, odnosno, kada bi tu svotu uložili uz kamatu od 5%, za godinu dana bismo dobili 100 evra.

23. SADAŠNJA VREDNOST NOVCA Prethodni iznos se zove SADAŠNJA VREDNOST novca i označava se sa PV od engleskih reči PRESENT VALUE.

24. SADAŠNJA VREDNOST NOVCA Razmotrimo sada opštije pitanje: Koliko vredi danas suma koja će za godinu dana vredeti X evra, ako je bezrizična kamatna stopa 100p% (odnosno, interes je p)?

25. SADAŠNJA VREDNOST NOVCA Odgovor: X 1 + p Ovo postaje X kada ga pomnožimo sa ( 1 + p ).

26. SADAŠNJA VREDNOST NOVCA Razmotrimo sada još opštije pitanje: Koliko vredi danas suma koja će za n godina vredeti X evra, ako je bezrizična kamatna stopa 100p% (odnosno, interes je p)?

27. SADAŠNJA VREDNOST NOVCA Odgovor: X ( 1 + p )n Ovo postaje X kada ga pomnožimo sa ( 1 + p )n.

28. TOK GOTOVOG NOVCA Tok gotovog novca prati naša ulaganja i zaradu tokom vremena. Recimo da ivestiramo u novu mašinu 10 000 evra. Za godinu dana na toj mašini zaradimo 3000 evra, naredne godine 3500, zatim 2500 i na kraju je prodamo za 6000 evra.

29. TOK GOTOVOG NOVCA Tok gotovog novca ove investicije bi izgledao ovako CF = ( - 10 000, 3000, 3500, 2500, 6000 ) Skraćenica CF je od engleskih reči CASH FLOW.

30. TOK GOTOVOG NOVCA Kako da proverimo da li je ovo ulaganje isplativo? Ili, ako imamo ponudu za još neko ulaganje, kako da procenimo koje je isplativije?

31. TOK GOTOVOG NOVCA Odgovor na prethodno pitanje nam daje izračunavanje NETO SADAŠNJE VREDNOSTI toka gotovog novca, u oznaci NPV (Net Present Value).

32. TOK GOTOVOG NOVCA Razmotrimo ponovo prethodno ulaganje. Sadašnja vrednost 10 000 evra koje ulažemo danas je, naravno, 10 000 evra. A šta je sa ostalim svotama? Njihova sadašnja vrednost zavisi od kamatne stope.

33. TOK GOTOVOG NOVCA Neka je kamatna stopa 5%. Tada prvih 3000 evra koje ćemo zaraditi od mašine vredi 3000 : 1,05 danas. Sledećih 3500 koje ćemo zaraditi nakon 2 godine vredi 3500 : 1,052danas, i tako dalje.

34. TOK GOTOVOG NOVCA Neto sadašnja vrednost ovog toka gotovog novca je: NPV = - 10 000 + 3000 : 1,05 + 3500 : 1,052 + 2500 : 1,053 + 6000 : 1,054 = 3127,54

35. TOK GOTOVOG NOVCA Dakle, neto sadašnja vrednost ove investicije je pozitivna, što znači da je investicija isplativa. U slučaju da je NPV bila manja od nule, to bi značilo da se investitoru više isplati da novac uloži bez rizika u banku. Dakle, takva investicija nije isplativa.

36. KREDIT Razmotrimo za kraj jedan veoma poznat tok gotovog novca: kredit. Šta se dešava kada uzmemo kredit od K evra sa kamatnom stopom 100p% na n godina.

37. KREDIT Jednostavnosti radi, pretpostavimo da kredit vraćamo u n jednakih godišnjih rata. Neka je ta rata (anuitet) jednaka A. Tok gotovog novca koji prati kredit je onda ( K, -A, -A, ... , -A )

38. KREDIT Onog trenutka kad vratimo kredit, mi i banka smo na nuli – niko nikom ne duguje. Dakle, NPV ovog toka je jednaka nuli, tj. K – A : ( 1 + p ) – A : ( 1 + p )2- ... – - A:( 1 + p )n= 0

39. KREDIT Odnosno K = A : ( 1 + p ) + A : ( 1 + p )2+ ... + + A:( 1 + p )n Suma sa desne strane jednakosti je suma geometrijskog niza sa prvim članom A : ( 1 + p ) i količnikom ( 1 + p )-1

40. KREDIT Sumiranjem ovog niza dobijamo da je p ( 1 + p )n A = K · ( 1 + p )n - 1

41. PITANJA