SISTEM PERSAMAAN LINIER

SISTEM PERSAMAAN LINIER Presented by : • HarioWijayanto (A 410 080 251) • Rizal AdiptaIman (A 410 080 256) • DonyPriyatno (A 410 080 267) • HardhinaAprillia (A 410 080 273) SMA/MA KELAS X

SK : Memecahkan masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dan pertidaksamaan satu variabel KD : Menyelesaikan sistem persamaan linear dan sistem persamaan campuran linear dan kuadrat dalam dua variabel

TUJUAN PEMBELAJARAN • Mengenaldanmemahami SPLDV • Menentukanpenyelesaian SPLDV denganGrafik, SubstitusidanEliminasi • Membuatdanmenyelesaikan model matematikadarimasalahsehari-hari yang melibatkan SPLDV

Problematika 1 Anne ingin membeli 10 buku dan 2 pensil, dengan harga 1 buku senilai Rp. 3.000,00 dan 2 pensil Rp. 1.200,00. berapa uang yang harus di bayar oleh Anne untuk membeli 10 buku dan 2 pensil tersebut! Misal: buku = x Pensil = y Biaya : 10x + 2y 10.(3000) + 2.(1200) = 32.400 Jadi uang yang harus dibayar senilai Rp. 32.400,00

2 Rizal membeli 5 kambing dan 2 unta untuk korban di hari raya idul adha seharga Rp. 25.000.000,00. sedangkan Haryo membeli 4 kambing dan 2 unta yang keduanya dari jenis yang sama dengan yang di beli Rizal seharga Rp. 24.000.000,00. Jadi berapa harga yang harus di bayar untuk membeli 1 kambing dan 1 unta tersebut!

BENTUK UMUM PERSAMAAN LINIER Variabel Konstanta • BentukUmumPersamaan Linier DuaVariabel (PLDV) • BentukUmumSistemPersamaan Linear DuaVariabel (SPLDV) a₁ x + b₁ y = c₁ a₂ x + b₂ y = c₂ dengan a ₁ , a ₂ , b ₁ , b ₂ , c ₁ , c ₂ ∈ R ax + by + c = 0 Konstanta Koefisien

PENGERTIAN • SistemPersamaan Linear DuaVariabel (SPLDV) terdiriatasduapersamaanlinear dua variable, yang keduanya tidak berdiri sendiri, sehingga kedua persamaan hanyamemilikisatupenyelesaian. Berikutiniadalahbeberapacontoh SPLDV : 1. x + y = 3 dan 2x – 3y = 1 2. 5x + 2y = 5 dan x = 4y – 21 3. x = 3 dan x + 2y – 15 = 0 4. x = y + 6 dan 2x – 7y = -8 5. 5x + 4y + 7 = 0 dan -3x – 2y = 4

MenentukanHimpunanPenyelesaianSPLDV

Problematika Mari kita coba menentukan penyelesaian dari sistem persamaan x + y = 3 dan 2x – 3y =1 Karenauntuk x = 1 dan y = 2 atau (1,2) tidakmemenuhipersamaan2x – 3y = 1 , maka (1,2) bukan penyelesaian sistem persamaan x + y = 3 dan 2x - 3y = 1 Jawab : Misal Untuk x = 1 dan y = 2 atau ditulis (1,2) , maka: • x + y =3 1 + 2 = 3 3 = 3 • 2 x – 3 y = 1 • 2.(1) – 3.(2) = -4 -4 ≠ 1 (Memenuhi) (Tidakmemenuhi)

Jawab : Misal Untuk x = 2 dan y = 1 atau ditulis (2,1) , maka: • x + y =3 2 + 1 = 3 3 = 3 • 2 x – 3 y = 1 • 2.(2) – 3.(1) = 1 1 = 1 Karenauntuk x = 2dan y = 1atau(2,1) memenuhipersamaan 2x – 3y = 1 , maka (2,1) merupakan penyelesaian sistem persamaan x + y = 3 dan 2x - 3y = 1 (Memenuhi) (Memenuhi)

METODE GRAFIK Langkah-langkahnyaadalahsebagaiberikut : 1. Menentukantitikpadabidangcartesius 2. Menggambargarisdarikeduatitikpadabidangcartesius 3. Koordinattitikpotongdarikeduagarismerupakanhimpunanpenyelesaian Catatan : Jikakeduagaristidakberpotongan (sejajar) , maka SPLDV tidakmempunyaipenyelesaian. CONTOH

Tentukan HP darisistempersamaan : 2x + 3y = 12 dan 4x – 3y – 6 = 0 Jawab : 2x + 3y = 12 • Titikpotongdengansumbu x , y = 0 • 2x + 3y = 12 • 2x + 3.(0 )= 12 2x = 12 x = 6 • Titikpotongdengansumbu y, x = 0 2x + 3y = 12 2.0 + 3y = 12 3y = 12 y = 4 diperoleh titik (6,0) diperolehtitik (0,4)

4x – 3y – 6 = 0 4x – 3y – 6 = 0 Titikpotongdengansumbu x , y =0 4x – 3y = 6 4x – 3.0 = 6 4x = 6 x = 6/4 x = 1½ Titikpotongdengansumbu y, x = 0 4x – 3y = 6 4.0 – 3y = 6 – 3y = 6 y = -2 ↔ 4x – 3y = 6 diperoleh titik (1½,0 ) diperoleh titik (0, -2 )

Y 2X + 3y =12 4x – 3y -6 = 0 7 6 5 4 2X + 3y =12 3 2 4x – 3y -6 = 0 1 (3, 2) X -6 -5 -4 -2 -1 0 1 2 -7 -3 3 7 4 6 5 -1 -2 -3 -4 Jadi HP = {3,2} -5 -6

Tentukanhimpunanpenyelasaiandarisistempersamaan x + y – 2 = 0 dan y = 6 - x Jawab: Grafik dari x + y - 2 = 0 adalah garis yang melalui titik (2,0) dan (0,2) Grafikdari y = 6 – x adalahgaris yang meleluititik (6,0) dan (0,6) x + y – 2 = 0 y = 6 - x

Y 7 6 5 4 3 2 1 X -6 -5 -4 -2 -1 0 1 2 -7 -3 3 7 4 6 5 -1 -2 -3 -4 -5 -6

Metode Substitusí Substitusiartinyamengganti. Langkah-langkahnyaadalahsebagaiberikut : I. Menyatakan variable dalam variable lain, misalmenyatakan x dalam y atausebaliknya. II. Mensubstitusikanpersamaan yang sudahkitarubahpadapersamaanyang lain III. Mensubstitusikannilai yang sudahditemukandarivariabel x atau y kesalahsatupersamaan.

Contoh 1: TentukanHP darisistempersamaan x + 2y = 4 dan 3x + 2y = 12 Jawab: x + 2y = 4, Substitusikanx = 4 – 2y kepersamaan 3x + 2y = 12 3 x + 2y = 12 3(4 – 2y) + 2y = 12 12 – 6y + 2y = 12 12-4y = 12 -4y = 0 y = 0 Substitusikan y = 0 kepersamaan: x = 4 – 2y x = 4 – 2y x = 4 – 2.0 x = 4 JadiHP nyaadalah {(4,0)} kitanyatakan x dalam y, diperoleh x = 4 – 2y

Contoh 2 : Tentukan HP darisistempersamaan : 2x + 3y = 12 dan 4x – 3y – 6 = 0 Jawab : 2x + 3y = 12 kitanyatakan y dalam x, diperoleh : 3y = 12 – 2x y = 4 – 3/2x Substitusikan y = 4 – 3/2x ke persamaan 4x – 3y – 6 = 0, 4x – 3 y – 6 = 0 4x – 3( 4 -3/2x ) – 6 = 0 4x – 12 + 2 x - 6 = 0 6x -18 = 0 6x = 18 x = 3 x = 3 substitusikan ke y = 4 – 3/2x y = 4 – 3/2.3 y = 4 – 2 y = 2 Jadi HP nyaadalah {(3,2)}

Metodeeleminasi • Langkah-langkahnyaadalahsebagaiberikut : i. Nyatakan kedua persamaan ke bentuk ax + by = c ii. Samakankoefisiendarivariabel yang akandihilangkan, melaluicaramengalikandenganbilangan yang sesuai ( tanpamemperhatikantanda ) iii. – Jikakoefisiendarivariabelbertandasama (samapositifatausamanegatif), makakurangkankeduapersamaan – Jikakoefisiendarivaribel yang dihilangkantandanyaberbeda (positifdannegatif ), maka jumlahkan kedua persamaan.

Contoh 3: • Tentukan himpunan penyelesaian dari sitem persamaan x + y = 4 dan x – y = 2 Jawab : • Mengeliminasi x x + y = 4 x – y = 2 2y = 2 y = 1 • Mengeliminasi y x + y = 4 x – y = 2 2x = 6 x = 3 • Jadihimpunanpenyelesaiannyaadalah {(3, 1)} ( koefisien x sudah sama, dan tandanya sama positif , maka kita kurangkan kedua persamaan )Catatan : x – x = 0 — ( koefisien y sudah sama, dan tandanyaberbeda, makakitajumlahkan kedua persamaan )Catatan :y + (-y) = 0 +

Contoh 4: Tentukanhimpunanpenyelesaiandarisistempersamaan 2x = 3y + 17 dan 3x + y – 9 = 0 Jawab : Kita nyatakan persamaan dalam bentuk ax + by = c 2x – 3y = 17 3x + y = 9 Mengeliminasi x Karena koefisien x belum sama, maka kita harus buat sama 2x – 3y = 17 3x + y = 9 -11 y = 33 y = -3 Mengeliminasi y 2x – 3y = 17 3x + y = 9 11x = 44 x = 4 Jadi, himpunanpenyelesaianadalah {(4, -3)} 6x – 9y = 51 x 3 x 2 6x + 2y = 18 — 2x – 3y = 17 x 1 x 3 9x + 3y = 27 +

MODEL MATEMATIKA ---CONTOH---

Contoh 5: Made mengendaraisepeda motor dariDenpasarkeGilimanukdengankecepatan rata- rata 60 km/jam. Untukmenempuhjarakkeduatempatitujikadikehendakilebihcepatsatu jam, makakecepatan rata- ratanyadiubahmenjadi 80 km/jam. Misaljarakkeduatempatitu x km, danwaktu yang diperlukan t jam Tentukan : a. Duapersamaandalam x dan t b. Jarakkeduatempa Jawab : • Dengankecepatan rata- rata 60 km/ jam, maka : Jarak = kecepatan . waktu x = 60t • Dengankecepatan rata- rata 80 km/ jam, maka : Jarak = kecepatan . waktu x = 80 ( t – 1 ) x = 80t – 80 Ada duapersamaan, yaitu x = 60t dan x = 80t – 80

b. Dari sistem persamaan di atas kita selesaikan dengan substitusi 60t = 80t – 80 60t – 80t = -80 - 20t = -80 t = 4 Waktu yang diperlukanpadakecepatan 60 km/jam adalah 4 jam Jadi, jarakkeduatempat = 60 km/ jam . 4 jam = 240 km

APLIKASI PERMASALAHAN PADA SPLDV • Masalah 1 ( masalahharga pensil dan buku) Pada hariMinggu Yanita dan Reza pergiketoko. Yanita membeliduapensildanduabukudenganhargaRp 14.000,00. Sedangkan Reza membelisatupensildantigabuku yang bermereksamadengan yang dibeliYanita , denganharga Rp 17.000,00. Berapa harga sebuah pensil dan sebuah buku ? JAWAB

Masalah 2 ( Masalahberatjagungdanberas ) Sebuah toko menyimpan persediaan beras dan jagung yang dimasukkan dalam karung. Setiapkarungberasberatnyasamadansetiapkantongjagungberatnyasama. beratduakarungberasbersamasatukarungjagungadalah 172 kg. Berat 3 karungberasdansatukarungjagung 232 kg. Tentukanberatsatukarungberasdanberatsatukarungjagung

TERIMA KASIH SELAMAT BELAJAR

SISTEM PERSAMAAN LINIER