Download
1 / 20
200 likes | 279 Views
BFák. Kiegyensúlyozott keresőfák Hatékonyság: O(lg(n)), de a nagy fokszám miatt igen alacsony szorzótényezővel Alkalmazás: Lemezen tárolt adatbázisoknál Mágneslemezen hatékony tárolásra lett tervezve Ki/Be műveletek minimalizálása Elágazási tényező: néhány ezerig is terjedhet
E N D
BFák • Kiegyensúlyozott keresőfák • Hatékonyság: O(lg(n)), de a nagy fokszám miatt igen alacsony szorzótényezővel • Alkalmazás: Lemezen tárolt adatbázisoknál • Mágneslemezen hatékony tárolásra lett tervezve • Ki/Be műveletek minimalizálása • Elágazási tényező: néhány ezerig is terjedhet • Időszükséglet=Ki/Be idő+memória számolás ideje
BFák M Q T X D H • Egy csúcs n db kulcsot tartalmaz a kulcstartomány felosztása a csúcsnak n+1 gyereke van. • Levélcsúcs: egyetlen gyereke sincs B C F G J K L N P R S V W Y Z
Lemezműveletek modellezése • x: egy adathivatkozás, nem tudni, hogy hol van • Ha x a lemezen van, akkor x mezői nem elérhetők • LemezrőlOlvas(x) ha lemezen van, akkor beolvassa. Egyébként hatástalan, • LemezreÍr(x) kiírja a lemezre, ha történt módosítás. Egyébként hatástalan. • Egy csúcs mérete = lemez blokkmérete. Ez az elágazási tényező felső korlátja is.
BFa Definíciója • A T BFa olyan gyökeres fa, amelyre: • 1. Minden x csúcsnak a következő mezői vannak: • n: az x csúcsban tárolt kulcsok száma • n db kulcs úgy, hogy kulcs[1]<=…<=kulcs[n] • levél=Igaz, ha x levél, Hamis egyébként • 2. Ha x belső csúcs, akkor gyerek[i] vektor, ahol i<=n a gyerekekre mutató vektor. Ha x levél, akkor a vektor tartalma meghatározatlan • 3. Ha ki egy kulcs, amelyik a gyerek[i] részfában van, akkor: k1<=kulcs[1]<=k2<=kulcs[2]<=…<=kulcs[n]<= kn+1
BFa Definíciója • Minden levél magassága egyenlő, ez a fa h magassága • Minimális fokszám: t>=2, maximális fokszám: 2t • Minden nem gyökér csúcsnak legalább t-1 kulcsa van • Minden csúcsnak legfeljebb 2t-1 kulcsa van • Egy csúcs telített, ha pontosan 2t-1 kulcsa van • Gyökércsúcsnak legalább 1 kulcsa2 gyereke van • Legegyszerűbb eset: t=2 minden csúcsnak 2,3 vagy 4 gyereke lehet 2-3-4 fának nevezzük (gyakorlatban t>>>2 !)
BFa magassága • Tétel: Ha n>=1 és T egy n kulcsos BFa, magassága h és min.fokszáma t>=2 h<=logt(n+1)/2 • Biz: egy h magasságú bfa csúcsszáma akkor minimális, ha minden nem gyökér belső csúcsnak éppen t-1 kulcsa van. Ilyenkor: • n=1+2t+2t2+…+2th-1=1+(t-1)*i=1Σh 2ti-1 ==1+2(t-1)(th-1)/(t-1)=2th-1 • Vagyis más fákran>=2th-1 logt(n+1)/2>=h
Keresés BFában Többutas elágaztató döntés • BFaKeres(k)i=1while i<=n és k>kulcs[i] i=i+1if i<=n és k=kulcs[i] then return (Me,i)if levél then return NILelse LemezrőlOlvas(gyerek[i]) return gyerek[i].BFaKeres(k) Ha megtaláltuk csúcs és index visszaadása Jobbrekurzív algoritmus: HF: átírni ciklikussá
Üres BFa készítése Lemezen helyfoglalás • ÚjBFa()bfa=CsúcsotElhelyez()bfa.levél=Igazbfa.n=0LemezreÍr(bfa)return(bfa)
BFa egy csúcsának kettévágása Új csúcs kezdőértékezése Csúcs fokszáma feleződik • Me: nem telített csúcs, csúcs=gyerek[i], ami telített (2t gyereke van) • BFaVágásGyerek(i,csúcs)új=CsúcsotElhelyez()új.levél=csúcs.levélcsúcs.n=t-1for j=1 to t-1 új.kulcs[j]=csúcs.kulcs[j+t]if not csúcs.levél then for j=1 to t új.gyerek[j]=csúcs.gyerek[j+t]for j=n downto i gyerek[n+2]=gyerek[n+1] kulcs[n+1]=kulcs[n]gyerek[i+1]=újkulcs[i]=csúcs.kulcs[i]n=n+1LemezreÍr(csúcs), LemezreÍr(új), LemezreÍr(Me) Gyerekek, kulcsok átmásolása Új csúcs beszúrása apa csúcsai közé
Csúcs kettévágása N W N S W P Q R S T U V P Q R T U V
Kulcs beszúrása BFába • Beszúrás mindig levélelemnél történika fa magassága nem változik(egyfajta kiegyenlítettség megmarad) • Ha a beszúrási ponthoz vezető út bármelyik eleme telített, akkor felhasad két fele méretű csúcsra • A fa nem a levelénél, hanem a gyökerénél nő
Kulcs beszúrása BFába A fa gyökere telítetlen • TelítetlenBFábaBeszúr(k) i=n if levél then while i>=1 és k<kulcs[i] kulcs[i+1]=kulcs[i] i=i-1 kulcs[i+1]=k n=n+1 LemezreÍr(Me) else while i>=1 és k<kulcs[i] i=i-1 i=i+1 LemezrőlOlvas(gyerek[i]) if gyerek[i].n=2t+1 then BFaVágásGyerek(i,gyerek[i]) if k>kulcs[i] then i=i+1 gyerek[i].TelítetlenBFábaBeszúr(k) Beszúrás levélelembe Ha a gyerek telített, akkor felhasítjuk Meghatározzuk, hogy a rekurziót melyik gyerekkel folytassuk
Kulcs beszúrása BFába Ezt csak a bfa gyökerére hívjuk meg • BFábaBeszúr(k)if n=2t+1 then új=CsúcsotElhelyez() új.levél=Hamis új.n=0 új.gyerek[1]=Me új.BFaVágásGyerek(1,Me) új.TelítetlenBFábaBeszúr(k)else TelítetlenBFábaBeszúr(k)
Kulcs törlése BFából • Hasonlít a beszúrásra, de kicsit bonyolultabb • A minimális fokszámnál szélesebb csúcsokból törlünk. A keskenyebbeket egyesíteni próbáljuk • A rekurzió során lefelé menőben minden egyesíthető csúcsot egyesítünk, felfelé pedig törlünk • a pontos algoritmust nem adjuk meg, ez HF!!
P T X C G M N O A B D E F J K L Q R S U V Y Z • 0. t=3legalább t-1=2 kulcslegfeljebb 2t-1=5 kulcs csomópontonként • 1. Ha a k kulcs az x levélelemben vankulcs törlése levélelemből P T X C G M A B D E J K L N O Q R S U V Y Z
P T X C G M A B D E J K L N O Q R S U V Y Z P T X C G L A B D E J K N O Q R S U V Y Z • 2. Ha a k kulcs az x belső csúcsban van (megtaláltuk), és a megelőző k’ kulcsot tartalmazó gyerek fokszáma legalább t+1 • a. megelőző k’ kulcsot rekurzívan töröljük a gyerekből, majd a k’ kulcsot beemeljük az x csúcsba • b. Szimmetrikusan: ha a rákövetkező k” kulcsot tartalmazó gyerek fokszáma legalább t+1…
P T X C G L A B D E J K N O Q R S U V Y Z • 2.c. 2a-2b után: ha mindkét gyerek fokszáma minimális, akkor a megelőző és a következő gyerek egyesíthető, ebbe levisszük a törlendő k kulcsotezután töröljük a k csúcsot P T X C L A B D E J K N O Q R S U V Y Z
Kulcs törlése BFából • 3. Ha a k kulcs az x belső csúcsban nincs, akkor meghatározzuk annak a részfájának a csúcsát, amelyikben benne lehet. A rekurzív hívást csak legalább t kulccsal (1 extra kulccsal) rendelkező részfákon hajtjuk végre, hogy legyen mit törölni. Ha mégis csak t-1 kulcsa lenne, akkor • a. Ha van olyan testvére, amelynek legalább t gyereke van, akkor az x csúcsból a megelőző vagy rákövetkező elemet vigyük a gyerekbe, a testvéréből pedig 1 kulcsot vigyünk az x csúcsba. • b. Ha nincs ilyen testvére, akkor egyesítsük a két testvért. • c. Ha a gyökér két utolsó gyerekét egyesítjük, akkor a gyökérkulcsot is vigyük ide le, ilyenkor csökken a fa fokszáma
P C L P T X A B E J K N O Q R S U V Y Z CL és TX egyesítése, P lemozdítása T X C L A B D E J K N O Q R S U V Y Z C L P T X A B D E J K N O Q R S U V Y Z A fa magassága csökken
C L P T X A B E J K N O Q R S U V Y Z E L P T X A C J K N O Q R S U V Y Z • A B törlése megsértené a minimális fokszám elvét, viszont a testvérének van egy extra kulcsaa testvérétől 1-et felviszünk, fentről egyet lehozunk, és ekkor már törölhetjük az elemet
