第二章 曲面论
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第二章 曲面论. §2 曲面的第一基本形式. 主讲:尹爱芹. 复习引入. 一、曲面的第一基本形式 曲面上曲线的弧长. 1 、曲面的第一基本形式. 2 、曲面上曲线的弧长. 二、曲面上两方向的夹角(曲面上两曲线的夹角). 三、 正交曲线族和正交轨线. 四、曲面域的面积. P(u,v). 定义 仅由第一基本形式出发所能建立的几何性质称为曲面的内在性质或内蕴性质。 注: 曲线的弧长,曲面上两方向的夹角,曲面域的面积都是曲面的内在性质。. 五、等距变换.

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第二章 曲面论

§2 曲面的第一基本形式

主讲:尹爱芹




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一、曲面的第一基本形式 曲面上曲线的弧长

  • 1、曲面的第一基本形式




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二、曲面上两方向的夹角(曲面上两曲线的夹角)



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三、 正交曲线族和正交轨线






P(u,v)

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  • 定义 仅由第一基本形式出发所能建立的几何性质称为曲面的内在性质或内蕴性质。

  • 注:曲线的弧长,曲面上两方向的夹角,曲面域的面积都是曲面的内在性质。






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  • 是由曲线的参数方程和曲面的第一基本形式所确定,据上面所述,经过变换对应曲线有相同的参数方程,所以如果对应曲面的第一基本形式相同,则他们对应曲线的弧长相等,因此两曲面之间的变换是等距变换。

  • 注:1)由该定理,仅由第一基本形式确定的曲面的性质即内蕴性质在等距变换下是不变的。因此,上面提到的曲面上曲线的弧长,夹角,曲面域的面积都是等距不变量。

  • 2)把曲面上仅用第一类基本量E,F,G表示的几何量叫做曲面的内蕴量。





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  • 注:因为等距变换使第一基本量不变,可知等距变换一定是保角变换,反之不一定成立。

  • 例 球面(除北极外)到平面的球极投影变换是保角变换。

  • 解 球极投影变换如图,


z

u

y

o

x

v

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