Problema de los Dardos

1. 5 5 11 11 Problema de los Dardos XXV Olimpiada Thales

2. 5 5 11 11 El Problema de los Dardos: Ana le propuso a Enrique jugar a los dardos con una diana muy especial, como la que aparece en la figura. Ana le hizo la siguiente pregunta a Enrique: “Pudiendo disparar todas las veces que quieras y sumando siempre la puntuación obtenida a la anterior, ¿cuál es la puntuación máxima menor que 100 a la que no podrás llegar nunca?”. Menú Solución

3. Solución: ¡Enrique, mucha atención con las puntuaciones en cada tirada y ve acumulando los puntos! ¡OK, Ana. Primero voy a tomar nota de las primeras tiradas! Menú Solución

4. 5 5 5 5 5 11 11 11 11 11 Solución: ¡Voy a ver que sucede con una y dos tiradas! 1 Tirada: {5} {11} 2 Tiradas: {5}+{5}=10 {5}+{11}=16 {11}+ {11}=22 Menú Solución

5. 5 5 5 5 11 11 11 11 Y con tres tiradas, ¿puedo ya encontrar alguna regla? Solución: 3 Tiradas: {5}+ {5}+ {5}=15 {5}+ {11}+ {11}=27 {5}+{5}+ {11}=21 {11}+ {11}+ {11}=33 Menú Solución

6. 5 5 5 5 5 11 11 11 11 11 ¡Creo que ya se puede sacar algo en claro con cuatro tiradas! Solución: 4 Tiradas: {5}+ {5}+{5}+{5}=20 {5}+{5}+ {11}+ {11}=32 {5}+{5}+{5}+{11}=26 {5}+{11}+ {11}+ {11}=38 {11}+{11}+ {11}+ {11}=44 Menú Solución

7. Así seguiríamos tirando a la diana para conseguir, en definitiva, cada número con la condición de que sea menor o igual que 100. Si llamamos xal número de veces que el dardo da en 5, e yal número de veces que el dardo da en 11 se debe cumplir que: 5x+11y≤100 Solución: Menú Solución

8. Solución: ¡Enrique, te veo un poco indeciso! ¡En absoluto, Ana! En breve te puedo sacar algún patrón para conseguir llegar a la solución del problema planteado. Menú Solución

9. Solución: • ¡No olvidemos que tenemos que ver cuál es la puntuación máxima que no se puede conseguir menor o igual que cien. De las cuatro tiradas ya podemos sacar una consecuencia: • NO SE PUEDEN CONSEGUIR • Entre [1 y 10]: {1,2,3,4,6,7,8,9}, luego en este intervalo, el máximo es 9. • Entre [10,20]: {12,13,14,17,18,19}, luego en este intervalo, el máximo es 19. Menú Solución

10. ¡Para dar respuesta a la cuestión planteada la estrategia anterior es laboriosa. Vamos a encontrar el patrón más fácilmente si representamos gráficamente los datos que vayamos obteniendo en sucesivas tiradas. Solución: Menú Solución

11. 11 22 33 44 5566 77 88 99 1T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T 9T Solución: 11 a) Los múltiplos de 11 cuyas tiradas den en la zona del 11 de la diana. b) Los números que terminen en 0 y 5 con dardos cuya tirada den en la zona del número 5 de la diana conseguidos solo con el cinco. c) Los números que terminen en 1 y 6 con dardos cuya tirada sea una vez en 11 y sucesivamente 1,2,3, 4, ….veces que den en el número 5 y cuya suma no supere a 100. d) Y así sucesivamente con los número que terminan en 2 y 7; 3 y 8; 4 y 9. e) Terminados en 0 y 5; 1 y 6; 2 y 7; 3 y 8 conseguidos con el 5 y el 11. 5 Tiradas

12. ¿Te has dado cuenta Ana de un detalle? Con la construcción de la tabla anterior hay números que se repiten y son los que aparecen en rojo, por lo tanto los tenemos en cuenta una sola vez y los eliminamos de la tabla. Solución: Menú Solución

13. 1T 2T 3T 4T 11 22 33 44 Solución: Estos son los números que se obtienen menor o igual que cien cumpliendo que 5x+11y≤100

14. 1T 2T 3T 4T 11 22 33 44 Solución: Con los datos que aparecen la tabla podemos fácilmente deducir que NO SE PUEDEN CONSEGUIR: Entre [20 y 30 ]: {23,24,28,29} luego en este intervalo el máximo es 29. Entre [30,40]: {34,39}, luego en este intervalo el máximo es 39.

15. 1T 2T 3T 4T 39 11 22 33 44 Solución: ¡Y a partir del 39 ya se pueden conseguir cualquiera hasta el número 100: 40,41,42,43,44,……..95,96,97,98,99,100 Por lo tanto, el mayor de todos que nunca conseguiríamos , es